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空间向量与立体几何.板块五.用空间向量解柱体问题(1).学生版


板块五.用空间向量解柱体问 题(1)

典例分析
【例1】 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,?BAC ?

π , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,点 G 与 E 分 2


别为线段 A1 B1 和 C1C 的中点,点 D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点.若
G D ? E F,则线段 DF 长度的最小值是(

A1 G B1

C1

E A F B D C

A. 2

B. 1

C.

2 5 5

D.

2 2

ABCD ,底面 ABCD 是边长为 1 的 【例2】 如图,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, A 1 D ? 平面

正方形,侧棱 AA1 ? 2 .

⑴ 求证: C1 D ∥平面 ABB1 A1 ; ⑵ 求直线 BD1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值; ⑶ 求二面角 D ? A1C1 ? A 的余弦值.

1

【例3】 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? 2 AA1 , 点 D 是 A1 B1 的中点, 点 E 在 A1C1 上,且 DE ? AE . ⑴ 证明:平面 ADE ? 平面 ACC1 A1 ; ⑵ 求直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值.
A1 E D B1 A C1

C

B

【例4】 如图,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形, AB ∥ CD ,

AB ? 4 , BC ? CD ? 2 , AA1 ? 2 , E , E1 , F 分别是棱 AD 、 AA1 、 AB 的中点.
⑴ 证明:直线 EE1 ∥ 平面 FCC1 ; ⑵ 求二面角 B ? FC1 ? C 的余弦值.
D1 A1 C1 B1

E1 E A

D

C B

F

O1 分别是边 AC , 【例5】 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , 底面边长 AB ? 2 ,AA1 ? 2 , 点O 、

A1C1 的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.

⑴ 求证: AB1 ? BC1 . ⑵ 若 M 为 BC1 的中点,试用基向量 AA1 、 AB 、 AC 表示向量 AM ; ⑶ 求异面直线 AB1 与 BC 所成角的余弦值.

2

z A1 B1 M A x B O C O1 C1

y

【例6】 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?ACB ? 90? , AC ? 1 ,CB ? 2 ,侧棱 AA1 ? 1 , 侧面 AA1 B1 B 的两条对角线交点为 D , B1C1 的中点为 M . ⑴ 求证: CD ? 平面 BDM ; ⑵ 求面 B1 BD 与面 CBD 所成二面角的大小. A A1
D C M B B1 C1

【例7】 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 3 ,侧棱 AA1 ? 上一点,且 BD ? BC .
A A1

3 3 , D 是 CB 延长线 2

C B D B1

C1

⑴ 求证:直线 BC1 ∥ 平面 AB1 D ; ⑵ 求二面角 B1 ? AD ? B 的大小; ⑶ 求三棱锥 C1 ? ABB1 的体积.

【例8】 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 中, CA ? CB ? 1 , ?BCA ? 90° ,棱
N 分别是 A1 B1 , AA1 ? 2 , M , A1 A 的中点,

⑴ 求 BN 的长; ⑵ 求 BA1 与 CB1 的夹角的余弦值; ⑶ 求证: A1 B ? C1M .

3

C1 B1 A1 M

N C A B

【例9】 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 所有棱长都是 2 , D 是棱 AC 的中点, E 是棱 CC1 的 中点, AE 交 A1 D 于点 H . ⑴ 求证: AE ? 平面 A1 BD ; ⑵ 求二面角 D ? BA1 ? A 的大小(用反三角函数表示) ; ⑶ 求点 B1 到平面 A1 BD 的距离.
B1 B

C1

E H D

C

A1

A

【例10】 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1, M 是底面 BC 边上 的中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN ? ? NC1 . ⑴ 求证: AM ? 面 BCC1 B1 ; (或若 E 为 AB1 的中点,求证: EM ∥平面 AA1C1C . ⑵ 若二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值为
5 ,求 ? 的值; 5

⑶ 在第⑵ 的前提下,求点 B1 到平面 AMN 的距离.
A1 B1 C1 N A B M C

4

【例11】 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC1 ? A1C , . BC1 ? AB1 .求证: AB1 ? AC 1
C1

A1

B1

C

A

B

? 【例12】 直 四 棱 柱 A B C D

1

A 1B 1C 1 D 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 , 其 中 AB ? 2 , 的

BD ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , E 为 DC 中点, F 是棱 DD1 上的动点.

⑴ 求异面直线 A1 D1 与 BC1 所成角的正切值;

1 时,证明 EF ? BC1 ; 4 ⑶ 当 DF 的长为多少时,二面角 E ? FB ? D 的大小为 60 ? ?
⑵ 当 DF ?
D1 A1 B1 C1

F D A E B C

【例13】 如图,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三 角形,且 AB 是圆 O 直径.
A1 C1 O1 B1

A C

O

B

⑴ 证明:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BCC1 ; ⑵ 设 AB ? AA1 , 在圆柱 OO1 内随机选取一点, 记该点取自于三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内 的概率为 p . (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值;

5

(ii)记平面 A1 ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? ? 0?<? ≤ 90?? ,当 p 取最大值时, 求 cos ? 的值.

6


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