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湖北省省实验中学等部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末联考数学(文)试题



武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期期末联考 高一数学试卷(文科)
命题学校:省实验中学 命题教师:饶艳 审题教师:李红英
试卷满分:150 分 考试时间:2015 年 7 月 1 日下午 2:3 0-4:30

★祝考试顺利★
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项

中,只有一 项是满足题目要求的。 1.下列说法中,正确的是( A.若 a ? b, c ? d ,则 ac ? bd C.若 ) B. 若 ac ? bc ,则 a ? b D. 若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d )

a b ? 2 ,则 a ? b 2 c c

2.若一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( A.120° B.150° C.180° D.240° 3.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是( A. )

29

B. 5

C.

13

D. 2 2

4.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中异面直线 AC 和 A 1 D 所成角的余弦为 ( A. ).

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.0

5.设直线 m、n 和平面 是 A. 若 C. 若

,下列四个命题中,正确的 ( ) B. 若 D. 若

6.在四面体 ABCD 中, AB ? AD ,AB=AD=BC=CD=1,且 平面ABD ? 平面BCD ,M 为 AB 中点,则 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值为( A. ) D.

2 2
)

B.

3 3

C.

3 2

6 3

7.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为 (

A.16+6 C.10+6

+4π cm2 +4π cm2

B.16+6 D.10+6

+3π cm2 +3π cm2

1

8, 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 ? ??,1? , 则关于 x 的不等式 (ax ? b)( x ? 3) ? 0 的解 集是( )

A. ? ??, ?1? C. (1,3) 9.若正数 a, A.6+2

(3, ??)

B. (?1,3) D. ? ??,1?

(3, ??)


b 满足 3a+4b=ab,则 a+b 的最小值为( B.7+2 C.7+4 D.7-4

10.某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

11.如图, 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, 线段 B1D1 上有两个动点 E、 F, 且 EF= 下列结论中正确的个数 为( ) ..... ①AC⊥BE; ②EF∥平面 ABCD; ③三棱锥 A﹣BEF 的体积为定值; ④ ?AEF 的面积与 ?BEF 的面积相等, A.1 B.2 C. 3 D. 4 12..设 M ? ( 范围是( A. ?0, ?

1 . 则 2

1 1 1 ? 1)( ? 1)( ? 1) 满足 a ? b ? c ? 1 (其中 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ) ,则 M 的取值 a b c
) B. ? ,1?

? 1? ? 8?

?1 ? ?8 ?

C. ?1,8?

D. ?8,???

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置 ....... 上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 13.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 P—ABCD, 其中底面四边形 ABCD 是边长为 1 的 正方形,PA=1,且 PA ? 平面ABCD ,则毛球体坏体积的体积最小应为 14.设 k>0, 若关于 x 的不等式 kx+ . .

≥12 在 (1, +∞) 上恒成立, 则 k 的最小值为

2

15.如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,E、 F 分别是点 A 在 PB、PC 上的射影,给出下列结论: ①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC; ⑤ 平面PBC ? 平面PAC 。其中正确命题的序号是 16 .设正实数 x, y, z 满足 x2 ? xy ? 4 y 2 ? z ? 0 . 则当 .

z 取得最小值时, xy

x ? 4 y ? z 的最大值为__________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f(x)= (1)求 A; (2)若 B={x|x2﹣2x+1﹣k2≥0},且 A∩B≠?,求实数 k 的取值范围. 的定义域为 A,

18.(本题满分 12 分) 如图,△ 中, , , ,在三

角形内挖去一个半圆(圆心 在边 上,半圆与 、 分别相 切于点 、 ,与 交于点 ) ,将△ 绕直线 旋转一周 得到一个旋转体. (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体的体积.

19.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

3

20.(本题满分 12 分) 某建筑工地决定建造一批简易房(房型为长方体状,房高 2.5 米) ,前后墙用 2.5 米高的彩色 钢板,两侧用 2.5 米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为 2.5 米,用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格) ,每米单价:彩色钢板为 450 元,复合钢 板为 200 元.房顶用其它材料建造,每平方米材料费为 200 元.每套房材料费控制在 32000 元以内. (1)设房前面墙的长为 x,两侧墙的长为 y,所用材料费为 p,试用 x,y 表示 p; (2)简易房面积 S 的最大值是多少?并求当 S 最大时,前面墙的长度应设计为多少米?

21.(本题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PC⊥底面 ABCD, ABCD 是直角梯形, AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E 是 PB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)求二面角 P—AC—E 的余弦值; (Ⅲ)求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.

22. (本题满分 12 分) 设关于 x 的一元二次方程 a x2+x+1=0(a>0)有两个实根 x1,x2, (Ⅰ)求(1+x1) (1+x2)的值; (Ⅱ)求证 x1 ? ?1且 x2 ? ?1 ; (Ⅲ)如果

x1 ? 1 ? ? ? ,10? ,试求 a 的取值范围. x2 ?10 ?

4

武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期期末联考 高一数学试卷(文科)参考答案
一、 选择题
CCAADD CBCACD

二、 填空题
13.
3 ? 2
14. 4 15. ①②③⑤ 16.

3 2

三、解答题

17 解: (1)由题意,得



解得﹣3<x<0,或 2<x<3, ∴函数的定义域为 A=(﹣3,0)∪(2,3) ;.............4 分 (2)∵x ﹣2x+1﹣k ≥0, ∴当 k≥0 时,x≤1﹣k 或 x≥1+k, 当 k<0 时,x≤1+k 或 x≥1﹣k; 又∵A∩B≠?,
2 2

.............6 分

?k ? 0 ? ∴ ?1 ? k ? ?3 ? k ? 4 ; ?1 ? k ? 3 ?
18 解: (1)连接 设 ,则 ,则 ,

?k ? 0 ? 或 ?1 ? k ? ?3 ? k ? ?4 ?1 ? k ? 3 ?


∴ k 的取值范围为 k ? 4 或 k ? ?4 ..............10 分



中,



所以

(4 分)

所以 (2) , 中,

. ,

(6 分) , ,

(8 分)

5

. (12 分)

19 证明: (1)连接 AC 交 BD 与 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是矩形, ∴点 O 是 AC 的中点. 又∵E 是 PC 的中点 ∴在△ PAC 中,EO 为中位线 ∴PA∥EO. (3 分) 而 EO? 平面 EDB,PA? 平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. (6 分) (2)由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是矩形, ∴DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC,而 DE? 平面 PDC, ∴BC⊥DE.①(9 分) ∵PD=DC,E 是 PC 的中点, ∴△PDC 是等腰三角形,DE⊥PC.② 由①和②得 DE⊥平面 PBC. 而 PB? 平面 PBC, ∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD. (12 分) 20 解: (1)P=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy 即 P=900x+400y+200xy.............4 分 (2)S=xy,且 P≤32000; 由题意可得:P=200S+900x+400y≥200S+2 ............6 分 ∴200S+1200 ≤P≤32000 2 ∴( ) +6 ﹣160≤0 ∴0< ≤10 当且仅当 ,即 x= 取最大值; 米...........12 分

答:简易房面积 S 的最大值为 100 平方米,此时前面墙设计为 21.(Ⅰ)证明:∵PC⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,∴AC⊥PC, ∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC= , 2 2 2 ∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC,
6

又 BC∩PC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC.…(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PBC

? AC ? CP, AC ? CE,??PCE 即为二面角 P—AC—E 的平面角.
∴在 RT ?PCB中, PC ? 2, BC ? 2 , ∴E 为中点,可得 PE ? CE ?

6 2

CP 2 ? CE 2 ? PE 2 ? cos ?PCE ? ? 2CP CE

22 ? (

6 2 6 ) ? ( )2 6 2 2 ? …………8 分 3 6 2? 2? 2
平面 PBC=CE,

(Ⅲ)作 PF ? CE ,F 为垂足 由(Ⅰ)知平面 EAC⊥平面 PBC,又∵平面 EAC

∴ PF ? 面EAC ,连接 AF,则 ? PAF 就是直线 PA 与平面 EAC 所成的角。 由(Ⅱ)知 CE ?

CE PF 2 2 3 6 ,由等面积法可知, ? ,? PF ? 2 2 3 2 PF 2 ? PA 3

在 RT ?PAC中 , PC ? 2, AC ? 2, 得 PA ? 6,?sin ?PAF ?

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为
2

2 。…………12 分 3

22 解: (1)∵关于 x 的一元二次方程 ax +x+1=0(a>0)有两个实根 x1,x2, 由韦达定理可得 x1+2=- ,x1?x2= , (1+x1) (1+x2)=1+x1+x2+x1?x2=1- + =1
2

………3 分

(2)由方程的△≥0,可推得二次函数 f(x)=ax +x+1 图象的对称轴 ,又由于 f(-1)=a>0, 所以 f(x)的图象与 x 轴的交点均位于(-1,0)的左侧,故得证

………7 分

1 ? x1 ? x2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) 2 x1 x2 1 ? a ? ? ? ?2? (3)由 ? x1 x2 x2 x1 a ? x1 x2 ? 1 ? a ?

x1 ? 1 ? 1 x x ? 121? ? 10 1 ? ? ? ,10? ,? ? 1 ? 2 ? 2 ? ?4, ? a?? , ? x2 ?10 ? a x2 x1 ? 10 ? ?121 4 ? ?

7

结合 ?

?a ? 0 1 ? 0 ? a ? ,可得 4 ? ? ? 1 ? 4a ? 0
………12 分

? 10 1 ? , a 的取值范围为 ? ? 121 4 ? ?

8



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