9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考复习指导讲义



直线
二、知识结构 1.有向线段 一条有向线段的长度, 连同表示它的方向的正负号, 叫做有向线段的数量.有向线段

AB 的数量用 AB 表示.
若有向线段 AB 在数轴上的坐标为 A(x1),B(x2),则 它的数量 AB=x2-x1 它的长度 |AB|=|x2-x1| 平面上两点间的距离 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是坐标

平面上的任意两点, 则 它们的距离
2 2 |P1P2|= (x 2 - x 1 ) ? (y 2 - y1 )

当 P1P2⊥Ox 轴时, |P1P2|=|y2-y1|; 当 P1P2⊥Oy 轴时, |P1P2| =|x2-x1|; 点 P(x,y)
2 2 到原点 O 的距离,|OP|= x ? y .

三角形的中线长公式 2 2 如图,AO 是△ABC 的 BC 边上的中线.则|AB| +|AC| 2 2 =2[|AO| +|OC| ] 2.线段的定比分点 有向直线 l 上的一点 P,把 l 上的有向线段 P1P2 分成两条有向线段 P1 P 分成两条有向 线段 PP 2 ,则 P1 P 和 PP 2 的数量之比 λ =

P1 P PP2

定比分点公式 若 P1、P2 两点坐标为(x,y1),(x2,y2),点 P(x,y)分有向线 段 P1P2 成定比 λ = 则 P 点坐标 x=

P1 P (λ ≠-1), PP2
y1 ? ?y 2 . 1? ?

x 1 ? ?x 2 , 1? ?

y=

(1).中点公式 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1P2 的中点 P(x,y)的坐标是 x=

x1 ? x 2 , 2

y=

y1 ? y 2 . 2

(2)三角形的重心公式 若△ABC 的各顶点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ ABC 的重心 G(x,y)的坐标是

x= 3.直线的方程 直线方程的几种形式 名称 斜截式 点斜式 已知条件 斜率 k 纵截距 b 点 P1(x1,y1) 斜率 k 点 P1(x1,y1) 和 P2(x2,y2) 横截距 a 纵坐标 b —

x1 ? x 2 ? x 3 , 3

y=

y1 ? y 2 ? y 3 . 3

方程 y=kx+bx y-y1=k(x-x1)

说明 不包括 y 轴和平行于 y 轴的直 线 不包括 y 轴和平行于 y 轴的直 线 不包括坐标轴和平行于坐标轴 的直线 不包括坐标轴,平行于坐标轴 和原点的直线 A、B 不同时为 0

两点式

y ? y1 x ? x1 = y1 ? y 2 x1 ? x2
x y + =1 a b
Ax+By+C=0

截距式 一般式

两条直线的位置关系 当直线不平行于坐标轴时: 直 线 1x+b1 l 1∶y=k 方 位 程 置 l2∶y=k2x+b 2 关 系 平行

l1∶A1x+B1y+C1=0 l2∶A2x+B2y+C2=0

l1 与 l2 组成的 方程组

?

k1=k2 且 b1≠b2

A1 B1 C = ≠ 1 A2 B 2 C 2
A1 B1 C1 = = A2 B 2 C 2
A1 B1 = A2 B 2
A1A2+B1B2=0

无解

重合

?

k1=k2 且 b1=b2

有无数多解

相交

? ?

k1≠k2

有唯一解

垂直

k1?k2=-1

两条直线的交角公式 (1)直线 l1 到 l2 的角 直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的角,叫做 l1 到 l2 的角. 计算公式 设直线 l1,l2 的斜率分别是 k1,k2,则 tgθ =

k 2 ? k1 1 ? k 1k 2

(k1k2≠-1)

(2)两条直线的夹角 一条直线到另一条直线的角小于直角的角,即两条直线所成的锐

角叫 做两条直线所成的角,简称夹角.这时的计算公式为:tgθ = 4.点与直线的位置关系 点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上的充要条件是 Ax0+By0+C=0. 点到直线的距离公式 点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离是 d=

k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

据此可推出: (1)两平行线间的距离公式 两平行直线 Ax+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 间的距离为 d=

C1 ? C 2 A2 ? B 2

.

5.直线关于点的对称 直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线,由中点坐标公式可得 直线 Ax+By+C=0 关于点 P(x0,y0)的对称直线方程是 A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0 即 Ax+By-(2Ax0+2By0+C)=0. “直线关于直线”对称 (1)几种特殊位置的对称 已知曲线 f(x,y)=0,则它: ①关于 x 轴对称的曲线是 f(x,-y)=0; ②关于 y 轴对称的曲线是 f(-x,y)=0; ③关于原点对称的曲线是 f(-x,-y)=0; ④关于直线 y=x 对称的曲线 f(y,x)=0; ⑤关于直线线 y=-x 对称的曲线 f(-y,-x)=0; ⑥关于直线 x=a 对称的曲线是 f(2a-x,y)=0; ⑦关于直线 y=b 对称的曲线是 f(x,2b-y)=0 三、知识点、能力点提示 (一)有向线段、两点间距离、线段的定比分点 例 1 在△ABC 中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠BAC 平分线的长. 解: 由两点距离公式求得│AB│=5,│AC│=10,设角平分线交 BC 于 D(x,y),由角 平分线 性质得λ =

BD AB 1 10 17 10 2 = = ,从而求得 D( , ),故可得│AD│= . DC AC 2 3 3 3

(二)直线方程,直线的斜率,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程,直线方程

的一 般形式 例 2 一直线过点 P(-3,4)且在两坐标轴上的截距相等,求此直线方程. 解: 设截距 a=b 且均不为零,故可设所求直线方程为

x y + =1.由 P 在直线上,解得 a a

a=1,∴所求直线方程为 x+y-1=0.但还有一种情况,即 a=b=0 ,直线过原点时也合题意,此 时直线方程为 4x+3y=0.故在使用截距式时必须检验截距为零是 否适合,以防漏解. (三)两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角,两条直线的交点,点到直线的距 离 说明 这部分内容近年高考在填空、选择及解答题中都常考查到. 使用公式求 l1 到 l2 的角时,应注意 k1、k2 的顺序.过两直线交点的直线系方程中不 包 括直线 l2. 例3 光线由点(-1, 4)射出, 遇直线 2x+3y-6=0 被反射, 已知反射光线过点(3 ,

62 ). 13

求反射光线所在直线方程. 解: 设(-1,4)点关于已知直线对称点为(x′,y′). 则点(-1,4)与点(x′,y′)的连线段被已知直线垂直平分,故可得

y? ? 4 3 = x? ? 1 2
解得 2(

x′=-

29 13

x? ? 1 y? ? 4 )+3( )-6=0 2 2

y′=

28 13

,再由两点式可得所求直线方程为 13x-26y+85=0. (四)综合例题赏析 例 4 如果 A?C<0 且 B?C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不 通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 第四象限 解: ∵A?C<0,B?C<0 ∴A≠0,B≠0,C≠0,

D.

A C x- . B B C C ∵B?C<0 ? <0 ? - >0, B B
∴Ax+By+C=0 可化 y=∴直线和 y 轴正半轴有交点. ∵A?C<0,即 A 和 C 异号,B?C<0 即 B 和 C 异号, ∴A 和 B 同号 ?

A A >0 ? - <0, B B

从而直线 Ax+By+C=0 过第一、二、四象限,不过第三象限. 应选 C. 例 5 和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是( ) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 解: 若曲线 c 的方程 f(x,y)=0,曲线 c 和 c′关于 x 轴对称,则曲线 c′的方程 是 f(x,-y)=0. ∴3x-4(-y)+5=0 即 3x+4y+5=0 为所求. 应选 B. 例 6 直线 bx+ay=ab(a<0,b<0=的倾斜角是( ) A.arctg(π -arctg

b ) a

B.arctg(-

a ) b

C.π -arctg

b a

D.

a b b x+b. a

解: 直线的倾角范围是[0,π ]. 由 a<0,b<0 知 a≠0,故原方程可化为 y=设此直线的倾角为α ,则 tgα =由 a<0 且 b<0 ? ∴a∈(

b . a

? ,π ). 2

b b >0 ? - <0, a a

∴α =π -arctg

b , a

应选 C. 例 7 若三点 P1,P2 在一条直线上,点 P1 和点 P2 在直角坐标系中的坐标分别为(0,-6) 和(3,0),且

P1 P 1 =- , 则点 P 的坐标是_________. 2 PP2 P1 P ,则 PP2

解: 若 P1(x1,y1),P2(x2,y2)和 P(x,y)三点在一条直线上,且λ =

x=

x 1 ? ?x 2 y ? ?y 2 ,y= 1 , 1? ? 1? ?
1 ,代入上面公式 ,得 2

由题设知,x1=0,y1=6,x2=3,y2=0,λ =

1 ?3 0 ? (? ) ? 3 2 x= = 2 =-3, 1 1 1 ? (? ) 2 2 1 ? 6 ? (? ) ? 0 ?6 2 y= ? ? ?12, 1 1 1 ? (? ) 2 2
∴P 点坐标是(-3,-12). 例 8 通过点(0,2)且倾斜角为 15°的直线方程是( A.y=( 3 -2)x+2 B.y=( 2 -1)x+2 ) C.y=(2-

3

)x+2

D.y=(

3 -1) x+2 2

解: ∵直线通过点(0,2). ∴直线在 y 轴上的截距 b=2. ∵直线的倾角为 15°,

1 ? cos30? ∴直线的斜率 k=tg15°= ? sin 30?

1? 1 2

3 2 ? 2 ? 3.

把 k=2- 3 ,b=2 代入直线的斜截式方程 y=kx+b,得 y=(2- 3 )x+2 . 应选 C. 例 9 直线 3x-2y=6 在 y 轴上的截距是( A. ) C. -3 D.3

3 2

B.-2

解: ∵3x-2y=6 ? y=又直线的截距为

x y + =1, 2 ?3

x y ? ? 1, a b

∴b=-3,即在 y 轴上的截距为-3. 应选 C. 例 10 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么系数 a=( A.-3 B.-6 C.-

) D.

3 2

2 3

解 : l1:A1x+B1y+C1=0 , l2:A2x+B2y+C2=0 , 且 A2 ≠ 0 , B2 ≠ 0 , C2 ≠ 0 , 则 有 l1 ∥ l2 ?

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2
a 2 2 ? ? ? a ? ?6 . 3 ?1 ? 2
) D.a=3, b=6

∴由题设有

应选 B. 例 11 如果直线 y=ax+2 与直线 y=3x-b 关于直线 y=x 对称 ,那么( A.a=

1 ,b=6 3

B.a=

1 ,b=-6 3

C.a=3, b=-2

解:若 C1 的方程是 f(x,y)=0,C2 和 C1 关于直线 y=x 对称,则 C2 的方程是 f(y,x)=0. ∴直线 y=ax+2 关于直线 y=x 对称的直线的方程是 x=ay+2,即 y= 由题设 y=

1 2 x- . a a

1 2 x ? 和 y=3x-b 是同一条直线, a a

?1 1 ?3 ? ? ?a ?a ? ∴? ,解得 ? 3 ? ? 2 ? ?b ? ?b ? 6 ? ? a
∴应选 A. 例 12 如果直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y-2=0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 B.) D.-2

1 3

C. -

2 3

解:两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,互相垂直的充要条件是 : A1A2+B1B2=0 ∴由题设得 a?1+2?1=0,从而 a=-2. 应选 D. 例 13 点 P(2,5)关于直线 x+y=0 的对称点的坐标是( ) A.(5,2) B.(2,-5) C.(-5, -2)

D.(-2, -5)

解:设 P(2,5)和 Q(m,n)关于直线 y=-x 对称,则 PQ 中点 R( 且 KPQ?(-1)=-1.

m?2 n?5 , )在 y=-x 上, 2 2

?m ? 2 n ? 5 ? ?0 ? ?m ? ?5 ? 2 2 ∴? 解得 ? ?n ? ?2 ? n ? 5 ? (?1) ? ?1, ? ?m ? 2
∴对称点 Q 的坐标是(-5,-2). 应选 C. 例 14 原点关于直线 8x+6y=25 的对称点坐标是( A.(2,

) C.(3,4) D.(4,3)

2 ) 3

B.(

25 25 , ) 8 6

解:设(m,n)为所求,则

n?0 ? m?0 8? ? 6? ? 25 ? ? 2 2 ? ? n ? ( ? 4 ) ? ?1 ? 3 ?m



② 解得 m=4,n=3 ∴应选 D. 例 15 点(0,5)到直线 y=2x 的距离是( A.

) C.

5 2

B. 5

3 2

D.

5 2

解:y=2x ? 2x-y=0 ∴d=

2 ? 0 ? 1? 5 2 2 ? (?1) 2

? 5.

应选(B) 例 16 以 A(1,3)、B(-5,1)为端点的线段垂直平分线的方程是( A.3x-y+8=0 B.3x+y+4=0 C.2x+y+2=0 解:设 P(x,y)为线段 AB 的中垂线上的点, 则│PA│=│PB│
2 2 即 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ?

) D.3x+y+8=0

( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 , 化简得 3x+y+4=0.

应选 B. 例 17 在直角坐标系 xoy 中,过点 P(-3,4)的直线 1 与直线 OP 的夹角为 45°,求 1 的方程. 解:设 1 的斜率为 k,kOP =-

4 , 3

4 4 k ? (? ) k? 3 = 3 = 3k ? 4 , ∴tg45°= 4 4 1 ? k (? ) 1 ? k 3 ? 4k 3 3

3k ? 4 1 =±1,解出 k=- ,7 3 ? 4k 7 1 ∴1 的方程为 y-4=(x+3)或 y-4=7(x+3). 7
得 即 1 的方程为 x+7y-25=0 或 7x-y+25=0. 例 18 点(0,1)到直线 x+y=2 的距离是 解:d= .

0 ? 1 ? 1 ?`?2 1 ?1
2 2

?

2 2

四、能力训练 (一)选择题 1.数轴上有一有向线段,起点 A 的坐标为-m,终点 B 的坐标为 n,那么此有向线段的数 量 可表示为( ) A. AB =n-m D.AB=n-m 2.已知点 M(3,4),N(12,7),P 在直线 MN 上,且 A.(6,5) 或(6,5) B.(9,6) B.AB=n+m C. │ AB │ =n+m

PM MN

=

1 ,则点 P 的坐标是( 3

)

C.(0, 3)

D.(0, 3)

3.直线 x+ 3 y-1=0 的倾斜角是( A.

) C.

? 6
1 2

B.-

? 3

2? 3
)

D.

5? 6

4.方程│x-1│+y=1 确定的曲线与 x 轴围成的图形的面积是( A. B.1 C.2

D.4

5.过点(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A.x+y=5 B.3x-2y=0 C.x+y=5 D.4x-y=5 6.过点(1,2)倾斜角α 的正弦值是 A.4x-3y+2=0 ±



3x-2y=0

4 的直线的方程是( 5

) C.3x-4y+6=0 D.y=

B.4x+3y-6=0

4 (x-1)+2 3

7.如果直线 Ax+By+C=0 的倾斜角是一锐角,且在 y 轴上的截距大于零,则( ) A.AB>0,AC>0 B.AB>0,AC<0 C.AB<0, AC>0 D.AB <0,AC<0 8.下列各点中,不与 P(4,3)、Q(-1,6)两点共线的点是( ) A.(5,6) B.(2,-3) C.(3t , t+3)( 这 里 t ∈ Z) D.(t+3,3t)(这里 t∈Z) 9.两条不重合的直线 mx+y-n=0 和 x+my+1=0 互相平行的充要条件是( ) A.m=1,n=1 B.m=-1,n=-1 C.m=1,n ≠ -1, 或 m=-1,n ≠ 1

D.m≠±1,n≠±1 10.点(a,b)关于直线 x+y=1 对称的点的坐标是( A.(1-a,1-b) B.(1-b,1-a) D.(-b,-a) 11.已知 0≤θ ≤ 等于( A. )

) C.(-a , -b)

1 ? ,且点(1,cosθ ) 到直线 xsinθ +ycosθ =1 的距离等于 ,则θ 4 2
B.

5? 12

? 6

? 4

C.

? 3

D.

12.已知直线 l1∶x-2y-6=0,l2∶3x-y+4=0 下列说法中错误的是( ) A.l1 与 l2 的夹角是 45° B.l1 到 l2 的角是 45° C.l2 到 l1 的夹角是 45° D.l2 到 l1 的角是 135 ° 13.l1∶x+3y-7=0,l2∶kx-y-2=0 与 x 轴、y 轴正方向所围成的四边形有外接圆,则 k 为( ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 14.已知 P(-2,-2),Q(0,-1),取一点 R(2,m)使│PR│+│RQ│最小,则 m 为( )

1 A. 2 4 D.3

B.0

C.-1

15.设点 A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),且 M(a,b)是线段 AB 上的一点(a≠0),则直 线 MC 的斜率的取值范围是( ) A.[∞ ,-

5 ,1] 2

B.[-1,

5 ] 2

C.[-

5 ,0]∪(0,1) 2

D.(-

5 ]∪〔1,+∞) (二)填空题 2

16.两条平行直线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-8=0 间的距离是 . 17.直线 x+5=0 与直线 x+2y-5=0 的夹角是 . 18.直线 y=-x+b 和 5x+3y-31=0 的交点在第一象限,那么 b 的范围是 . 19.已知点 P 是直线 l 上一点,将直线 l 绕点 P 沿逆时针方向旋转角α (0°<α <90° =,所得直 线的方程是 x-y-2=0,若将它继续为转 90°-α ,所得直线的方程 2x+y-1=0, 则直线 l 的方程为 . (三)解答题 20.正方形中心为 G(-1,0),一边所在直线的斜率为 3,且此正方形的面积为 14.4,求 这正方 形各边所在直线的方程. 21.已知在△ABC 的边上运动的点 D、E、F 在 t=0 时分别从 A、B、C 出发,各以一定的 速度向 B、 C、A 前进,在 t=1 时分别达到 B、C、A,试证明在运动过程中,△DEF 的重心是 一个定点. 22.一条光线从点 M(5,3)射出,被直线 l∶x+y=1 反射,入射光线到直线 l 的角为β , 已知 tgβ =2,求入射光线与反射光线所在直线的方程. 23.用解析法证明三角形内角平分线性质定理.

24.过点 P(2,1)作直线 l 交 x,y 轴的正向于 A,B 的点,求 (1)当△AOB 的面积最小值时,直线 l 的方程. (2)│PA│?│PB│为最小时,直线 l 的方程. 25.当θ ≠

n? 2 2 2 2 2 时,求证:方程 x (tg θ +cos θ )-2xytgθ +y sin θ =0 表示过原点的两 2

直线,且其斜率之差 的绝对值为 2.
参考答案 (一)1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D 15.D

(二)16.

? 14 53 ;17. 2 53

-arctg

1 2

;18.

31 31 <b< ;19.略 5 5

( 三)20.3x-y+9=0,3x-y-3=0,x+3y+7=0,x+3y-5=0;21 ,证略:22. 入射光线: y -3x+12=0, 反射光线: 3y-x+10=0;23.证略;24.(1)x+2y-4=0,(2)x+y-3=0;25.证略.



更多相关文章:
高考复习指导讲义 第八章 多面体和旋转体
20页 免费 4高考复习指导讲义 第四章... 25页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
汇编浅析高考复习指导讲义
汇编浅析高考复习指导讲义_哲学/历史_人文社科_专业资料。汇编浅析高考复习指导讲义2012 年全国高考模拟参考部分高考复习指导讲义 第六章 排列组合、二项式定理一、考纲...
2014高考英语总复习方法备考策略及总复习资料
2014高考英语总复习方法备考策略及总复习资料_高考_高中教育_教育专区。2014年高考...的高考英语教辅,且能连续四年命中率均超 60%, 就充分说明了其极高的指导意义...
高考复习指导讲义 圆锥曲线
高考复习指导讲义 圆锥曲线_数学_高中教育_教育专区。高考复习指导讲义 圆锥曲线一、考纲要求 1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念, 能够根据所给条件...
高考复习指导讲义 第四章 数列
中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 高考复习指导讲义 第四章 数列、极限、数学归纳法一、考纲要求 1.掌握: ①掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、...
高考复习指导讲义 第五章 复数
中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 高考复习指导讲义 第五章 复数一、考纲要求 1.理解复数、虚数、纯虚数的...
高考复习指导讲义三角、反三角函数
中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度和角度的互换...
高三物理复习资料大全
高三物理复习资料大全_高考_高中教育_教育专区。高考物理第一轮复习资料(知识点梳理...三、专题训练要有的放矢 专题训练的主要目的是通过解题方法指导, 总结出同类...
高中历史专题复习讲义
思想的比较 “重农抑商”思想产生于战国时代,并成为历代封建王朝的经济政策指导...高考历史答题模式 7页 1下载券 高中历史专题复习资料 40页 免费 中国地理复习笔记...
高考基础复习专题资料1
高考基础复习专题资料练习八 一、 (8 分,每小题 3 分) 1.下列词语中加点字的读音完全相同的一组是【 A.茎叶痉挛 自刭 有力 泾 渭分明 ... 强劲 .. ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图