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1.1.3 集合的基本运算(一)



1.1.3

集合的基本运算(一)

学习目标 1、熟练掌握交集、并集的概念及其性质。 2、能利用数轴、韦恩图来解决交集、并集问题。 课前预习 阅读课本 1.1.3 集合的基本运算(并集、交集) ,完成下列问题 1、并集: 一般地,对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作 A∪B(读作"A 并 B") , 即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} . 如: {1,2,3,6}∪{1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10} . 又如:A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f},则 A∪B={a,b,c,d,e,f} 2、交集:一般地,由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B") , 即 A∩B ={x|x∈A,且 x∈B} . 如: {1,2,3,6}∩{1,2,5,10}={1,2} . 又如:A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则 A∩B={c,d,e} 3、并集、交集的性质 A∪B= B∪A; A∪A=A; A∪Ф =A; A∪B=B ? A ? B A∩B= B∩A; A∩A=A; A∩Ф =Ф ; A∩B=A ? A ? B 预习自我评估
1 .设集合 A ? ?1, 2 ? , B ? ? 2, 3, 4 ? 则 A ? B ?

( C. ? 2 ? D. ?1, 3, 4 ? (



A. ?1, 2, 3, 4 ?

B. ?1, 2, 2, 3, 4 ?

2 .已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N=



A.{x|-5<x<5} C.{x|-5<x≤5}
a

B.{x|-3<x<5} D.{x|-3<x≤5}

3 .集合 A ? {3, 2 }, B ? { a , b }, 若 A ? B ? {2}, 则 A ? B ? _________. 4 .设集合 M ? { m ? Z ? 2 ? m ? 2} , N ? { n ? Z ? 1 ? n ? 3} ,则 M ? N =________. 5 .设集合 M= {x|x─
1 2

<0},N={x|2x+l>0},则 M∩N=

答案: . 1 A

2 . B

3 . {1,2,3};

4 . {-1,0, 1,2,3};

{ 5 . x |?

1 2

? x ?

1 2

, x ? R}

课中提升:
探究一 集合的交集 例 1、已知集合 M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合 M∩N 为( )? A.x=3,y=-1 B.(3,-1)? C.{3,-1} D.{(3,-1)}? 思路点拨:注意集合元素的形式,元素应该是点。 解: 由已知得 M∩N={(x,y)|x+y =2,且 x-y=4}={(3,-1)}.? 也可采用筛选法.首先,易知 A、B 不正确,因为它们都不是集合符号.又集合 M,N 的 元素都是数组(x,y),所以 C 也不正确.? 规律总结: 求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方 程组 ?
?x ? y ? 2 ?x ? y ? 4

的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.

变式训练 1:已知集合 M={x|x+y=2},N={y|y= x2},那么 M∩N 为 解:M=R,N={y|y≥0},∴ M∩N={y|y≥0}。 答案:{y|y≥0} 探究二 集合的并集 例 2.设 A={x|-1<x<2},B={x |1<x<3} ,求 A∪B. 思路点拨:可以通过数轴来直观表示并集。 解:A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3} . 2 2 变式训练 2:已知 A={x|x -px+15=0},B={x|x -ax-b=0},且 A∪B={2,3,5},A∩B={3}, 求 p,a,b 的值。 答案:P=8, a=5 ,b=-6 探究三 通过集合之间的关系求参数 例 3 .已知集合 A ? { x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0} ,集合 B ? { x x 2 ? a x ? a ? 1 ? 0} ,若 A ? B ? A ,求 实数 a 的值. 思路点拨:首先要清楚 A ? B ? A 的含义。 解: A ? { x x 2 ? 3 x ? 2 ? 0} ? {1, 2}
A? B ? A? B ? A
B ? { x x ? a x ? a ? 1 ? 0} ? { x ( x ? 1)( x ? a ? 1) ? 0}
2

则有 a ? 1 ? 2 ? a ? 3 或 a ? 1 ? 1 ? a ? 2 即 a=2 或 a=3. 即时训练 3 已知集合 A= ? x | a ? x ? a ? 3 ? ,B= ? x | x ? ? 1 , 或 . x ? 5 ? (1)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围。 解:∵A= ? x | a ? x ? a ? 3 ? ? ? ,B= ? x | x ? ? 1 , 或 . x ? 5 ? ,

-1

a

a+3

5

(1)若 A ? B ? ? ,如图,则有
? a ? ?1 ? ?a ? 3 ? 5

? ?1 ? a ? 2

a a+3 -1

5 a a+3

(2)若 A ? B ? B ,如图,则 A ? B ∴ a ? 3 ? ? 1, 或 a ? 5 ? ? a ? ? 4 , 或 a ? 5

课堂检测
1 .已知集合 M ? ?0 , x ? , N ? ?1, 2 ?

,若 M ? N ? ?2 ? ,则 M ? N 为 C. ?0 ,1? D. ?0 ,1, 2 ?





A. ?0 , 2 ?
答案:D

B. ?1, 2 ?

2 .设集合 A ? ?a , b ? ,则满足 A ? B ? A 的集合 B 的个数是______________. 答案:4 3 .设集合 A
?

? ? 4, 2 a ? 1, a ? , B ? ? 9, a ? 5,1 ? a ? ,若 A ? B
2

?

? 9? ,

求实数 a 的值. 解:?
A? B ?

? 9? ?

2 a ? 1 =9

或 a 2 =9

? a=5 或-3

.3 经检验 a=3 使 B 的元素与元素的互异性矛盾

?

a=5

A? B ?

? 9 . ? 4? 与 A ?

B ?

? 9? 矛盾

? a=-3

课后巩固:
1.1.3 集合的基本运算 基础掌握
1 .若集合 A ? ? x | x ? 0 .? B ? ? x | x ? 3? ,则 A ? B 等于

( D.R (



A. { x | x ? 0}

B. { x | 0 ? x ? 3}
2

C. { x | x ? 4}

2 .集合 A ? ? 0, 2, a ? , B ? ?1, a

? ,若 A ? B ? ? 0,1, 2, 4,1 6? ,则 a 的值为



A.0

B.1

C.2

D.4 ( )

2 3 .集合 A ? ? 0, 2, a ? , B ? ?1, a ? ,若 A ? B ? ? 0,1, 2, 4,1 6 ? ,则 a 的值为

A.0

B.1

C.2

D.4
2

4 .已知全集 U=R,则正确表示集合 M= {-1,0,1} 和 N= { x |x +x=0} 关系的韦恩(Venn)

图是

能力提升 5 .设集合 M ? { m ? Z | ? 3 ? m ? 2} , N ? { n ? Z | ? 1 ≤ n ≤ 3}, 则 M ? N ? _____. 6 .已知集合 A ? ? x 0 ? x ? 3? , B ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ,则 A ? B = 7 .已知集合 A ? 拓展研究 8 .已知 M={1,2,a -3a-1 },N={-1,a,3},M∩N={3},求实数 a 的值.
2

。 .

?x

x ? ?1 或 2 ? x ? 3 ? , B ?

?x

? 2 ? x ? 4 ? ,则 A ? B ?

1.1.3 集合的基本运算
1 .答案:B 解法 1 利用数轴可得容易得答案.

解法 2(验证法)去 X=1 验证.由交集的定义,可知元素 1 在 A 中,也在集合 B 中,故选 B. 2 .答案:D
3 .答案:D
?a 2 ? 16 解:∵ A ? ? 0, 2, a ? , B ? ?1, a ? , A ? B ? ? 0,1, 2, 4,1 6 ? ∴ ? ∴ a ? 4 ,故选 D. ? a ? 4
2

4 .答案:B
2 解:由 N= { x |x +x=0} { ? 1, 0} 得 N ? M ,选 B.

5 .答案:{-1,0,1} 6 .答案:{x|0≤x≤2} 7 .答案: ? x x ? 4 ? . 8 .解:∵M∩N={3},∴3∈M;

∴a -3a-1=3,即 a -3a-4=0,解得 a=-1 或 4。 但当 a=-1 与集合中元素的互异性矛盾; 当 a= 4 时 M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意。 ∴a= 4

2

2



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