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浙江省诸暨市牌头中学高中数学竞赛训练题(201408)(答案不全)



高中数学竞赛训练题 201408
1、已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? 1 ,则 a ? b 的最大值为 _______。 2、半径为 R 的球的内接圆柱表面积最大值为_____。 3、已知 x,y,z ? R , S ?
2 2
?

x ? 2 ? y ? 5 ? z ? 10 , T ? x ? 1 ? y ? 1

? z ? 1 ,

则 S ? T 的最小值为_______。 4、设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别 在棱 AA1、CC1 上,满足 AP=C1Q, 则四面体 BPQB1 的体积为_______。 5、 已知 O 是△ABC 的外心, 若 AB=AC, ∠CAB=30°, 且 CO ? ?CA ? ?CB , 则 ?? ? _____。

6、P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 在第一象限上的点,Q 为点 P 关于原点对称的点,PH⊥x 轴于点 a 2 b2

H,直线 HQ 交双曲线于点 M(异于 Q) ,若∠MPQ 的角平分线斜率为 1,则此双曲线的离 心率为_______。 7、反复抛掷 一枚质地均匀 的骰子,每一次抛掷后均记录正面向上的点数,当记录有四个不 同的点数时即停止抛掷。则恰好抛掷六次后停止抛掷的不同记录结果总数为_______。
[来源:学,科,网]

8、设 m、n 为整数,53<m、n <100,令 x ? m ?

?

m ? 1 , y ? m ? m ? 1 ,若 y 的整

?

n

?

?

n

数部分为 2013,且 2013 除以 m 的余数为 53,则 x 的整数部分除以 m 的余数是_______。 9、在直角梯形 SABC 中,∠B=∠C=90°,D 为边 SC 上的点,且 AD⊥SC。现将△SAD 沿 AD 折起到达 PAD 的位置(折起后点 S 记为 P) ,并使得 PA⊥AB。 (1)求证:PD⊥平面 ABCD; (2)已知 PD=AD,PD+AD+DC=6,当线段 PB 取得最小值时,请解答以下问题: ①设点 E 满足 BE ? ? BP?0 ? ? ? 1? ,则是否存在 ? ,使得平面 EAC 与平面 PDC 所成的锐角的大小是 60°?若存在,请求出 ? ;若不存在,请说明理 由。 ②设 G 是 AD 的中点,则在平面 PBC 上是否存在 点 F,使得 FG⊥平面 PBC?若 存在,确定点 F 的位置;若不存在,请说明理由。

10、设椭圆:

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆 a2 1 ? a2

上的第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q,证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上。

11、已 知 f ? x ? ?

1 ? ln? x ? 1? k , g ?x ? ? 。求最大的正整数 k ,使得对任意的正数 c , x x ?1

存在实数 a 、 b 满足 ? 1 ? a ? b ? c ,且 f ?c ? ? f ?a ? ? g ?b? 。
[来源:Z§xx§k.Com]

[来源:Z#xx#k.Com]

[来源:学+科+网]

[来源:Z§xx§k.Com]

1 V 6 ; 1 ? 5 ?R2 ;36; ; 7 3 ? 12; ;9000 ; m ? 52 ; 4 3 2
9、略。 10、 x ? y ? 1。 11、略。

?

?

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