9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2007年广州市高二数学竞赛试卷



2007 年广州市高二数学竞赛试卷

题 号 得 分 评卷员



二 (11) (12)

三 (13) (14) (15)





考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分

150 分.

一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内.

?? 1 ? x ?? ? ? 7, x ? 0, 1.设函数 f ( x) ? ?? 2 ? ,若 f (a ? 1) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( ? x ? 0. ? x,
A. ? -?,-4 ? B. ? ?4,0? C. ?0, ???

) .

D. ? ??, ?4? ? ?0, ???

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么 PF1 2.椭圆 12 3
是 PF2 的( A.7 倍 ). B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 ) .

3.已知集合 M ? ?? x, y ? lg ? x 2 ?

? ?

? ?

? 1 2? y ? ? lg x ? lg y ? ,则集合 M 中元素的个数为( 4 ? ?
C.2 个 D.无数个

A.0 个

B.1 个

??? ? ??? ? ? 4. 设 M 是 ?ABC 内一点, 且 AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30 , 定义 f ( M ) ? (m, n, p) , 其中 m, n, p
分别是 ?MBC, ?MCA, ?MAB 的面积,若 f ( P) ? ? , x, y ? ,则 A. 9

?1 ?2

? ?

1 4 ? 的最小值是( x y
D.9

) .

?

3 ?1

?

B.18

C.16

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上.

2 5.已知复数 z 满足: z ? z ? 1 ? 0 ,则 1 ? z ? z ? z ? ? ? z

2

3

2007

? __________.


6.在区间 ? ?2, 2? 上任取两实数 a,b,则二次方程 x ? ax ? b ? 0 有实数解的概率为
2 2

7.已知函数 f ( x ) 满足: f (m ? n) ? f (m) f (n), f (1) ? 4 ,则

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (251) ? f (502) ? ? ? ?? ? f (1) f (3) f (5) f (501)



2 8.奇函数 f ? x ? 在 R 上为减函数,若对任意的 x ? ? 0,1? ,不等式 f ? kx ? ? f ? x ? x ? 2 ? 0 恒

?

?

成立,则实数 k 的取值范围为 . 9.四面体 ABCD 中,AB=CD=6,其余的棱长均为 5,则与该四面体各个表面都相切的内切球的 半径长等于 . 10 .已知 x, y 满足

1 2 3 x ?4? y ? 16 ? x 2 ,则函数 z ? x ? y ? 10 的最大值与最小值之和 4 4

为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11. (本小题满分 15 分) 已 知 函 数

f ( x) ? m?n







m?(

s ?x i ? n

?x c

o

s?, x

,

3

c

o

s

n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) ( ? ? 0 ) ,若 f ( x ) 相邻两对称轴间的距离不小于
(Ⅰ)求 ? 的取值范围;

? . 2

a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, (Ⅱ) 在 ?ABC 中, 当 ? 最大时,f ( A) ? 1, a ? 3, b ? c ? 3 ,
求 ?ABC 的面积.

12. (本小题满分 20 分) 各项都为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2 ? Sn ? 1? ? an ? an .
2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{bn}满足 b1 ? 2 , bn?1 ? 2bn ,数列{cn}满足 cn ? ?

?an ?bn

(n为奇数) (n为偶数)

,数列{cn}的

前 n 项和为 Tn,当 n 为偶数时,求 Tn; (Ⅲ)同学甲利用第(Ⅱ)问中的 Tn 设计了一个程序如图,但同学乙认为这个程序如果被执 行会是一个“死循环” (即程序会永远循环下去,而无法结束) .你是否同意同学乙的观 点?请说明理由. n:?0 n:?n?2

Pn:?

n2 ? 24n 4
No

Tn?Pn:?2007? Yes 打印 n

结束

13. (本小题满分 20 分) 多面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的直观图,主视图,俯视图,左视图如下所示.

D1

C1 A1 B1
a 2

a
a
a

D A
直观图

C B a
主视图 图

a 2

2 2 俯视图

a
左视图

(Ⅰ)求 A1 A 与平面 ABCD 所成角的正切值; (Ⅱ)求面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值; (Ⅲ)求此多面体的体积.

14. (本小题满分 20 分)

B 两点, 如图, 已知抛物线 C : x ? 2 py ? p ? 0? 与圆 O : x ? y ? 8 相交于 A 、 且 OA? OB ? 0
2
2 2

??? ? ??? ?

( O 为坐标原点) ,直线 l 与圆 O 相切,切点在劣弧 ? AB (含 A、B 两点)上,且与抛物线 C 相 交于 M 、 N 两点, d 是 M 、 N 两点到抛物线 C 的焦点的距离之和. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)求 d 的最大值,并求 d 取得最大值时直线 l 的方程. y l N M A F OO x B

15.(本小题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? sin x 是区间 ??1,1? 上的减函数. (Ⅰ)若 f ( x) ? t ? ?t ? 1 在 x ?[?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围;
2

(Ⅱ)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. x

2007 年广州市高二数学竞赛参考答案
1.选 B. 2.选 A. 3.选 D. 4.选 B. 5.填 1. 6.填

1 . 4

7.填 2008. 8.填 ? ??,2? .

9.填

3 7 . 8

10.填 20. 11.解: (Ⅰ) f ( x) ? m? n ? cos2 ? x ? sin2 ? x ? 2 3 cos ? x ? sin ? x

? cos2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
6

).

? ? ? 0 ,∴函数 f ( x) 的周期 T ?
由题意可知

T ? ? ? ? ,即 ? , 解得 0 ? ? ? 1 . 2 2 2? 2

2? ? ? . 2? ?

故 ? 的取值范围是 {? | 0 ? ? ? 1} . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? 的最大值为 1,? f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

).

? f ( A) ? 1 ,? sin( 2 A ?


?
6

)?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 ? 5 ? ? ,? 2 A ? ? ? ,? A ? . 6 6 6 3

1 . 2

b2 ? c2 ? a2 2 2 由余弦定理,知 cos A ? ,?b ? c ? bc ? 3 ,又 b ? c ? 3 , 2bc
联立解得 ?

?b ? 2 ?b ? 1 或? . ? c ? 1 ?c ? 2
1 3 . bc sin A ? 2 2 1 3 ) b ? c ? 3, ?bc ? 2 .? S?ABC ? bc sin A ? 2 2
2

? S ?ABC ?

(或用配方法? (b ? c) 2 ? 3bc ? 3

12.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 2 ? S1 ?1? ? a1 ? a1 ,解得 a1 ? 2 , 当 n ? 2 时,由 2 ? Sn ? 1? ? an ? an ,得 2 ? Sn?1 ?1? ? an?1 ? an?1 .
2 2

两式相减,并利用 an ? Sn ? Sn?1 ,求得 an ? an?1 ? 1 . ∴数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n ? 1 ( n ? N ) .
*

(Ⅱ)∵ ?bn ? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,∴ bn ? 2n .
2 4 n 当 n 为偶数时, Tn ? ? a1 ? a3 ? ? ? an ?1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2

?

?

n a1 ? an?1 n 4 ?1 ? 2 ? n 2 ? 2n 4 n ? ? ? 2 ? 1? . ? ? ? 4 3 2 2 1? 4

(Ⅲ)∵ Pn ?

n2 ? 24n (n 为偶数) , 4
4 n 47 4 ? 2 ? n ? (n 为偶数) , 3 2 3

设 d n ? Tn ? Pn ?

∴ d4 ? d6 ? d8 ? d10 ? 2007 ? d12 ? d14 ? ?.且 d2 ? 2007 , (利用数列的单调性或函数的单调性判断)

∴ dn ? 2007 ,即 Tn ? P . n ? 2007 (n 为偶数) 因此同学乙的观点正确. 13. (Ⅰ)解:由已知图可得,平面 A1 AB ? 平面 ABCD ,取 AB 中 点 H ,连接 A1 H , 在等腰 ?A1 AB 中,有 A1 H ? AB ,则 A1 H ? 平面 ABCD . ∴ ?A1 AB 是 A1 A 与平面 ABCD 所成的角. ∵ A1H ? 2 AH ,∴ tan ?A1 AB ?

D1

C1 A1 B1

D A
K H

C B

A1 H ? 2. AH

故 A1 A 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2. (Ⅱ)解法 1:取 AD 中点 K ,连接 D1 K , KH ,同理有 D1 K ? 平面 ABCD ,即 ?AHK 是

?AA1 D1 在平面 ABCD 内的射影.
A N 取 HK 的中点 M, 取 A1D1 的中点 N, 连接 MN, AM, AN, 则 ?M
所成的二面角. ∵MN=a, AM ? 就是面 AA1 D1 与面 ABCD

MN 1 2 ? 2 2 .即 cos ?MAN ? . a ,∴ tan ?MAN ? AM 3 4

∴面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值为

1 . 3

解法 2:取 AD 中点 K ,连接 D1 K , KH ,同理有 D1 K ? 平面 ABCD ,即 ?AHK 是 ?AA 1 D1 在平面 ABCD 内的射影, 在 ?AA 1 ? AD 1 ? 1 D1 中, AA

3 1 5 2 a, A1 D1 ? a , S ?AA1D1 ? a 2 ,又 S ?AHK ? a 2 , 8 8 2 2

设面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的大小为 ? ,则 cos? ? ∴面 AA1 D1 与面 ABCD 所成二面角的余弦值为

S ?AHK 1 ? . S ?AA1D1 3

1 . 3

(Ⅲ)解:∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥,每个三棱锥的体积都为

1 1 a a 1 3 ? ? ? ?a ? a . 3 2 2 2 24
∴此多面体的体积 V ? a ? 4 ?
3

1 3 5 3 a ? a . 24 6

14. (Ⅰ) 解:设点 A 的坐标为 ? x1 , y1 ? ? x1 ? 0? ,

由于抛物线 C 和圆 O 关于 y 轴对称,故点 B 的坐标为 ? ? x1 , y1 ? .

??? ? ??? ? OB ? 0 ,? x1 ? (? x1 ) ? y12 ? 0 , 即 ? x12 ? y12 ? 0 . ? OA?

? 点 A 在抛物线 C 上,? x12 ? 2 py1 .
??2 py1 ? y12 ? 0 , 即 y1 ? ?2 p ? y1 ? ? 0 .
? y1 ? 0,? y1 ? 2 p .? x1 ? ?2 p .? 点 A 的坐标为 ? ?2 p, 2 p ? .
? ? ?2 p ? ? ? 2 p ? ? 8 , 又 p ? 0, 解得 p ? 1 . ? 点 A 在圆 O 上,
2 2

y l N M A F OO x N1 B

(Ⅱ) 解法 1:设直线 l 的方程为: y ? kx ? b ,因为 l 是圆 O 的

切线,则有

k ?0 ? 0 ? b k 2 ?1
2

?2 2,

又 b ? 0 ,则 b ? 2 2k ? 2 . 即 l 的方程为: y ? kx ? 2 2k 2 ? 2 . 联立 ?

M1

? ? y ? kx ? 2 2k 2 ? 2,
2 ? ? x ? 2 y.

即 y 2 ? 2k 2 ? 4 2k 2 ? 2 y ? 8 k 2 ? 1 ? 0 .
2 2 设 M ? xM , yM ? , N ? xN , yN ? ,则 yM ? y N ? 2k ? 4 2k ? 2 .

?

?

?

?

如图,设抛物线 C 的焦点为 F ,准线为 L ,作 MM1 ? L, NN1 ? L ,垂足分别为 M1 , N1 . 由抛物线的定义有:

d ? MF ? NF ? MM1 ? NN1 ? yM ? yN ? 1 ? 2k 2 ? 4 2k 2 ? 2 ? 1.
令t ?

2k 2 ? 2 ,则 2k 2 ? t 2 ? 2 .∴ d ? t 2 ? 4t ? 1 ? ? t ? 2 ? ? 5 .
2

又∵ ?1 ? k ? 1 ,∴ 2 ? t ? 2 . ∴当 t ? 2 时, d 有最大值 11. 当 t ? 2 时, k ? ?1 ,故直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4 . 解法 2:设直线 l 与圆 O 相切的切点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则切线 l 的方程为 x0 x ? y0 y ? 8 . 由?

? x0 x ? y0 y ? 8, 2 2 2 消去 x ,得 y0 y ? ?16 y0 ? 2 x0 ? y ? 64 ? 0 . 2 ? x ? 2 y.
2 16 y0 ? 2 x0 . 2 y0

设 M ? xM , yM ? , N ? xN , yN ? ,则 yM ? yN ?

如图,设抛物线 C 的焦点为 F ,准线为 L ,作 MM1 ? L, NN1 ? L ,垂足分别为 M1 , N1 . 由抛物线的定义有:

d ? MF ? NF ? MM1 ? NN1 ? yM ? yN ? 1 ?
2 2 , ? x0 ? 8 ? y0
2 16 y0 ? 2 ? 8 ? y0 ? 2 y0

2 16 y0 ? 2 x0 ?1. 2 y0

d?

? 1 1? 16 16 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 16 ? ? ? ? 5 . y0 y0 ? y0 2 ?

2

?2 ? y0 ? 2 2 ,? 当 y0 ? 2 时, d 有最大值 11.
当 y0 ? 2 时, x0 ? ?2 ,故直线 l 的方程为 y ? ? x ? 4 . 15.解:(Ⅰ)? f ( x) ? ? x ? sin x 在 ??1,1? 上是减函数,

? f ?( x) ? ? ? cos x ? 0 在 ??1,1? 上恒成立, ?? ? ? cos x,cos x ?[cos1,1] ,
? ? ? -1 .
又? f ( x) 在 ??1,1? 上单调递减,

? f ( x)max ? f (?1) ? ?? ? sin1,
∴只需 ?? ? sin1 ? t ? ?t ?1 ,
2

?(t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0 (其中 ? ? -1 )恒成立.
令 g (? ) ? (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1(? ? -1) ,
2

则?

? ?t ? 1 ? 0, ?t ? 1 ? 0, ,即 ? 2 ? ? g ? ?1? ? 0. ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0.

?t ? -1, 2 ?? 2 而 t ? t ? sin1 ? 0 恒成立, t ? t ? sin1 ? 0. ?
? t ? -1 .
(Ⅱ)令 f1 ( x) ?

ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m , x 1 ? ln x ? f1?( x) ? , x2
当 x ? ? 0, e? 时, f1?( x) ? 0 , ? f1 ( x) 在 (0, e] 上为增函数;

x ?[e, ??)时, f1?( x) ? 0, ? f1 ( x)在[e, ??) 上为减函数,

当 x ? e 时, f1 ( x ) max ? f1 (e) ? 而 f2 ( x) ? ( x ? e)2 ? m ? e2 ,

1 . e

∴函数 f1 ( x)、f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,

1 1 2 ,即 m ? e ? 时,方程无解. e e 1 1 2 2 ②当 m ? e ? , 即 m ? e ? 时,方程有一个根. e e 1 1 2 2 ③当 m ? e < , 即 m<e ? 时,方程有两个根. e e
∴①当 m ? e ?
2



更多相关文章:
2007年广州市高二数学竞赛试卷
2007 年广州市高二数学竞赛试卷 题号得分 评卷员 一 二(11) (12) 三(13) (14) (15) 合 计 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; ⒉不准使用计算 ...
2007年广州市高二数学竞赛试卷
2007年广州市高二数学竞赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年广州市高二数学竞赛试卷 题号得分 评卷员 一 二(11) (12) 三(13) (14) (15) 合计 ...
2008年广州市高二数学竞赛试卷
2007年广州市高二数学竞赛... 11页 免费 2007年广州市高二数学竞赛... 11页...2008 年广州市高二数学竞赛参考答案一、选择题:本大题共 4 小题,每小题 6 ...
2008年广州市高二数学竞赛题及答案
2011年高二数学竞赛试题和... 7页 免费 2007年广州市高二数学竞赛... 11页 免费 2011广州市高二数学竞赛试... 4页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...
2009年广州市高二数学竞赛试题
2009 年广州市高二数学竞赛试题 2009.5.10 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 ...
2009年广州市高二数学竞赛试题
2009 年广州市高二数学竞赛试题 2009.5.10 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 ...
2011年广州市高二数学竞赛试题
2011 年广州市高二数学竞赛试题 2011.5.15 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 ...
2010年广州市高二数学竞赛试题doc
2010 年广州市高二数学竞赛试题 2010.5.9 考生注意:⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; ⒉不准使用计算器; ⒊考试用时 120 分钟,全卷满分 150 ...
2014年广州市高二数学竞赛试卷(含答案)
2014年广州市高二数学竞赛试卷(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014...2008年广州市高二数学竞... 14页 5下载券 2007年广州市高二数学竞... 11...
2015年广州市数学竞赛高二试题
2015 年广州市数学竞赛高二试题 2015.5.16 考生注意: 1.用钢笔、签字笔或回珠笔作答,答案写在答卷上; 2.不准使用计算器; 3.考试用时 120 分钟,全卷满分...
更多相关标签:
广州市高二数学竞赛    高二数学竞赛试卷    广州市体育竞赛中心    广州市高二水平测试    2016广州市古诗文竞赛    广州市高一力学竞赛    广州市植物识别竞赛    广州市英语读写竞赛    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图