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2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布


2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布

我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较
为突出.

为了节约生活用水,某市政府计划在本市试行 居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量 标准a, 用水量不超过a的部分按平价收费,超过a 的部分按议价收费. (1)如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那 么标准a定为多少比较合理呢? (2)为了较合理地确定这个标准,你认为需要做哪 些工作?

假设通过抽样,我们获得了100位居民某年的月平均 用水量(单位:t) ,如下表:
3.1 3.4 3.3 3.2 3.0 2.5 2.6 2.5 2.5 2.6 2.8 2.9 2.9 2.8 2.7 2.6 2.0 2.2 2.0 2.2 1.5 1.5 1.0 1.2 1.6 0.2 1.8 0.4 1.9 0.3 1.6 0.4

3.2 2.7

2.3
2.3 2.4 2.4 2.3 2.4 2.3

2.1
2.2 2.3 2.4 2.3 2.1 2.1

1.6
1.7 1.8 1.9 1.8 1.7 1.6

1.2
1.3 1.4 1.3 1.3 1.4 1.0

3.7
3.6 3.5 1.4 1.3 1.2 1.0

1.5
1.7 1.9 1.8 1.6 1.5 1.7

0.5
0.6 0.8 0.7 0.9 0.5 0.8

3.8
4.1 4.3 2.0 2.3 2.4 2.4

2.8 2.5

2.2

2.0

1.5

1.0

1.2

1.8

0.6

2.2

这些数字告诉我们什么信息?

很容易发现的是一个居民月均用水量的最小值是 0.2t,最大值是4.3t,其他在0.2t~4.3t之间.
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来, 或者用紧凑的表格改变数据的排列方式.初中我们曾经 学过频数分布图和频数分布表,这使我们能够清楚地 知道数据分布在各个小组的个数. 下面将要学习的频率分布表和频率分布图,则是 从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度, 来表示数据分布的规律.

它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况.

1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表, 画频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图.(重 点) 3.通过实例体会频率分布直方图、频率分布折线图、 茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析

样本的分布,准确地做出总体估计. (难点)

【课堂探究1】 频率分布表和频率分布直方图
(1)求极差(一组数据中的最大值与最小值的差). 例如,4.3-0.2=4.1,说明样本数据的变化范围是4.1 t. (2)决定组距与组数. 设k=极差÷组距,若k为整数,则组数=k,否则,组数 =k+1.

为方便起见,组距的选择应力求“取整”.在本问
题中,如果取组距为0.5(t),那么

组数=极差÷组距=4.1 ÷0.5=8.2,
因此可以将数据分为9组,这个组数是比较合适的,

于是取组距为0.5,组数为9.

(3)将数据分组. 以组距为0.5将数据分组时,可以分成以下9组: [0,0.5),[0.5,1),?,[4,4.5].

(4)列频率分布表.
计算各小组的频率,作出下面的频率分布表.

(频数=样本数据落在各小组内的个数,频率=频数
÷样本容量)

分组

频数累计

频数

频率

频率/组距

列频率分布表:
频率分布表一般 分“分组”, “频数累计” (可省),“频 数”,“频率”, “频率/组距” 五列,最后一行 是合计 频率= 频数 样本容量
[0,0.5) [0.5,1)
[1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 合计

4

8 15
22 25

0.04 0.08

0.08 0.16 0.30 0.44 0.50 0.28 0.12

0.15 0.22 0.25 0.14 0.06
0.04 0.02

14
6 4 2 100

0.08
0.04

1.00

注意:频数的合计应是样本容量,频率合计应是1.

(5)画频率分布直方图.
根据频率分布表可以得到如图所示的频率分布直方图:
频率/组距
0.50 0.40 0.30

0.20
0.10

注意横坐标
与纵坐标

月均用 水量/t

O 0.5

1

1.5 2

2.5 3

3.5 4 4.5

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占 比例的大小.一般用频率分布直方图来反映样本的 频率分布.

【总结提升】频率分布直方图画法: 第一步:画平面直角坐标系. 第二步:在横轴上均匀标出各组分点,在纵轴上标 出单位长度. 第三步:以组距为宽,各组的频率与组距的商为高, 分别画出各组对应的小长方形.

频率/组距
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

宽度:组距 频率 高度: 组距

你能根据上 述频率分布直方 图指出居民月均

月均用 水量/t

用水量的一些数 据特点吗?

O 0.5

1

1.5 2

2.5 3

3.5 4 4.5

各组的频率在图中哪里显示出来?
各小长方形的面积=频率. 各小长方形的面积之和是否为定值? 各小长方形的面积之和为1.

【课堂探究2】频率分布直方图应用
频率/组距
0.50 0.40 0.30

0.20
0.10

月均用 水量/t

O 0.5

1

1.5 2

2.5 3

3.5 4 4.5

你能根据上述频率分布直方图指出居民月均

用水量的一些数据特点吗?

(1)居民月均用水量的分布是呈“山峰”状的, 而且是“单峰”的;

(2)大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附
近,只有少数居民的月均用水量很多或很少;

(3)居民月均用水量的分布有一定的对称性.
频率分布直方图非常直观地表明了样本数据的分布

情况,使我们能够看到频率分布表中看不太清楚的
数据模式,但原始数据不能在图中表示出来.

【课堂探究3】统计评价 如果市政府希望85%以上的居民每月的用水量

不超过标准,根据上述频率分布表,你对制定居民
月用水量标准(即a的取值)有何建议?

88%的居民月用水量在3t以下,标准可定为3t.
在实际中,取a=3t一定能保证85%以上的居民用水不

超标吗?
在实际中,对统计结论是需要进行评价的.

频率分布直方图如下:
频率/组距 连接频率分布直方图中各 小长方形上端的中点,得到 频率分布折线图.

0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 o 月均用水量/t

0.5

1 1.5 2 2.5 3

3.5 4

4.5

利用样本频率分布对总体分布进行相应估计: (1)上例的样本容量为100,如果增至1 000,其

频率分布直方图的情况会有什么变化?假如增至
10 000呢?

(2)样本容量越大,这种估计越精确.
(3)当样本容量无限增大,组距无限缩小,那么

频率折线图就会无限接近于一条光滑曲线——
总体密度曲线.

总体密度曲线 频率/组距

月均用水量/t

o

a

b

(图中阴影部分的面积,表示总体在某个区间 (a, b) 内取值的百分比).

总体密度曲线 总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的

百分比,精确地反映了总体的分布规律,是研究总体
分布的工具. 用样本频率分布直方图去估计相应的总体分布 时,一般样本容量越大,频率分布直方图就会无限 接近总体密度曲线,就越精确地反映了总体的分布

规律,即越精确地反映了总体在各个范围内取值的
百分比.

茎叶图 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始 记录如下: 甲运动员得分: 13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分: 49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.

茎叶图 甲
茎是指

乙 8 0 1 2 5
叶就是从茎 的旁边生长 出来的数,

中间的
一列数, 表示得 分的十 位数字

4 6 3 3 6 8 3 8 9

2
3

5 4

表示得分的
个位数字

1 6 1 6 7 9

4
1 5

4 9
0

从运动员的成绩的分布来看,乙运动员的成绩 更好;从叶在茎上的分布情况来看,乙运动员的得 分更集中于峰值附近,说明乙运动员的发挥更稳定 .

茎叶图的优、缺点:

在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果
较好.它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,

这对数据的记录和表示都能带来方便.
但当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便.

因为每一个数据都要在茎叶图中占据一个空间,如
果数据很多,枝叶就会很长.

1.将样本容量为100的数据按从大到小的顺序分为8组
如下表:
组号

1 10

2 13

3 14

4 14

5 15

6 13

7 12

8 9

频数

则第三组的频率为( A )
A.0.14 B.1/14 C.0.03 D.3/14

2.某班的全体学生参加英语测试, 直方图如图,数据的分组依次为

成绩的频率分布

?20,40? , ?40,60? , ?60,80? , ?80,100?
若低于60分的人数是15, 则该班的学生人数是( A.45 B.50 C.55 ) D.60

频率 组距

成绩/分

解:选B.由频率分布直方图,计算出低于60分的 人数的频率(前两个小矩形的面积) P=20×0.005+20×0.01=0.3, 故选B. 则总人数为15÷0.3=50,

3.为研究某药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试 验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kpa)的分组区 间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二 组, ??., 第五组.如图是根据试验数据制成的频率分 布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人, 第三组中没 有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( A.1 B.8 C.12 D.18 )

【解析】选

20 ? 50 . C.由图知,样本总数为 N ? 0.16 ? 0.24

设第三组中有疗效的人数为 x,则 6 ? x ? 0.36 ,解得
50

x ? 12.

4.甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验,成 绩的茎叶图如图所示.则甲、乙两班的最高成绩分别 96 92 从图中看 ______ 乙 班的平均成绩 是 ______, ______. 较高.

5.某地区为了了解知识分子的年龄结构,随机抽样 50名,其年龄分别如下: 42,38,29,36,41,43,54,43,34,44,40, 59,39,42,44,50,37,44,45,29,48,45, 53,48,37,28,46,50,37,44,42,39,51, 52,62,47,59,46,45,67,53,49,65,47, 54,63,57,43,46,58. (1)列出样本频率分布表. (2)画出频率分布直方图. (3)估计年龄在32岁~52岁的知识分子所占的比例 约是多少.

解:(1)极差为67-28=39,取组距为5,分为8组.
样本频率分布表:
分 组 频数
3 3

频率
0.06 0.06

[27,32) [32,37)

[37,42)
[42,47) [47,52)

9
16 7

0.18
0.32 0.14

[52,57)
[57,62) [62,67]

5
4 3

0.10
0.08 0.06





50

1.00

(2)样本频率分布直方图:
频率/组距

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
O 27 32 37 42 47 52 57 62 67 年龄

(3)因为0.06+0.18+0.32+0.14=0.7,故年龄在32岁~52 岁的知识分子约占70%.

总 体 分 布

样 本 估计 的 频 率 分 布

频率分布表
数据较多时 频率分布直方图

茎叶图

数据较少时

即使一次次的跌倒,我们依然成长.跌

倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲.


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