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2.1.2



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第二章
2.1

数列

数列的概念与简单表示法

2.1.2

数列的递推公式

1.已知数列{an}的第一项是2,递推公式为an=1-
1 2 ,a3=____. -

1 则a2=____

1

an-1



2.数列 1,3,6,10,x,21,28,…中,由给出的数之间的关系 可知 x 的值是( B ) A.12 B.15 C.17 D.18

3.以下四个数中是数列{n(n+1)}中的一项的是( A.17 B.32 C.39
2, 11, …则 2

D)

D.380
5是这个数列的( B )

4. 设数列 2, 5, 2

A.第六项

B.第七项

C.第八项

D.第九项

1 5.在数列{an}中,a1=3,an=(-1)n· 2an-1(n≥2),则 a5 等

于( B )
16 A.- 3 16 B. 3 8 C.-3 8 D.3

重点

数列的表示方法

(1)解析法(通项公式). (2)递推公式法(相邻两项或三项之间的关系式).

(3)前n项和法(Sn=a1+a2+a3+…+an).
难点 前n项和Sn 与通项公式的关系
对于任意数列{an},因为 Sn=a1+a2+a3+…+an,Sn-1= a1+a2+a3+…+an-1, 所以前 n 项和公式 Sn 与通项公式 an 之间 的关系为
? ?Sn-Sn-1 ?n≥2? a n =? ? ? S 1 ?n = 1 ?

.

已知数列的递推公式,求前几项 例 1: 已知数列{an}满足an+1=2an+1,n∈N*. (1)若a1=-1,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公 式. (2)若a1=1,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式.

解: (1)a1=a2=a3=a4=-1,
可推测数列{an}的通项公式an=-1.

(2)a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+ 1=15.可推测数列{an}的通项公式为an=2n-1.

数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和 首项(基础)两个因素所确定的,即便递推关系完全一样,而首项 不同就可得到两个不同的数列,适当配凑是本题进行归纳的前 提.

1-1.根据下列各数列的首项和递推公式,分别写出它的前
五项,并归纳出通项公式:

(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*); 2an (2)a1=1,an+1= (n∈N*). an+2

解:(1)a1=0,a2=a1+1=1,a3=a2+3=4, a4=a3+5=9,a5=a4+7=16. a1=02;a2=12;a3=22;a4=32;a5=42. 可归纳出 an=(n-1)2. 2 a1 2 2a2 1 2a3 2 (2)a1=1,a2= = ,a3= = ,a4= = , a1+2 3 a2+2 2 a3+2 5 2a4 1 a5= = . a4+2 3 2 2 1 2 2 a1=1=2;a2=3;a3=2=4;a4=5; 1 2 2 a5=3=6.由此可见:an= . n+ 1

前n 项和Sn 与通项an 之间的关系 例 2:数列{an}的前n项的和 Sn=2n2+n.
(1)求数列{an}的通项; (2)求 a10+a11+a12+…+a20. 解:(1)由Sn=2n2+n, 当n=1时,a1=2×12+1=3, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(2n2+n)-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1, 当n=1时也满足4×1-1=3, ∴an=4n-1. (2)a10+a11+a12+…+a20=S20-S9=649.

已知 Sn,求 an,要注意 a1=S1,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1,因此
? ?S1 an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1? . ?n≥2?

2-1.数列{an}的前n项的和 Sn=2n2+n+3. (1)求数列{an}的通项;

(2)求 a10+a11+a12+…+a19.
解:(1)由Sn=2n2+n+3, 当n=1时,a1=2×12+1+3=6,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=
? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? +?n-1?+3?=4n-1, ?-?2? n - 1 2n2+n+3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n=1? ? ? ? ?

? ?6 ∴an=? ? ?4n-1

n≥2

.

(2)a10+a11+a12+…+a19=S19-S9=570.

已知递推公式,用累加法求通项公式 例 3:已知数列{an}中,a1=5,an=an-1+3(n≥2),求数列 {an}的通项公式. 思维突破:先对an=an-1+3 从2 到n 进行取值,得到(n-1) 个式子,再把这(n-1)个式子相加,消去中间项.

解:由递推关系an=an-1+3(n≥2),得 a2=a1+3,a3=a2+3,…,an=an-1+3.

将以上(n-1)个式子左右两边同时相加,得
a2+a3+…+an-1+an =a1+3+a2+3+a3+3+…+an-1+3,

消去a2+a3+…+an-1,并整理得an=a1+3(n-1).
∵a1=5,∴an=3n+2. 若数列有形如an+1=an+f(n)的递推公式, 且可求f(1)+f(2)+…+f(n),可用累加法求通项公式.

3-1.设{an}是首项为 1 的正项数列,且满足关系:

an=3an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
1 解:∵an=3an+1,∴an+1=3an. 对 n 从 1 到 n-1 依次取值,得 1 1 1 1 a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3,…,an=3an-1. 将上述(n-1)个等式两边同时相乘,得 1 1 1 1 1 a2· a3· a4· …· an-1· an =3a1· …· 3a 2· 3a3· 3a4 · 3an-1.

又∵此数列为正项数列,∴数列中各项均不为零, 即 a2· a3· a4· …· an-1≠0,
?1?n-1 ∴an=?3? a1. ? ? ?1?n-1 又∵a1=1,∴an=?3? . ? ?

1 1 例 4:已知数列{an}的通项公式是 an= + +…+ n+1 n+2 1 2n,试问{an}是否为单调数列,为什么?

错因剖析:没有准确把握相邻两项(即an+1 与an)之间的联系
和区别.
正解:an+1-an =
? 1 1 1 ? ? ? + +…+ ? n + 1 ? + 1 ? n + 1 ? + 2 2 ? n + 1 ? ? ?



? 1 1 1? ? + + …+ 2 n ? ?n+1 n+2 ?

1 1 1 = + - 2n+1 2n+2 n+1 4n+3 1 = - ?2n+1??2n+2? n+1

?4n+3?-?4n+2? = ?2n+1??2n+2? 1 = > 0, ?2n+1??2n+2? 即 an+1>an,n∈N*, ∴数列{an}为递增数列.

4-1.(2010 年安徽)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8 的 值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.64 解析:a8=S8-S7=64-49=15.



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