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《创新设计》2014届高考数学人教(理)一轮复习:A版第八篇 第6讲 空间向量及其运算



第6讲

空间向量及其运算

A级

基础演练

(时间:30 分钟 满分:55 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量

a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c,共面; ④已知空间的三个向量 a,b, c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x, y,z 使得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 ( ).

解析 a 与 b 共线,a,b 所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量 的意义知,空间任两向量 a,b 都共面,故②错误;三个向量 a,b,c 中任两 个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当 a,b,c 不共 面时,空间任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知 四个命题中正确的个数为 0,故选 A. 答案 A 2.若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)· (2b)=-2,则 x = A.-4 B.-2 C.4 D.2 ( ).

解析 ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), ∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2). ∴(c-a)· (2b)=2(1-x)=-2,∴x=2. 答案 D

3. 若{a, b, c}为空间的一组基底, 则下列各项中, 能构成基底的一组向量是( A.{a,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}

).

解析 若 c、a+b、a-b 共面,则 c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b, 则 a、b、c 为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾,故 c,a +b,a-b 可构成空间向量的一组基底. 答案 C 4.如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠AOB π → → =∠AOC=3,则 cos〈OA,BC〉的值为 A.0 3 C. 2 1 B.2 2 D. 2 ( ).

→ → → 解析 设OA=a,OB=b,OC=c, π 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉=3,且|b|=|c|, 1 1 → → → → OA· BC=a· (c-b)=a· c-a· b=2|a||c|-2|a||b|=0,∴cos〈OA,BC〉=0. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是________. → → → → → 1→ 1→ 1→ ①OM=2OA-OB-OC;②OM=5OA+3OB+2OC; → → → → → → → ③MA+MB+MC=0;④OM+OA+OB+OC=0; → → → → → → → → → 解析 ∵MA+MB+MC=0,∴MA=-MB-MC,则MA、MB、MC为共面向 量,即 M、A、B、C 四点共面. 答案 ③ → → → → → → 6.在空间四边形 ABCD 中,AB· CD+AC· DB+AD· BC= ________. → → → 解析 如图,设AB=a,AC=b,AD=c,

→ → → → → → AB· CD+AC· DB+AD· BC=a· (c-b)+b· (a-c)+c· (b-a)=0. 答案 0 三、解答题(共 25 分) → 7. (12 分)已知 A、 B、 C 三点不共线, 对平面 ABC 外的任一点 O, 若点 M 满足OM 1 → → → =3(OA+OB+OC). → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内. → → → → 解 (1)由已知OA+OB+OC=3 OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC), → → → → → 即MA=BM+CM=-MB-MC, → → → ∴MA,MB,MC共面. → → → (2)由(1)知,MA,MB,MC共面且基线过同一点 M, ∴四点 M,A,B,C 共面,从而点 M 在平面 ABC 内. 8.(13 分)如右图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心, (1)试证:A1、G、C 三点共线; (2)试证:A1C⊥平面 BC1D; (3)求点 C 到平面 BC1D 的距离. (1)证明 → → → → → → → CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1,

1→ → 1 → → → 可以证明:CG=3(CB+CD+CC1)=3CA1, → → ∴CG∥CA1,即 A1、G、C 三点共线. (2)证明 → → → 设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a,

且 a· b=b· c=c· a=0, → → → → → ∵CA1=a+b+c, BC1=c-a, ∴CA1· BC1=(a+b+c)· (c-a)=c2-a2=0, ∴CA1 → ⊥BC1,即 CA1⊥BC1,同理可证:CA1⊥BD,因此 A1C⊥平面 BC1D.

(3)解

→ → ∵CA1=a+b+c,∴CA12=a2+b2+c2=3a2,

3 → → 即|CA1|= 3a,因此|CG|= 3 a. 3 即 C 到平面 BC1D 的距离为 3 a.

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2013· 海淀月考)以下四个命题中正确的是 A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B.若{a,b,c}为空间向量的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间向 量的另一组基底 → → C.△ABC 为直角三角形的充要条件是AB· AC=0 D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析 若 a+b、b+c、c+a 为共面向量,则 a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a λ-1 λ+μ =(λ-1)b+(λ+μ)c,λ,μ 不可能同时为 1,设 μ≠1,则 a= b+ c, 1-μ 1-μ 则 a、b、c 为共面向量,此与{a,b,c}为空间向量基底矛盾. 答案 B 2.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 → → → A1C1 与 B1D1 的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c, → 则下列向量中与BM相等的向量是 1 1 A.-2a+2b+c 1 1 C.-2a-2b+c ( 1 1 B.2a+2b+c 1 1 D.2a-2b+c ). ( ).

→ → → → 1 → → 解析 BM=BB1+B 1M=AA1+2(AD-AB) 1 1 1 =c+2(b-a)=-2a+2b+c. 答案 A

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3. 已知在一个 60° 的二面角的棱上, 如图有两个点 A, B,AC, BD 分别是在这个二面角的两个半平面内 垂直于 AB 的线段, 且 AB=4 cm, AC=6 cm, BD =8 cm,则 CD 的长为________. → → → 解析 设BD=a,AB=b,AC=c, 由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6, 〈a,b〉=90° , 〈b,c〉=90° , 〈a,c〉=60° → → → → |CD|2=|CA+AB+BD|2=|-c+b+a|2 =a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c=68, → 则|CD|=2 17. 答案 2 17 cm 4.如图,空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC =4,BC=5,∠OAC=45° ,∠OAB=60° ,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于________. → → → 解析 设OA=a,OB=b,OC=c. OA 与 BC 所成的角为 θ, → → → → → → OA· BC = a(c- b)= a· c- a· b= a· (a +AC )- a· (a + AB)= a2 +a· AC - a2 - a· AB = 24-16 2. → → |OA· BC| 24-16 2 3-2 2 ∴cos θ= → → = = 5 . 8×5 |OA|· |BC| 答案 3-2 2 5

三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)如图,已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心, 且 G 为 AM 上一点, 且 GM∶ GA=1∶3.求证:B、G、N 三点共线. → → → 证明 设AB=a,AC=b,AD=c,则

→ → → → 3→ BG=BA+AG=BA+4AM 1 3 1 1 =-a+4(a+b+c)=-4a+4b+4c, → → → → 1 → → BN=BA+AN=BA+3(AC+AD) 1 1 4→ =-a+3b+3c=3BG. → → ∴BN∥BG,即 B、G、N 三点共线. 6.(13 分)如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对 角线长都等于 1,点 E,F,G 分别是 AB、AD、CD 的 中点,计算: → → → → (1)EF· BA;(2)EF· DC;(3)EG 的长; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. → → → 解 设AB=a,AC=b,AD=c. 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° , → 1→ 1 1 → → (1)EF= BD= c- a,BA=-a,DC=b-c, 2 2 2 1 1 1 → → ?1 1 ? EF· BA=?2c-2a?· (-a)=2a2-2a· c=4, ? ? → → 1 (2)EF· DC=2(c-a)· (b-c) 1 1 =2(b· c-a· b-c2+a· c)=-4; 1 1 → → → → 1 (3)EG=EB+BC+CG=2a+b-a+2c-2b 1 1 1 =-2a+2b+2c, 1 1 1 1 1 1 1 2 → → |EG|2=4a2+4b2+4c2-2a· b+2b· c-2c· a=2,则|EG|= 2 . 1 1 → 1 → → → (4)AG=2b+2c,CE=CA+AE=-b+2a, → → AG· CE 2 → → cos〈AG,CE〉= → → =-3, |AG||CE|

由于异面直线所成角的范围是(0° ,90° ], 2 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为3. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.



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