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2013年高考数学二轮复习学案:专题7三角恒等变换与解三角形(江苏专用)



专题 7 三角恒等变换与解三角形

回顾 200 8~2012 年的考题,在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题 中有 2008、2011 年主要考查了三角化简求值,2009 年考查了向量与三角化简的综合问题,2012 年考查角 的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中,有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年 的考查中,同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大,但作为三角化简的基本功还 是要掌握的. 预测在 2013 年的高考题中: ?1?填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形,随着题目设置的顺序,难度不一. ?2?在解答题中, 三角函数的化简、 三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.

sin α+cos α 1.(2012· 南京名校 4 月阶段性考试)若 =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α tan α+1 解析:由题意得 =3.所以 tan α=2. tan α-1 又 tan(α-β)=2,所以 tan(β-α)=-2. 所以(β-2α)=tan[(β-α)-α]= 4 答案: 3 2. 1+cos 20° - -sin 10° (tan 15° -tan 5° )=________. 2sin 20° tan?β-α?-tan α 4 = . 1+tan?β-α?tan α 3

sin 5° 2cos210° ?cos 5° ? - 解析:原式= -sin 10° cos 5° ? sin 5° ? 4sin 10° cos 10° = = = cos 10° -2sin 20° cos 10° -2cos 10° = 2sin 10° 2sin 10° cos 10° -2sin?30° -10° ? 2sin 10° cos 10° -2sin 30°cos 10° +2cos 30°sin 10° 2sin 10° 3 . 2

=cos 30° =

答案:

3 2

AC 3.在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 的值等于________,AC 的取值范围为________. cos A AC BC 解析:设 A=θ,则 B=2θ.由正弦定理得 = , sin 2θ sin θ ∴ AC AC =1? =2. 2cos θ cos θ

由锐角△ABC 得 0° <2θ <90° ?0° <θ<45° , 又 0° <180° -3θ<90° ?30° <θ<60° ,故 30° <θ<45° ? ∴AC=2cos θ∈( 2, 3).[来源:Zxxk.Com] 答案:2 ( 2, 3) 2 3 <cos θ< , 2 2

4.(2012· 西安名校三检)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的 面积.若向量 p=(4,a2+b2-c2),q=( 3,S),满足 p∥q,则∠C=________. 1 解析:由 p∥q?4S- 3(a2+b2-c2)=0,又 4S=4× absin∠C= 3(a2+b2-c2),可得 sin∠C= 3 2 × a2+b2-c2 π = 3cos ∠C,即 tan ∠C= 3,故∠C= . 2ab 3 π 答案: 3 4 4 5. 在△ABC 中, A 为最小角, C 为最大角, 已知 cos(2A+C)=- , sin B= , 则 cos 2(B+C)=________. 3 5 解析:∵A 为最小角, ∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180° . 4 3 ∵cos(2A+C)=- ,∴sin(2A+C) = . 5 5 ∵C 为最大角,∴B 为锐角. 4 3 又 sin B= ,故 cos B= . 5 5 4 3 即 sin(A+C)= ,cos(A+C)=- . 5 5 24 527 ∵cos(B+C)=-cos A=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- ,∴cos 2(B+C)=2cos2(B+C)-1= . 25 625 527 答案: 625

[来源:学, 科,网 Z,X,X,K]

[典例1]

π 3π 12 3 已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- .[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 2 4 13 5 (1)用 α+β,α-β 表示 2α;(2)求 sin 2α,cos 2α 的值. [解] (1)2α=(α-β)+(α+β). π 3π (2)因为 <β<α< , 2 4 π 3π 所以 0<α-β< ,π<α+β< . 4 2 12 3 又因为 cos(α-β)= ,sin(α+β)=- , 13 5 5 4 所以 sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= ,cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=- . 13 5 所以 sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) = 5 ? 4? 12 ? 3? 56 ×?-5?+ ×?-5?=- , 13 13 65

cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)] =cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) = 12 ? 4? 5 ? 3? 33 × - - × - =- . 13 ? 5? 13 ? 5? 65

三角函数式的化简、求值, 常从角的差异入手,寻求条件与结论之间的关系,通过三角恒等变换消除 差异,使问题获解. [演练1] π 1 5 11π x+ ?= ,则 sin? π-x?+sin2? -x?的值为________. 已知 sin? ? 6? 4 ?6 ? ? 6 ? 5 π? 5 2?11π 2? 2? ? ? ? ?π ?? ? π?? ? π? 解析:sin? ?6π-x?+sin ? 6 -x?=sin ?π-?6+x??+sin ?2π-?x+6??=sin?x+6?+sin ?x+6?=16. 答案 : 5 16

[典例2] (2012· 南通第一次调研)在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. a (1)若 2sin Acos C=sin B,求 的值; c (2)若 sin(2A+B)=3sin B,求 tan A 的值. tan C

sin A a [解] (1)由正弦定理得 = . sin B b 从而 2sin Acos C=sin B 可化为 2acos C=b. a2+b2-c2 由余弦定理得 2a× =b. 2ab

a 整理得 a=c,即 =1. c (2)在斜三角形 ABC 中,A+B+C=π, 所以 sin(2A+B)=3sin B 可化为 sin[π+(A-C)]=3sin[π-(A+C)], 即-sin(A-C)=3sin(A+C). 故-sin Acos C+cos Asin C=3(sin Acos C+cos Asin C). 整理得 4sin Acos C=-2cos Asin C, 因为△ABC 是斜三角 形,所以 cos Acos C≠0, tan A 1 所以 =- . tan C 2

解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理,要熟悉它们的使用的条件,合理选用.解三角形常与三 角恒等变换、三角求值综合考查,要注意三角形中角的限制条件. [演练2] tan A 2c 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 1+ = ,则角 A 的大小为________. tan B b sin?A+B? 2sin C tan A 2c 解析:由 1+ = ,得 = , tan B b cos Asin B sin B 1 π 即 cos A= ,故 A= . 2 3 π 答案: 3 [典例3] (2012· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c;则下列命题正确的是________. π ①若 ab>c2,则 C< ; 3 π ②若 a+b>2c,则 C< ; 3 π ③若 a3+b3=c3,则 C< ; 2 π ④若(a+b)c<2ab,则 C> ; 2 π ⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,则 C> . 3 a2+b2-c2 2ab-ab 1 π [解析] ①ab>c2?cos C= > = ?C< ; 2ab 2ab 2 3 a2+b2-c2 4?a2+b2?-?a+b?2 1 π ②a+b>2c?cos C= > ≥ ?C< ; 2ab 8ab 2 3 π ③当 C≥ 时,c2≥a2+b2?c3≥a2c+b2c>a3+b3 与 a3+b3=c3 矛盾; 2 π ④取 a=b=2,c=1 满足(a+b)c<2ab 得 C< ; 2

π ⑤取 a=b=2,c=1 满足(a2+b2)c2<2a2b2 得 C< . 3 [答案] ①②③[来源:学科网]

利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化,常用方法是:①化边为角结合内角和定理求解;②化 角为边结合勾股定理、三边关系求解. [演练3] sin B+sin C 在△ABC 中,sin A= ,判断这个三角形的形状. cos B+cos C b+ c 解:应用正弦定理、余弦定理,可得 a= 2 2 ,所以 b(a2-b2)+c(a 2-c2)=bc(b+c). c +a -b2 a2+b2-c2 + 2ca 2ab 所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c). 所以 a2=b2-bc+c2+bc.所以 a2=b2+c2. 所以△ABC 是直角三角形. [专题技法归纳] (1)在三角化简、求值、证明中,表达式往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差、倍半、互 补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中的角,使问题获解.如角的变形: 15° = 45° - 30° = 60° - 45° = α ? ? α? 30° ?π ? , α = (α + β) - β = ? ?2+β? - ?β-2? , 2α = (α + β) + (α - β) = ?4+α? - 2

?π-α?. ?4 ?
π π 特别地, +α 与 - α 为互余角,它们之间可以互相转化,在三角变形中使用频率高. 4 4 (2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视,通过向量的数量积把三角 形和三角函 数联系起来,用向量方法证明两定理,突出了向量的工具性,是向量知识应用的实例.另外,利用正弦定 理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来 帮助理解.

1.(2012· 连云港调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2=b2+bc,sin C=2sin B,则 A=________. b2+c2-a2 c2-bc 4b2-2b2 1 解析:由 sin C=2sin B,得 c=2b.又 a2=b2+bc,所以 cos A= = = = ,所 2bc 2bc 4b2 2 π 以 A= . 3 π 答案: 3

π 3π? ? π? ? π? 3 ?3π ? 5 2.设 α∈? ?4, 4 ?,β∈?0,4?,cos?α-4?=5,sin? 4 +β?=13,则 sin(α+β)=________. π 3π? π ? π? 解析:α∈? ?4, 4 ?,α-4∈?0,2?, π? 3 又 cos? ?α-4?=5, π 4 π 3π 3π 3π 3π 5 12 α- ?= .∵β∈?0, ?,∴ +β∈? ,π?,sin? +β?= ,∴cos? +β?=- . ∴sin? 4 4 4 4 4 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? 13 ? ? 4 13 π 3π π α- ?+? +β?- ? ∴sin(α+β)=sin?? ? 4? ? 4 ? 2

?

?

? π? ?3π ?? =-cos? ??α-4?+? 4 +β??
π? 3π ? ? π? sin?3π+β?=-3×?-12?+4× 5 =56. =-cos? cos? ?α-4?· ? 4 +β?+sin?α-4?· ?4 ? 5 ? 13? 5 13 65 56 即 sin(α+β)= . 65 56 答案: 65 π ? 3 1 3.已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,tan(π-β)=2,则 tan(α-2β)=________. 5 π ? 3 4 解析:∵sin α= ,α∈? ?2,π?,∴cos α=-5. 5 3 1 1 则 tan α=- .由 tan(π-β)= ,可得 tan β=- , 4 2 2 2tan β tan 2β= = 1-tan2 β 4 =- . 1 3 ?2 1-? ?-2? 1? 2×? ?-2?

4 3 - ? - -? 3? ? 4 tan α-tan 2β 7 tan(α-2β)= = = . 3 4 24 1+tan α· tan 2β ? ? ? 1+? ?-4?×?-3? 7 答案: 24 4.如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,正三角 形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长是________. 解析:因为 l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,所以 过 A 作 l2 的垂线,交 l2、l3 分别于点 D、E,如图,则∠BAD=∠BAC+∠CAE,即∠BAD=60° +∠CAE, 1 1 1 3 3 记正三角形 ABC 的边长为 a,两边取余弦得 =cos 60° · cos ∠CAE-sin 60° sin ∠CAE,即 = × - a a 2 a 2 a2-32 2 21 × 整理得, 3?a2-9?=1,解之得,a= . a 3 2 21 答案: 3

π? 1 1 5.已知 α∈? ?0,4?,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,则 2α-β 的值是________. tan?α-β?+tan β 1 tan?α-β?+tan α 解析:tan α=tan[(α-β)+β]= = ,tan(2α-β)= =1. 1-tan?α-β?tan β 3 1-tan?α-β?tan α 3π ? 1 ∵tan β=- ,∴β∈? ? 4 ,π?, 7 π? ∴2α-β∈? ?-π,-4?. 3π ∴2α-β=- . 4 3π 答案:- 4 6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,B=30° ,△ABC 的 3 面积为 ,那么 b=________. 2 3 1 解析:∵2b=a+c,∴a2+c2=(a+c)2-2ac=4b2-2ac.在△ABC 中,B=30° ,△ABC 的面积 ,所以 2 2 a2+c2-b2 4b2-12-b2 3 3 3 acsin B= ,即 ac=6,于是 a2+c2=4b2-12,由余弦定理得 cos B= = ,即 = , 2 2ac 2 12 2 解得 b2=4+2 3,于是 b=1+ 3. 答案:1+ 3 sin A+sin B 7. △ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, tan C= , sin(B-A)=cos C. 则 B=________. cos A+cos B sin A+sin B sin C sin A+sin B 解析:因为 tan C= ,即 = , cos C cos A+cos B cos A+cos B 所以 sin Ccos A+sin Ccos B=cos Csin A+cos Csin B, 即 sin Ccos A-cos Csin A=cos Csin B-sin Ccos B, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C 或 C-A=π-(B-C)(不成立). π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 又因为 sin(B-A)=cos C= , 2 π 5π 则 B-A= 或 B-A= (舍去), 6 6 π 5π 得 A= ,B= . 4 12 5π 答案: 12 8.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形 ABCD 的面积为 ________. 解析:如图:连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积

1 1 S=S△ABD+S△CDB= · AB· ADsin A+ · BC· CD· sin C. 2 2 ∵A+C=180° ,∴sin A=sin C. 1 1 故 S= (AB· AD+BC· CD)sin A= (2×4+6×4)· sin A=16sin A. 2 2 由余弦定理,在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB· AD· cos A=20-16cos A, 在△CDB 中,BD2=CB2+CD2-2CB· CD· cos C=52-48cos C, ∴20-16cos A=52-48cos C.∵cos C=-cos A, 1 ∴64cos A=-32,cos A=- . 2 又 0° <A<180° ,∴A=120° ,故 S=16sin 120° =8 3. 答案:8 3[来源:学科网] 9.在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落 在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,则 AD∶AB=________. 解析:按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A、P 两点关于折线 DE 对称,又设∠BAP =θ, ∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ, 再设 AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC 中, ∠APB=180° -∠ABP-∠BAP=120° -θ, BP AB 由正弦定理知: = . sin ∠BAP sin ∠APB asin θ ∴BP= .[来源:学科网 ZXXK] sin?120° -θ? DP BP 在△PBD 中, = , sin∠DBP sin∠BDP x· sin 2θ asin θ xsin 2θ 所以 BP= ,从而 = , sin 60° sin?120° -θ? sin 60° asin θ· sin 60° 3a ∴x= = . sin 2θ· sin?120° -θ? 2sin?60° +2θ?+ 3 ∵0° ≤θ≤60° ,∴60° ≤60° +2θ≤180° . ∴当 60° +2θ=90° ,即 θ=15° 时,sin(60° +2θ)=1, 3a 此时 x 取得最小值 =(2 3-3)a,即 AD 最小, 2+ 3 ∴AD∶DB=2 3-3. 答案:2 3-3 π? 4 π? ? 10.(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. π? 4 ? π? 3 ? π? 24 ? π? 7 解析:因为 α 为锐角,cos? ?α+6?=5,所以 sin?α+6?=5,sin 2?α+6?=25,cos 2?α+6?=25,所以

π π π 2 17 17 2 2α+ ?=sin?2?α+6?- ?= × = sin? . 12 ? ? ? ? 4? 2 25 ? 50 17 2 答案: 50 11.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B. A-C 1 1 2 + =- ,求 cos 的值. cos A cos C cos B 2 解:由题设条件知 B=60° ,A+C=120° A-C 设 α= ,则 A-C=2α,可得 A=60° +α,C=60° -α, 2 1 1 1 1 所以 + = + cos A cos C cos?60° +α? cos?60° -α? = 1 + 1 3 1 3 cos α- sin α cos α+ sin α 2 2 2 2 cos α cos α = , 1 2 3 2 3 cos α- sin α cos2α- 4 4 4 1



- 2 cos α 依题设条件有 = , 3 cos B cos2α- 4 1 cos α 又 cos B= ,∴ =-2 2. 2 3 cos2α- 4 整理得 4 2cos2α+2cosα-3 2=0, 即(2cos α- 2)(2 2cos α+3)=0. ∵2 2cos α+3≠0, A-C 2 ∴2cos α- 2=0.从而得 cos = .[来源:Z,xx,k.Com] 2 2 12.(2012· 苏锡调研)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB=13,AC=10,AD=5,CD= 65, AB · AC =50. (1)求 cos ∠BAC 的值; (2)求 sin ∠CAD 的值;[来源:学科网] (3)求△BAD 的面积. 解:(1)因为 AB ·AC =| AB || AC |cos ∠BAC,

? ??? ? ???

? ??? ? ???

??? ?

??? ?

? ??? ? ??? AB ·AC ??? ? = 50 = 5 . ? 所以 cos ∠BAC= ??? | AB || AC | 13×10 13
(2)在△ADC 中 ,AC=10,AD=5,CD= 65, AC2+AD2-CD2 102+52-? 65?2 3 由余弦定理得 cos∠CAD= = = .[来源:Zxxk.Com] 2AC· AD 5 2×10×5

因为∠CAD∈(0,π), 所以 sin ∠CAD= 1-cos2∠CAD= 3?2 4 1-? ?5? =5.

? ??? ? ??? AB ·AC ??? ? =5. ? (3)由(1)知,cos ∠BAC= ??? | AB || AC | 13
因为∠BAC∈(0,π), 所以 sin ∠BAC= 1-cos2∠BAC[来源:Zxxk.Com] = 5 ?2 12 1-? ?13? =13.

从而 sin ∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD) =sin ∠BAC· cos ∠CAD+cos ∠BACsin ∠CAD = 12 3 5 4 56 × + × = . 13 5 13 5 65

1 1 56 所以 S△BAD= AB· AD· sin ∠BAD= ×13×5× =28. 2 2 65



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