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抛物线练习题



题目:1.AB 是过抛物线 y2=4x 焦点 F 的弦,已知 A,B 两点的 横坐标分别是 x1 和 x2,且 x1+x2=6 则|AB|等于( ) (A)10 (B)8 (C)7 (D)6 答案:B 题目: 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)、 2, 2. B(x y2)两点,如果 AB 与 x 轴成 45°角,那么|AB|等于( )。 (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 答案:B 题目: 抛物线 x2=4y 的焦点为 F, 是抛物线上一点, 3. A 已知|AF| =4+2 2 ,则 AF 所在直线方程是 。 答案:x-y+1=0 或 x+y-1=0 题目:4. 抛物线 y2=10x 的焦点到准线的距离是( )。 (A)2.5 (B)5 (C)7.5 (D)10 答案:B 题目:5. 过点 F(0, 3)且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心的轨迹方 程是( )。 (A)y2=12x (B)y2=-12x (C)x2=12y (D)x2=-12y 答案:C 题目:6. 已知点 P(4, m)是抛物线 y2=2px (p>0)上一点,F 是抛物 线焦点,且|PF|=5,则抛物线方程是( )。 (A)y2=x (B)y2=4x (C)y2=2x (D)y2=8x 答案:B 题目:7. 动点 P 到直线 x+4=0 的距离比到定点 M(2, 0)的距离大 2,则点 P 的轨迹是( )。 (A)直线 (B)圆 (C)抛物线 (D)双曲线 答案:C

x2 题目:8. 抛物线 y=- 8 的准线方程是( )。

1 (A)y= 32
答案:B

(B)y=2

(C)y= 1

4

(D)y=4

题目:9. “直线 l 平行于抛物线的对称轴”是“直线 l 与抛物线仅 有一个交点”的( )条件。 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 答案:A 题目: 10. 抛物线 x2=4y 上一点 P 到焦点 F 的距离为 3, P 点的 则 纵坐标为( )。 (A)3 答案:B 题目:11. 不论α 取任何实数,方程 2x2cosα +y2=1 所表示的曲 线一定不是( )。 (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆 答案:C 题目:12. 与圆(x+1)2+y2=1 外切且与 y 轴相切的动圆的圆心轨 迹方程为( )。 (A)y2=-4x (x<0) (B)y=0 (x>0) (C)y2=-4x (x<0)和 y=0 (x>0) (D)y2=-2x-1 (x<-1) 答案:C 题目: 13. 若 AB 为抛物线 y2=4x 的弦且 A(x1, 4)、 2, 2), B(x 则|AB| =( )。 (A)13 (B) 13 (C)6 (D)4 答案:B 题目:14. 已知点(-2, 3)与抛物线 y2=2px (p>0) 的焦点的距离是 5,则抛物线的方程是 。 答案:y2=8x 题目: 点 P 在抛物线 y2=-x 上运动, Q 与点 P 关于点(1, 1) 15. 点 对称,则点 Q 的轨迹方程是 。 2 答案:y =4y+x-6 题目:16. 若抛物线的顶点是双曲线 x2- y3 =1 的中心,且准线与
2

(B)2

5 (C) 2

(D)-2

双曲线的右准线重合, 则抛物线的焦点坐标为
答案:(- , 0)
1 2


1 2

提示:双曲线中,a=1, b2=3, 右准线为 x= , 则抛物线的顶点是(0, 0), 准线方程是 x= , ∴焦点坐 标是(- , 0)
1 2

1 2

题目:17. 已知点 P 是抛物线 y2=16x 上的一点,它到对称轴的距 离为 12,则|PF|= 。
答案:13 提示:抛物线的对称轴是 y=0, P 点的坐标是(x0, 12), x0=9, 焦点为 F(4, 0), ∴|PF|=13 题目:18. 抛物线 y2=4x 上的点 P 到焦点的距离为 5,则 P 点的坐标 为 。 答案:(4, 4), (4, -4) 提示:|PF|=5, ∴P 点的横坐标为 4,P 点坐标是(4, 4), (4, -4) 题目: 抛物线 y2=4x 与椭圆 x2+2y2=20 的公共弦长是 19. 。 答案:4 2 提示:联立方程组 y2=4x 与 x2+2y2=20,解得 x2+8x-20=0, x1=-10(舍), x2=2, ∴两个交点分别是(2, 2 2 ), (2, -2 2 ), 弦长为 4 2 题目:20. 抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,且|AB|=4 3 ,则焦点到 AB 的距离为 。 答案:2 提示:弦 AB 垂直于 x 轴,A、B 关于 x 轴对称,设 A(x1, 2 3 ), 解得 x1=3, 焦点 F(1, 0)到 AB: x=3 的距离是 2 题目:21. 设抛物线 y=ax2 (a>0)和直线 y=kx+b (k≠0)有两个交点,其横 坐标分别为 x1, x2,而直线 y=kx+b (k≠0)与 x 轴的交点横坐标为 x3,则 x1, x2, x3 之间的关系是 。 答案:x1x2=x3(x1+x2) 提示: 抛物线 y=ax2 (a>0)和直线 y=kx+b (k≠0)联立, ax2-kx-b=0, x1 得 +x2= k , x1x2=- b , 直线 y=kx+b (k≠0)与 x 轴的交点横坐标为 x3,3=- b , x
a
a

k

∴x1x2=x3(x1+x2)

题目:22. 若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的焦点弦, l 是抛物线的准线,则 以 AB 为直径的圆与 l 的公共点的个数是 。 答案:1 个 提示: A(x1, y1), B(x2, y2), A、 两点到准线的距离和为|AC|+|BD|=|AF| 设 B +|BF|=|AB|, ∴AB 的中点到准线的距离为 1 |AB|,∴以 AB 为直径的圆
2

与准线 l 相切,交点个数为 1 题目:23. 已知抛物线 y2=6x 过点 P(4, 2)的弦的两个端点作点 P 被平分, 求这条弦所在直线方程。 答案:3x―2y―8=0 提示:设相交弦为 AB,A(x1, y1), B(x2, y2),则 y12=6x1, y22=6x2, 两式相减得 (y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2), y1+y2=4, ∴ k= y1 ? y 2 = 3 , ∴直线的方程是 y-
x1 ? x 2

2

2= 3 (x-4), 3x―2y―8=0
2

题目:24. 抛物线 y=ax2 (a<0)的焦点坐标为( )。 (A)(0, - 1 ) (B)(0, 1 ) (C)(- a , 0) (D)( a , 0)
4a 4a

4

4

答案:B 题目:25. 直线 y=x+ 3 被抛物线 x2=2y 截得的弦长为(
2

)。

(A) 答案:C

41

(B)

29

(C)4

2

(D)2

5

题目:26. 已知定点 A(3, 2),F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 是抛物线上 的动点,当|PA|+|PF|最小时,点 P 的坐标为( )。 (A)(0, 0) (B)(1, 2 ) (C)(2, 2) (D)( 1 , 1)
2

答案:C 提示:由 P 点作准线的垂线 PD,D 为垂足,则|PA|+|PF|=|PA|+|PD|,当 P、A、D 三点共线时,|PA|+|PD|最小,此时 P 点坐标为(2, 2) 题目: 已知抛物线的顶点为原点, 27. 焦点在 y 轴上, 抛物线上的点(m, - 2),到焦点的距离为 4,则 m 等于( )。 (A)4 (B)-2 (C)±4 (D)±2 答案:C 提示:设抛物线方程是 x2=-2py, m2=4p, ∴抛物线方程是 x2=- 1 m2x, 抛
2

物线上的点(m, -2)到焦点的距离是 4,则到准线的距离也是 4,∴ m +
8

2

2=4, m=±4 题目:28. M 为抛物线 x2=y 上一动点,以 OM 为边作一正方形 MNPO, 则动点 P 的轨迹方程是( )。 (A)y2=x (B)y2=-x (C)y2=±x (D)x2=±y 答案:C 提示: P 点坐标是(x, y), M 点坐标是(x0, y0), 且 OM⊥OP, 设 |OM|=|OP|, 解 得 x02=y2, y02=x2, 把 x0, y0 代入到 x2=y 中得 y2=±x 题目:29. 若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的焦点弦,且 A1, B1 分别为 A, B 在准线上的射影,则∠A1FB1 等于( )。 (A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 答案:A 提示:直角梯形四边形 AA1B1B 中,AA1⊥A1B1,BB1⊥A1B1,且 AA1= AF,BB1=BF,∴∠A1FB1=90° 题目:30. 抛物线 y2=-8x 中,以(-1, 1)为中点的弦的方程是( )。 (A)x─4y─3=0 (B)x+4y+3=0 (C)4x+y-3=0 (D)4x +y+3=0 答案:D 提示:设相交弦为 AB,A(x1, y1), B(x2, y2),则 y12=-8x1, y22=-8x2, 两式相 减得(y1+y2)(y1-y2)=-8(x1-x2), y1+y2=2, 代入得 k=-4,∴弦的方程是 4x+y+3=0 题目:31. 点 M 到直线 y+5=0 的距离跟它到点 F(0, 4)的距离之差等于 1, 则点 M 的轨迹是( )。 (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆 答案:B 题目:32. 以抛物线 x=5y2 与圆 x2+y2-2x=0 的交点为顶点的多边形面积 为( )。 (A) 9 (B) 27 (C) 9 (D) 27
5
5 25 25

答案:D 提示:联立方程组 x=5y2 与 x2+y2-2x=0,解得交点坐标是(0, 0), ( 9 , ± 3 ),
5 5

∴S△= 27

25

题目:33. 抛物线 y=4x2 的准线方程是( )。 (A)x=-1 (B)y=-1 (C)x=- 1 (D)y=- 1
16

16

答案:D 题目:34. 动点 P(x, y)与两个定点(-1, 0), (1, 0)的连线的斜率之积为 a, 则 P 点的轨迹一定不是( )。 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 答案:D 题目:35. 过抛物线 y2=8x 上一点 P(2, -4)与抛物线仅有一个公共点的直 线有( )。 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)1 条或 3 条 答案:B 提示:一条是切线,另一条是过 P 点平行于对称轴的直线,即 y=2 题目:36. 已知抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1, 8),点 P 为抛物线上一 点,则|PA|+|PF|的最小值为( )。 (A)16 (B)6 (C)12 (D)9 答案:D 提示:由 P 点作准线的垂线 PD,D 为垂足,则|PA|+|PF|=|PA|+|PD|,当 P、 D 三点共线时, A、 |PA|+|PD|最小, 最小值是 A 点到准线的距离 |AD|=9 题目:37. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点(-5, 2 线上,则抛物线的方程为( )。 (A)y2=-4x (B)x2=
5y 5 )在抛物

(C)y2=-4x 或 x2= 5

5 2

y (D)x2=-

4y 答案:C 提示:设抛物线的方程是 y2=-2px 或 x2=2qy, 将点(-5, 2 代入求得 p=4 与 q= 5
5 2

5 )的坐标分别
5 2

, ∴抛物线的方程是 y2=-4x 或 x2= 5

y

题目:38. 已知双曲线 y2-x2=1 与抛物线 y2=(k-1)x 有两个不同的交点, 则实数 k 的取值范围为( )。

(A)k=-1 或 3 (B)k=1 或 k=-3 (C)-1<k<3 (D)k<-1 或 k>3 答案:A 提示: 联立方程组 y2-x2=1 与 y2=(k-1)x, 消去 y 得 x2-(k-1)x+1=0, △ =0, 解得 k=3 或 k=-1 题目:39. 若动圆与定圆(x+2)2+y2=4 相外切,且与直线 x=2 相切,则动 圆的圆心轨迹方程为( )。 (A)y2=12(x-1) (B)y2=-12(x-1) (C)y2=-8x (D)y2=8x 答案:B 提示:设动圆圆心坐标为 P(x, y),半径为 r,定圆(x+2)2+y2=4 圆心为 M(-2, 0), 半径是 2,则|PM|=2+r,P 点到直线 x=2 的距离是 r, ∴ P 点 到直线 x=4 的距离是 r+2,即 P 点轨迹是以(-2, 0)为焦点,x=4 为准线的 抛物线,∴轨迹方程是 y2=-12(x-1) 题目: 40. 抛物线 y2=2px 的内接△AOB 的重心恰是抛物线的焦点, AB 则 所在的直线方程是( )。 (A)x=2p (B)x= 3 p (C)x=3p (D)x=4p
4

答案:B 提示:∵抛物线 y2=2px 的内接△AOB 的重心恰是抛物线的焦点,∴ x1 ? x 2 ? 0 p y1 ? y 2 ? 0 =0, ∴y1=-y2, x1= 3 p-x2, 且 x1=x2, ∴x1= 3 p, 直线方 ? ,
3

程是

2 3 x= p 4

3

2

4

题目:41. 若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>p),则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距离是( )。 (A) 1 a (B) 1 p (C) 1 a+ 1 p (D) 1 a- 1 p
2 2 2 2 2 2

答案:D 提示: 设动弦 AB, 1, y1), B(x2, y2), 中点 M(x0, y0), 则 x0+ 1 p= 1 (x1+ 1 p A(x
2 2 2

+x2+ 1 p)=
2

1 p+ 1 (x1+x2), 2 2

当 A、B、F 三点共线时,即 x1+x2=a-p 时,
2 2

值为最小,此时 M 点到 y 轴的距离为 x0= 1 a- 1 p 题目: PQ 为经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的任意一条弦, 42. MN 为 PQ 在准线上的射影,PQ 绕准线旋转一周所得的旋转面面积为 S1,以 MN 为 直径的球面面积为 S2,则下列结论正确的是( )。

(A)S1<S2 (B)S1≥S2 (C)S1>S2 (D)不确定 答案:B 提示:S1=π (|PM|+|NQ|)PQ, S2=π |MN|2, |PM|+|NQ|≥|PQ|, |PQ|≥|MN|, ∴S1≥S2 题 目 : 43. 抛 物 线 y=4x2 上 的 点 到 直 线 y=4x - 5 的 最 近 距 离 是 。 答案: 4
17 17

题目:44. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且焦点在直线 x-y+ 2=0 上,则抛物线的方程是 。 答案:x2=8y 或 y2=-8x 提示:焦点有两种可能,即焦点为(-2, 0)或(0, 2), ∴ 抛物线的方程是 x2=8y 或 y2=-8x 题目:45. 抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,且被直线 y=2x+1 截得 的弦长为 15 ,则抛物线的方程为 。 2 2 答案:y =12x 或 y =-4x 提示:设抛物线方程为 y2=2px 或 y2=-2px, 与直线 y=2x+1 联立,化简 后用弦长公式分别求得 p=6, 或 p=1, ∴抛物线的方程是 y2=12x 或 y2=-4x 题目:46. 抛物线 y2=2x 与圆(x-a)2+y2=4 有且仅有两个公共点,则 a 的 取值范围是 。 答案:-2<a<2 或 a= 5
2

提示: 联立方程组 y =2x 与(x-a)2+y2=4, 化简得 x2-(2a-2)x+a2-4=0, △=0 时,得 a= 5 ,当△>0 且 a2-4<0 时,方程 x2-(2a-2)x+a2-4=0 有且
2

2

只有一个正根,此时抛物线与圆有且仅有两个公共点,∴-2<a<2 或 a= 5

2

题目:47. 过抛物线 y2=2px (p>0)的对称轴上一点 C(p, 0)引一条直线与抛 物线交于 A、B 两点且 A 点的纵坐标为- 1 p,则 B 点的纵坐标
2

为 。 答案:4p 提示:设直线方程是 y=k(x-p), A(x1, y1), B(x2, y2), C(p, 0), A( p ,- 1 p),
8 2

kAC= 4 , 7

又 y1 =2px1, y2 =2px2, 两式相减得 k=

2

2

2p y1 ? y 2

=4, 7

∴y2=4p

题目:48. 直线 x-2y-2=0 与抛物线 x=2y2 交于 A、B 两点,F 是抛物线 的焦点,则△ABF 的面积为 。 答案: 15
5 16

提示:联立方程组 x-2y-2=0 与 x=2y2,化简得 x2-6x+4=0, 代入弦长 公式得弦长等于 5,又焦点( 1 , 0)到直线的距离是 3
8
5 8

, ∴S△ABF= 15

5

16

题目:49. 顶点在坐标原点,焦点为曲线 y=2 x ? 1 与坐标轴的交点的抛物 线方程是 。 2 2 答案:x =8y 或 y =-4x 提示:y=2 x ? 1 与坐标轴的交点坐标是(0, 2)与(-1, 0), ∴抛物线的方程是 x2=8y 或 y2=-4x 题目:50. 抛物线方程为 Ax2+By=0 (AB≠0),则焦点坐标为 答案:(0, - B )
4A



题目: 如果抛物线 y2=px (p>0)和圆(x-2)2+y2=3 在 x 轴上方相交于 A、 51. B 两点,且弦 AB 的中点 M 在直线 y=x 上,求抛物线的方程。 答案:y2= 7 ?
17 2

x

提示:联立方程组 y2=px 与(x-2)2+y2=3 化简得 x2-(4-p)x+1=0, ∴ x0= 4 ? p , x1x2=1, 又 y12=2px1, y22=2px2, y0= 1 ( px 1 + px 2 ), y02= 1 (px1+px2
2
2 4

+2p

x1 x 2

)= 1 (6p-p2), 又 x0=y0, 代入得 p2-7p+8=0, 解得 p=
4
17 2

7 ? 17 2

, 又

4-p>0, 舍去 p= 7 ?

, ∴抛物线的方程是 y2= 7 ?

17 2

x

题目:52. 抛物线 x2=4y 上有一点 Q 到焦点的距离为 3,那么 Q 点的纵坐 标是( )。 (A)-2 (B)2 (C)4 (D)1 答案:B



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