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直线与圆位置关系



班级:____________________姓名:____________________组别:_____________________ §直线与圆的位置关系 编制人:陈俊娜 审核人:周丽娜 【自主学习】 1.初中学过的直线与圆的位置关系有哪些?并用图形表示出来

2.大家都知道:点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离这一数量关系来刻画 ;那么直 线和圆

的位置关系是否也可以用数量关系来刻画呢?如果可以,怎样刻画直线与圆的位置 关系?

3.除了用圆心到直线距离刻画直线与圆的位置关系,还有没有其他方法来刻画直线与圆的 位置关系?如果有,请进行说明

4.根据课本 83 页例题,试做下题 已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 , 试判断直线 l 与圆的位置
2 2

关系

3.你能根据上题总结出判断直线与圆位置关系的两个方法吗?

4.直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 公共点个数 ____个 ____个 几何法:设圆心到直线的距离 |Aa+Bb+C| d= A2+B2 代数法:由 ?Ax+By+C=0 ? d____r d____r

相离 ____个 d____r

判 定 方 法

? 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r

方 程 有 _____ 根
Δ____0

方程有
_____根 Δ____0

方程有____根
Δ____0

消元得到一元二次方程的判别式 Δ 【自主学习】 探究一:

例 1:判断下列直线与圆 ?x ?1? ? ? y ?1? ? 1的位置关系
2 2

1)x-y-2=0; (2)x+2y-1=0. 解:已知圆的圆心为 C(1,1),半径 r=1 (1)点 C 到直线 x-y-2=0 的距离为

d1 ?

| 1 ?1 ? 2 | 12 ? (?1) 2

?

2.

又 r=1,所以 d1 ? r ,可知直线与圆相离. x ? 2 y ? 1 ? 0,??① ? (2)建立方程组 ? 2 2 ,? ?② ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 由①可知 x=-2y+1,代入②得

(?2 y ? 1 ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ,
解此一元二次方程得

y ? 0或y ?

? 1 ? x ? , ? ? x ? 1 , ? ? 5 或 所以 ? y ? 0, ? ? ?y ? 2. ? ? 5 ? ?
故直线与圆相交于两个不同的点 A(1,0),

2 . 5

B(

1 2 , ). 5 5

变式训练:1.判断直线 4x-3y-2=0 与圆 ?x ? 3? ? ? y ? 5? ? 36 的位置关系
2 2

2.设直线 mx-y+2=0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,求实数 m 的值. 若直线与圆相交或相离时,m 的取值范围为多少?

例 2:过点A(4, ?3)作圆(x ? 3) 2 ? (y ? 1) 2 ? 1的切线,
求此切线的方程.

【思路探索】利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率,进而求出切线方程. 解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点 A 在圆外. (1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y+3=k(x-4). 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为 1,

所以

3k ? 1 ? 3 ? 4k k ?1
2
2

? 1 ,即|k+4|= k 2 ?1
2



所以 k ? 8k ? 16 ? k ? 1 解得 k= ?

15 15 所以切线方程为 y+3= ? (x-4), 8 8

即 15x+8y-36=0. (2)若直线斜率不存在,圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1, 这时直线与圆也相切, 所以另一条切线方程是 x=4. 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4. 变式训练 2: 1.求过点 P(-1,5)的圆(x-1)2+(y-2)2=4 的切线方程. 2. 例2已知过点M (?3, ?3)的直线l被圆x2 ? y2 ? 4 y ? 21 ? 0所截得的弦长为4 5, 求直线l的方程.



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