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高一数学必修一函数的定义域和值域



《函数的概念和图像》授课方案 课 题 函数的概念和图像

授课日期及时段 1.理解函数及其定义域、值域的概念,并能求函数的定义域、值域 2.能用描点法画函数的图像 3.了解函数的表示方法,重点掌握函数的解析法 4.了解分段函数的概念,掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法 教学目的 5.理解函数的单调性,掌握判断函数单调性和求函数最值的方法 6.能画单调函数

的图像并根据图像判断函数的增减性,求函数的最值 7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义,明确函数与映射的异同之处 教学内容 1.函数概念是如何定义的,什么是映射?举例说明函数、映射以及它们之间的区别

2.思考:对于不同的函数如:① y ? x ? 2 x ② y ?
2

x ?1 ③ y ?

1 1 ④ y ? lg?2 x ? 5? ⑤ y ? 1? x x ?1

的定义域如何确定 3.通常表示函数的方法有: 4. y ? f ?x ? 的定义域为 A, x1 , x2 ? A 。 函数是奇函数, 讲授新课: 一、函数的判断 例 1.<1>下列对应是函数的是 注:检验函数的方法(对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应) ①x? y: y ? x ② x ? x ? x ?1
2

函数是增函数, 函数是偶函数。

函数是减函数,

<2>下列函数中,表示同一个函数的是: (


1

注:定义域和对应法则必须都相同时,函数是同一函数 A. f ? x ? ? x, g ? x ? ?

? x?

2

B. f ?x? ? x, g ?x? ?

x2

C. f ? x ? ? x ? 2, g ? x ? ?

x2 ? 4 x?2

D. f ?x? ? x, g ?x? ? 3 x 3

练习:

1.设有函数组:① y ? x, y ?

x 2 ② y ? x, y ? 3 x 3 ③ y ? x , y ?

x x

④y??

x ? 1 ? x ? 0? ,y ? x ?? 1 ?x ? 0?

其中表示同一函数的是 二:函数的定义域 注:确定函数定义域的主要方法 (1)若 f ?x ? 为整式,则定义域为 R.



(2)若 f ?x ? 是分式,则其定义域是分母不为 0 的实数集合 (3)若 f ?x ? 是偶次根式,则其定义域是使根号下式子不小于 0 的实数的集合; (4)若 f ?x ? 是由几部分组成的,其定义域是使各部分都有意义的实数的集合; (5)实际问题中,确定定义域要考虑实际问题 例:1.求下列函数的定义域:

(1) y ?

?x 2 x ? 3x ? 2
2

(2) y ?

x ?1 ? 1 ? x

(3) y ?

3 1? 1? x

(4) y ?

x2 ? 3 ? 5 ? x2

2

? x ?1 ? (5) f ? x ? ? ? 4 x ? ?3 ? 2x

(6)t 是时间,距离 f ?t ? ? 60 ? 3t

2.已知函数 f ?x ? 的定义域是[-3,0],求函数 f ?x ? 1? 的定义域。

练习: 1.求下列函数的定义域: (1) f ? x ? ? (2) f ? x ? ?

4 ? x2 ?1 ;

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

(3) f ? x ? ?

1 1? 1 1 1? x



0 ? x ? 1? (4) f ? x ? ?

x ?x

2.已知 f ?x ? 的定义域为 ?0,1? ,求函数 y ? f x

4? ? ?? f ? ? x ? ? 的定义域。 3
2

?

?

3

三、函数值和函数的值域 例 1、求下列函数的值域: (观察法)

(1) y ?

5x ? 1 4x ? 2

(2) y ?

x 2 ? 4x ? 3 2x 2 ? x ? 1

例 2.求函数 y ?

2x 2 ? 4x ? 7 的值域(反解法) x 2 ? 2x ? 3

例 3.求函数 y ? 2x ?

x ? 1 的值域(配方换元法)

例 4.求函数 y ?

5x ? 1 4x ? 2

?x ? 2? 的值域(不等式法)

例 5.画出函数 y ? x ? 4x ? 6, x ? ? (图像法) 1,5? 的图像,并根据其图像写出该函数的值域。
2

4

练习: 1.求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? 2 (2) f ( x) ? 2 ? 4 ? x

(3) y ?

x x ?1

(4) y ? x ?

1 x

2.求下列函数的值域:

(1) y ? ? x ? 4 x ? 2
2

(2) y ? x ? 2 x ? 1

x2 ? x ?1 (3) y ? 2x 2 ? 2x ? 3

四、函数解析式:

例 1、已知 f ?1 ?

? ?

1? 1 (换元法) ? 1 ,求 f ?x ? 的解析式。 ?? x ? x2

例 2.设二次函数 y ? f ?x ? 的最小值等于 4,且 f ?0? ? f ?2? ? 6 ,求 f ?x ? 的解析式。 (待定系数法)

5

练习: 1.已知 f

?

x ? 1 ? x ? 2 x ,求 f ?x ? 。

?

2、已知 f ( x) 是一次函数,且 f ? f ?x ?? ? 4 x ? 1,求 f ( x) 的解析式。

3、求函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的值域。

五、单调性: 例 1.证明: f ?x ? ? ? x ? 1在 ?? ?,?? ? 上是减函数。 (定义法)
3

2.证明:函数 f ? x ? ? x ?

1 在 ?0,1? 上是减函数 x

2 例 2.画出函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 3 的图像,并由图像写出函数 f ( x) 的单调区间。

6

3、复合函数 注:定义域相同时:

f1 ?x ?

f 2 ?x ?

g ?x ? ? f1 ?x ? ? f 2 ?x ?

增 减

增 减

增 减

u ? g ?x ?
增 减 增 减

y ? f ?u ?
增 减 减 增

y ? f ?g ?x ??
增 增 减 减

例:已知函数 f ?x ? ? 8 ? 2 x ? x , g ?x? ? f 2 ? x
2

?

2

? ,试求 g ?x? 的单调区间。

练习: 1.确定函数 f ? x ? ?

1 1 ? 2x

的单调性。

7

2 已知 f ?x ? ? x 2 ? ax ? 3 在区间 ?? 1,1? 上的最小值为-3,求实数 a 的值。

六、奇偶性 例.判断函数奇偶性: (1) f ?x? ?

x?2 ? 2? x ;

(2) f ?x? ? 1 ? x 2 ?

x 2 ?1 ;

(3) f ?x ? ? x ? a ? x ? a

?a ? R ?

(4) f ? x ? ?

1? x2 x?2 ?2

练习: 判断函数的奇偶性:

?1 ? 2 ? (1) f ?x ? ?
2x
(2) f ?x? ? lg x ?
2

x 2



?

x2 ?1 ;
1 ; x2

?

(3) f ? x ? ? lg x ? lg

(4) f ?x ? ? ?1 ? x ?

1? x ; 1? x

(5) f ?x ? ? ?

?? x 2 ? x 2 ? x ?x

? x ? 0? ? x ? 0?

8

例.奇偶性的应用

5 px2 ? 2 1.已知 f ?x ? ? 是奇函数,且 f ?2 ? ? 。 3 3x ? q
(1)求实数 p, q 的值; (2)判断函数 f ?x ? 在 ?? ?,?1? 上的单调性,并加以证明。

2.已知函数 f ?x? ? m 2 ? 1 x 2 ? ?m ? 1?x ? n ? 2 ,则当 m, n 为何值时, f ( x) 是奇函数?

?

?

练习: 1.已知 f ( x) 是奇函数,且 x ? 0 时, f ?x? ? x x ? 2 , 求 x ? 0 时,求 f ( x) 的解析式。

9

函数的值域 姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______

1、函数 y=-x2-4x+1,x∈ [-3,3]的值域是_______

2、函数 y=x2-x(-1≤x≤4,x∈ Z)的值域是_______

3、函数 y=3x-4 的值域为[-10,5],则其定义域是_______

4、设函数 f ( x) ?

1 的定义域为 R,则它的值域为______ x ?1
2

5、函数 y ? ? x ? 1,( x ??1, 2,3}) 的值域是______

?2 x 2 ? 3, x ? 0 ? 6、已知函数 f ( x) ? ?0, x ? 0 则 f(1)=____,f(-1)=_____,f[f(-1)]=_____ ?3, x ? 0 ?

7、已知函数 f ( x) ? ?

?3x ? 6, x ? 0 ? x ? 5, x ? 0

(1)求 f[f(1)]的值; (2)求 f(x)的值域; (3)已知 f(x)=-10,求 x 的值。

8、分别在下列范围内求函数 f(x)=x2-2x-3 的最值 (1)0≤x≤2; (2)0≤x≤4; (3)2≤x≤3.

10

参考答案 1、[-20,5] 4、(0,1 ] 2、{2,0,6,12} 5、{0,-1,-2} 3、[-2,3] 6、5,3,21

7、解: (1)f(1)=-3,f[f(1)]=f(-3)=2 (2)由图象可知,x≥0 时,f(x) ≥-6 x<0 时,f(x)<5 所以 y∈ R 8、解:由函数 y=f(x)的图象可知, (1)y∈ [-4,-3] (2)y∈ [-4,5] (3)y∈ [-3,0]

11



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