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《事件的相互独立性》(复习+练习+习题+同步练习)1



事件的相互独立性
一、选择题 1.已知 a ???1 , 2, 3?,b ??0 , 1 , 3 , 4 , 2 ?,R ??1 ? ,则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 所表示的不同的 圆的个数有( ) A.3×4×2=24 B.3×4+2=14 答案:A 2.神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成,每两人为一组,若指定翟志刚、聂海胜两人 一定

同在一个小组,则这六人的不同分组方法有( ) A.48 种 B.36 种 C.6 种 D.3 种 答案:D

C.(3+4)×2=14

D.3+4+2=9

1 ? ? 3. ? x x ? 4 ? 的展开式中,第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44,则展开式 x ? ?

n

中的常数项是( ) A.第 3 项 B.第 4 项 答案:B

C.第 7 项

D.第 8 项

4.从标有 1,2,3,?,9 的 9 张纸片中任取 2 张,数字之积为偶数的概率为( A.12 B.718 C.1318 D.1118 答案:C



5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次 摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( ) A.35 B.25 C.110 D.59 答案:D

6. 正态总体的概率密度函数为 f ( x) ? A.0,8 答案:D B.0,4

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

, 则总体的平均数和标准差分别为 ( D.0,2



C.0,2

,, 2) B(2,, 3) C (3,, 4) D(4, 5) ,则 y 与 x 之 7.在一次试验中,测得 ( x,y) 的四组值分别是 A(1

间的回归直线方程为(



A. y ? x ? 1 C. y ? 2 x ? 1

B. y ? x ? 2 D. y ? x ? 1

答案:A 8.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间的五位数的个数是( ) A.48 B.36 C.28 D.20 答案:C 9.若随机变量η 的分布列如下:

?

1 2 3 ?2 ?1 0 0 0 0 0 0 0 P .1 .2 .2 .3 .1 .1 ) D.1<x<2

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 答案:C B.1≤x≤2

C.1<x≤2

10.春节期间,国人发短信拜年已成为一种时尚,若小李的 40 名同事中,给其发短信拜年 的概率为 1,0.8,0.5,0 的人数分别为 8,15,14,3(人) ,则通常情况下,小李应收到 同事的拜年短信数为( ) A.27 B.37 C.38 D.8 答案:A 11.在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的概率为 6581, 则事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( ) A.

1 3

B.

2 5

C.

5 6

D.

2 3

答案:A
? 1? 12.已知随机变量 ? ~ B ? 9, ? 则使 P(? ? k ) 取得最大值的 k 值为( ? 5? A.2 B.3 C.4 D.5



答案:A 二、填空题

13.某仪表显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中三个孔, 但相邻的两孔不能同时显示,则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种. 答案:80 14.已知平面上有 20 个不同的点,除去七个点在一条直线上以外,没有三个点共线,过这 20 个点中的每两个点可以连 条直线. 答案:170 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标 相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? (0.1)4 . 其中正确结论的序号是 答案:①③ 16.口袋内装有 10 个相同的球,其中 5 个球标有数字 0,5 个球标有数字 1,若从袋中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 (以数值作答) . (写出所有正确结论的序号) .

答案:

13 63

三、解答题 17.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? 解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计数原 理,放法共有: 44 ? 256 种. (2)为保证“恰有一个盒子不放球” ,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,即将 4 个球分成 2,
2 1,1 的三组,有 C4 种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,

1 2 1 2 · C4 · C3 · A2 ? 144 种. 全排列即可.由分步乘法计数原理,共有放法: C4

(3) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此, “恰有一个盒内放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法.
2 (4)先从四个盒子中任意拿走两个有 C4 种,问题转化为: “4 个球,两个盒子,每盒必放

球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1) , (2,2)两类.第一类:可从 4 个球中

3 1 2 先选 3 个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 C4 种放法;第二类:有 C4 种放法.因此 · C2

3 1 3 2 共有 C4 “恰有两个盒子不放球” 的放法有: · C2 ? C4 ? 14 种.由分步乘法计数原理得 C4 · 14 ? 84

种.

18.求 (1 ? x)2 (1 ? x)5 的展开式中 x 3 的系数.

解:解法一:先变形,再部分展开,确定系数.
(1 ? x)2 (1 ? x)5 ? (1 ? x2 )2 (1 ? x)3 ? (1 ? 2 x2 ? x4 )(1 ? 3x ? 3x2 ? x3 ) .

所以 x 3 是由第一个括号内的 1 与第二括号内的 ? x 3 的相乘和第一个括号内的 ?2 x 2 与第二个 括号内的 ? 3 x 相乘后再相加而得到,故 x 3 的系数为 1 ? (?1) ? (?2) ? (?3) ? 5 .
r 解法二:利用通项公式,因 (1 ? x)2 的通项公式为 Tr ?1 ? C2 · xr ,

(1 ? x)5 的通项公式为 Tk ?1 ? (?1)k C5k· xk ,

其中 r ??0, 1 , 2?,k ??0, 1 , 2, 3, 4, 5? ,令 k ? r ? 3 ,
, ?k ? 2, ?k ? 3, ?k ? 1 则? 或? 或? , ?r ? 0. ?r ? 2, ?r ? 1
1 1 2 3 故 x 3 的系数为 ?C5 ? C2 · C5 ? C5 ?5.

19.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患 胃病 生活不 规律 生活有 规律 合计 60 20 80 未患 胃病 260 200 460 合 计 3 20 2 20 5 40

根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗? 解:由公式得

k?

540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 320 ? 220 ? 80 ? 460

540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? 9.638 . 2590720000 259072 ∵ 9.638 ? 7.879 , ∴我们有 99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关,即生活不规律的 人易患胃病. ?

20.一个医生已知某种病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否有效,把它给 10 个病 人服用,且规定若 10 个病人中至少有 4 个被治好,则认为这种药有效;反之,则认为无效, 试求: (1)虽新药有效,且把痊愈率提高到 35%,但通过实验被否认的概率; (2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率. 解:记一个病人服用该药痊愈率为事件 A,且其概率为 p,那么 10 个病人服用该药相当于 10 次独立重复实验. (1) 因新药有效且 p=0.35, 故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知, 实验被 否定(即新药无效)的概率为:
0 0 10 1 1 9 2 2 x 3 3 7 P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? 0.514

. (2)因新药无效,故 p=0.25,实验被认为有效的概率为: P ?P 10 (4) ? P 10 (5) ? 10 (10) ? 1 ? ( P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3)) ? 0.224 . 即新药有效,但被否定的概率约为 0.514; 新药无效,但被认为有效的概率约为 0.224.

21. A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1,A2,A3 , B 队队 员是 B1,B2,B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵 队员 A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3

A 队队员胜的 概率
2 3
2 5 2 5

A 队队员负的 概率
1 3
3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 ?,? . (1)求 ?,? 的概率分布列; (2)求 E? , E? . 解: (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0.

2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? . 3 5 5 25 由题意知 ? ? ? ? 3 ,
所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

8 ; 75

P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 0) ?

28 ; 75 2 ; 5 3 . 25

? 的分布列为 ?
3 2 1 0

P

8 75

28 75

2 5

3 25

? 的分布列为
?
0 1 2 3

P

8 75

28 75

2 5

3 25

(2) E? ? 3 ?

8 28 2 3 22 , ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 23 . 15

因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ?

22.某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系,从这个工业部门 内随机抽选了 10 个企业作样本,有如下资料: 产量(千 件) x 40 42 48 55 65 生产 费用 (千 元) y 150 140 160 170 150 产量(千 件) x 79 88 100 120 140 生产 费用 (千 元) y 162 185 165 190 185

完成下列要求: (1)计算 x 与 y 的相关系数; (2)对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验; (3)设回归直线方程为 y ? bx ? a ,求系数 a , b . 解:利用回归分析检验的步骤,先求相关系数,再确定 r0.05 . (1)制表
xi yi xi yi

i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 合 计 77 40

xi2

yi2

4 0 4 2 4 8 5 5 6 5 7 9 8 8 1 00 1 20 1 85 7 657 90 65 85 62 50 70 60 40 50

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 600 1 764 2 304 3 025 4 225 6 241 7 744 1 0000 1 4400 1 9600 7 0903

22 500 19 600 25 600 28 900 22 500 26 244 34 225 27 225 36 100 34 225 27 7119

60 00 58 80 76 80 93 50 97 50 12 798 16 280 16 500 22 800 25 900 13 2938

x?

777 1657 ? 77.7 , y ? ? 165.7 10 10
2 i

?x

? 70903 , ? yi2 ? 277119 ,

?x y
i

i

? 132938

r?

132938 ? 10 ? 77.7 ? 165.7 (70903 ? 10 ? 77.72 )(27719 ? 10 ? 165.7 2 )

? 0.808 .

即 x 与 Y 的相关关系 r ? 0.808 . (2)因为 r ? 0.75 .

所以 x 与 Y 之间具有很强的线性相关关系. (3) b ?

132938 ? 10 ? 77.7 ? 165.7 ? 0.398 , a ? 165.7 ? 0.398 ? 77.7 ? 134.9 . 70903 ? 10 ? 77.7

一、选择题 1.假定有一排蜂房,形状如图所示,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受了点伤,只能爬, 不能飞,而且只能永远向右方(包括右上,右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂 房中去,若从最初位置爬到 4 号蜂房中,则不同的爬法有( ) A.4 种 B.6 种 C.8 种 D.10 种 答案:C 2.乒乓球运动员 10 人,其中男女运动员各 5 人,从这 10 名运动员中选出 4 人进行男女混 合双打比赛,选法种数为( ) A. ( A52 )2 答案:D 3.已知集合 M ? ?1 , 2, 3, 4, 5, 6? , N ? ?6, 7, 8, 9? ,从 M 中选 3 个元素,N 中选 2 个元素,组成一 个含有 5 个元素的集合 T,则这样的集合 T 共有( A.126 个 B.120 个 C.90 个 答案:C
? (1 ? x)n? 2 的展开式中 x2 的系数是(
3 C. Cn ?2 ? 1

B. (C52 )2

2 C. (C52 )2 · A4

2 D. (C52 )2 · A2

) D.26 个

4. (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ?
3 A. Cn ?3



3 B. Cn ?2

3 D. Cn ?3 ? 1

答案:D 5. 20052006 ? 2008 被 2006 除,所得余数是( ) A.2009 B.3 C.2 D.1 答案:B 6.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙 厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( ) A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285 答案:A

7.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A: “甲骰子的点数大于 4” ;事件 B: “甲、乙两骰子的点 数之和等于 7” ,则 P( B | A) 的值等于( ) A.

1 3

B.

1 18

C.

1 6

D.

1 9

答案:C 8.在一次智力竞赛的“风险选答”环节中,一共为选手准备了 A,B,C 三类不同的题目, 选手每答对一个 A 类、B 类、C 类的题目,将分别得到 300 分、200 分、100 分,但如果答错, 则要扣去 300 分、200 分、100 分,而选手答对一个 A 类、B 类、C 类题目的概率分别为 0.6, 0.7,0.8,则就每一次答题而言,选手选择( )题目得分的期望值更大一些( ) A.A 类 B.B 类 C.C 类 D.都一样 答案:B 9.已知ξ 的分布列如下:

?

1

2

3

4

P

1 4

1 3

1 6

1 4

并且 ? ? 2? ? 3 ,则方差 D? ? ( A.

) C.

179 36

B.

143 36

299 72

D.

227 72

答案:A 10.若 ? ~ N (?1 , 62 ) 且 P(?3 ≤? ≤ ?1) ? 0.4 ,则 P(? ≥1) 等于( A.0.1 答案:A 11.已知 x,y 之间的一组数据: B.0.2 C.0.3 D.0.4



x y
则 y 与 x 的回归方程必经过( A. (2,2) B. (1,3) 答案:C

0 1

1 3

2 5

3 7

) C. (1.5,4)

D.(2,5)

12.对于 P( K 2 ≥ k ) ,当 k ? 2.706 时,就约有的把握认为“x 与 y 有关系” (



A.99% 答案:D 二、填空题

B.99.5%

C.95%

D.90%

1 ? ? 13. ? 2 x ? ? 的展开式中,常数项为 x? ?

9

(用数字作答) .

答案:672 14.某国际科研合作项目成员由 11 个美国人,4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机 选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表 示) .

答案:

119 190

15.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1, 0.5;狙击手乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希望 大的是 . 答案:乙 16.空间有 6 个点,其中任何三点不共线,任何四点不共面,以其中的四点为顶点共可作出 个四面体,经过其中每两点的直线中,有 对异面直线. 答案:15,45 三、解答题 17.某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,他有 5 次出 牌机会,每次只能出一种点数的牌,但张数不限,则有多少种不同的出牌方法? 解:由于张数不限,2 张 2,3 张 A 可以一起出,亦可分几次出,故考虑按此分类.出牌的方 法可分为以下几类:
5 (1)5 张牌全部分开出,有 A5 种方法;

(2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A52 种方法; (3)2 张 2 一起出,3 张 A 分开出,有 A54 种方法;
3 (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C32 A5 种方法;

3 (5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A5 种方法;

(6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C32 A54 种方法;
5 2 4 2 3 3 2 4 因此共有不同的出牌方法 A5 ? A5 ? A5 ? C3 A5 ? A5 ? C3 A5 ? 860 种.

18.已知数列 ?an ? 的通项 a n 是二项式 (1 ? x)n 与 (1 ? x )2n 的展开式中所有 x 的次数相同的各 项的系数之和,求数列的通项及前 n 项和 Sn . 解:按 (1 ? x )n 及 (1 ? x )2n 两个展开式的升幂表示形式,写出的各整数次幂,可知只有当

(1 ? x )2n 中出现 x 的偶数次幂时,才能与 (1 ? x)n 的 x 的次数相比较.
0 1 2 2 由 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? n n ? Cn x ,

0 2 4 2 (1 ? x )2 n ? (C2 n ? C2 n x ? C2 n x ?

2n n 1 3 2 2 ? C2 n x ) ? (C2 n x ? C2 n x ?

1

3

2 n ?1 ? C2 n x

2 n ?1 2

)

0 0 1 2 2 4 可得 an ? (Cn ? C2 n ) ? (Cn ? C2 n ) ? (Cn ? C2n ) ?

n 2n ? (Cn ? C2 n)

0 1 2 ? (Cn ? Cn ? Cn ?

n 0 2 4 ? Cn ) ? (C2 n ? C2 n ? C2 n ?

2n ? C2 n)

? 2n ? 22 n ?1 ,

∵an ? 2n ? 22n?1 ,

∴ Sn ? (2 ? 22 ?

1 1 22 ? 2n ) ? (22 ? 24 ? 26 ? ? 22n ? 2(2n ? 1) ? ? (4n ? 1) 2 2 3 2 1 ? 2n?1 ? 2 ? (22n ? 1) ? (22n?1 ? 3 · 2n?1 ? 8) , 3 3

1 ∴ Sn ? (22n?13 · 2n?1 ? 8) . 3

19.某休闲场馆举行圣诞酬宾活动,每位会员交会员费 50 元,可享受 20 元的消费,并参加 一次抽奖活动,从一个装有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的 6 只均匀小球的抽奖箱中,有 放回的抽两次球,抽得的两球标号之和为 12,则获一等奖价值 a 元的礼品,标号之和为 11 或 10,获二等奖价值 100 元的礼品,标号之和小于 10 不得奖. (1)求各会员获奖的概率; (2)设场馆收益为ξ 元,求ξ 的分布列;假如场馆打算不赔钱,a 最多可设为多少元? 解:(1)抽两次得标号之和为 12 的概率为 P 1 ?

1 1 1 ? ? ; 6 6 36

抽两次得标号之和为 11 或 10 的概率为 P2 ? 故各会员获奖的概率为 P ? P 1 ?P 2 ? (2)

5 , 36

1 5 1 ? ? . 36 36 6

?

30 ? a

30 ? 100

3

0

P

1 36

5 36

30 36

由 E? ? (30 ? a) ?

1 5 30 ? (?70) ? ? 30 ? ≥ 0 , 36 36 36

得 a ≤ 580 元. 所以 a 最多可设为 580 元.

20.在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据: 存 活数 未用 新药 用新 药 合计 10 1 12 9 23 0 死 亡数 38 20 58 合 计 1 39 1 49 2 88

试分析新药对防治猪白痢是否有效?

288 ? (101? 20 ? 38 ?129)2 ? 8.658 , 139 ?149 ? 230 ? 58 由于 8.658 ? 6.635 ,故可以有 99 % 的把握认为新药对防治猪白痢是有效的.
解:由公式计算得 k ?

21.甲有一个箱子,里面放有 x 个红球,y 个白球(x,y≥0,且 x+y=4) ;乙有一个箱子, 里面放有 2 个红球,1 个白球,1 个黄球.现在甲从箱子里任取 2 个球,乙从箱子里任取 1 个球.若取出的 3 个球颜色全不相同,则甲获胜. (1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数,才能使自己获胜的概率最大? (2)在(1)的条件下,求取出的 3 个球中红球个数的期望. 解:(1)要想使取出的 3 个球颜色全不相同,则乙必须取出黄球,甲取出的两个球为一个红 球一个白球,乙取出黄球的概率是

1 ,甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 4

C1 · C1 x y
2 C4

?

xy 1 xy xy ,所以取出的 3 个球颜色全不相同的概率是 P ? · ? ,即甲获胜的概率为 6 4 6 24
2

P?

1 xy xy 1 ?x? y? ,由 x,y ≥ 0 , 且 x ? y ? 4 ,所以 P ? ≤ · ? ? ? ,当 x ? y ? 2 时取等号, 6 24 24 24 ? 2 ?

即甲应在箱子里放 2 个红球 2 个白球才能使自己获胜的概率最大. (2)设取出的 3 个球中红球的个数为ξ ,则ξ 的取值为 0,1,2,3.
P(? ? 0) ?
2 1 C2 C2 1 · ? , 2 1 C4 C4 12

P(? ? 1) ?

1 1 1 2 1 C2 C2 C2 C2 C2 5 · ? · ? , 2 1 2 1 C4 C4 C4 C4 12

P(? ? 2) ?

2 1 1 1 1 C2 C2 C2 C2 C2 5 · ? · ? , 2 1 2 1 C4 C4 C4 C4 12

P(? ? 3) ?

2 C2 C1 1 · 2 ? , 2 1 C4 C4 12

所以取出的 3 个球中红球个数的期望: E? ? 0 ?

1 5 5 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.5 . 12 12 12 12

m 22.规定 Ax ? x( x ? 1)

0 m (n, ( x ? m ? 1) ,其中 x ? R ,m 为正整数,且 Ax ? 1 ,这是排列数 An

m 是正整数,且 m≤n)的一种推广.
3 (1)求 A? 15 的值;

m m ?1 m m ?1 m (2)排列数的两个性质:① An ? nAn ? An ?1 ,② An ? mAn ?1 (其中 m,n 是正整数).是否

都能推广到 Axm ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不 能,则说明理由;
3 (3)确定函数 Ax 的单调区间.

3 解: (1) A? 15 ? (?15) ? (?16) ? (?17) ? ?4080 ;

(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是
m m ?1 ? xAx ① Ax ?1 ,

m m?1 m ? ? mAx ? Ax ② Ax ?1 ( x ? R,m ? N ) .

事实上,在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? x ,
0 右边 ? xAx ?1 ? x ,等式成立;

0 1 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? Ax ? x ? 1 ? Ax ?1 ? 右边,等式成立;

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)
? x( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 2)

( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]

m ? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) [( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右边,

m m?1 m ? 因此② Ax ? mAx ? Ax ?1 ( x ? R,m ? N ) 成立.

3 (3)先求导数,得 ( Ax )? ? 3x2 ? 6 x ? 2 .

令 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ?

3? 3 3? 3 或x? . 3 3

? 3? 3 ? 因此,当 x ? ? ? ∞ , ? 时,函数为增函数, ? 3 ? ? ? ?3? 3 ? 当 x ?? ? ∞? ? 3 , ? 时,函数也为增函数, ? ?

令 3x2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得

3? 3 3? 3 ≤ x≤ , 3 3

?3 ? 3 3 ? 3 ? 因此,当 x ? ? , ? 时,函数为减函数, 3 ? ? 3 ? ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? ?3? 3 3 的增区间为 ? , ? ∞? , ∴函数 Ax ? ?∞, ?,? ? ;减区间为 ? ?. ? ? 3 ? ? 3 3 ? ? ? ? 3



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