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9.2直线的倾斜角和斜率(一)





题: 9.2 直线的倾斜角和斜率(一)

教学目的: 1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念 2.理解直线的倾斜角和斜率的定义
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3.已知直线的倾斜角,会求直线的斜率 4.已知直线的斜率,会求直线的倾斜角

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5.认识事物之间的相互联系, 用联系的观点看问题 教学重点:直线的倾斜角和斜率概念 教学难点:斜率概念理解与斜率公式 内容分析:
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?本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手, 引入 直线的方程与方程的直线概念,注重了由浅及深的学习规 律,并体现了由特殊到一般的研究方法. 引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中 的倾斜角和斜率概念,是由于进一步研究直线方程的需要. 在直线倾斜角和斜率学习过程中, 要引导学生注重导求 倾斜角与斜率的相互联系, 以及它们与三角函数知识的联系. 在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时, 应以倾斜角与斜 率的相互变化作为突破口
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教学过程: 一、复习引入: 在初中,我们已经学习过一次函数,并接触过一次函数 的图象,现在,请同学们作一下回顾: 1.一次函数的图象特点:一次函数形如 y ? kx ? b ,它 的图象是一条直线. 2.对于一给定函数 y ? 2 x ? 1 ,作出它的图象的方法: 由于两点确定一条直线,所以在直线上任找两点即可. 3.这两点与函数式的关系:这两点就是满足函数式的 两对 x, y 值. 因此,我们可以得到这样一个结论:一般地,一次函数
y ? kx ? b 的图象是一条直线,它是以满足 y ? kx ? b 的每一对
x, y 的值为坐标的点构成的.

由于函数式 y ? kx ? b 也可以看作二元一次方程.所以我 们可以说, 这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关 系. 有了上述基础, 我们也就不难理解 “直线的方程” 和 “方 程的直线”的基本概念 二、讲解新课:
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1.直线方程的概念: 以一个方程的解为坐标的点都是某 条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方 程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线 叫做这个方程的直线
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在平面直角坐标系中研究直线时, 就是利用直线与方程 的这种关系,建立直线的方程的概念,并通过方程来研究直 线的有关问题.为此,我们先研究直线的倾斜角和斜率
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2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一 条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋 转到和直线重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直 线的倾斜角. 当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 0°
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因此,根据定义,我们可以得到倾斜角的取值范围
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是 0°≤ ? <180°

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倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率,常用 k 表示. 倾斜角是 90 ? 的直线没有斜率
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3.概念辨析:为使大家巩固倾斜角和斜率的概念,我 们来看下面的题. 关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说法是正确的:

A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π ; D.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等. E.直线斜率的范围是(-∞,+∞). 辨析:上述说法中,E 正确,其余均错误,原因是:A. 与 x 轴垂直的直线倾斜角为 ,但斜率不存在;B.举反例说 明,120°>30°,但 tan1200 =- 3 < tan300 ?
3 ;C.平行 3

? 2

于 x 轴的直线的倾斜角为 0; D.如果两直线的倾斜角都是 , 但斜率不存在,也就谈不上相等. 说明:①当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的 倾斜角为 0°;②直线倾斜角的取值范围是 0 0 ? ? ? 1800 ;③ 倾斜角是 90°的直线没有斜率. 4.已知直线的倾斜角的取值范围,利用正切函数的性 质,讨论直线斜率及其绝对值的变化情况: (1) 0 0 ? ? ? 900 作出 y ? tan ? 在 [0 0 ,900 ) 区间内的函数图象;由图象观察 可知: 当 ? ∈ [0 0 ,900 ) ,y ? tan ? >0, 并且随着 ? 的增大,y 不 断增大, | y | 也不断增大.

? 2

所以,当 ? ∈ [0 0 ,900 ) 时,随着倾斜角 ? 的不断增大,直 线斜率不断增大,直线斜率的绝对值也不断增大. (2) 900 ? ? ? 1800 作出 y ? tan? 在 (900 ,1800 ) 区间内的
y

函数图象,由图象观察可知:当 ? ∈
(900 ,1800 ) , y ? tan ? <0,并且随着 ? 的
| y | 不断减小. 增大,y ? tan ? 不断增大,
O ? 2 ?

x

所以当 ? ∈ (900 ,1800 ) 时,随着倾斜 角 ? 的不断增大,直线的斜率不断增 大,但直线斜率的绝对值不断减小. 针对以上结论,虽然有当 ? ∈ [0 0 ,900 ) ,随着 ? 增大直线 斜率不断增大;当 ? ∈ (900 ,1800 ) ,随着 ? 增大直线斜率不断 增大. 但是当 ? ∈ [0 0 ,900 ) ∪ (900 ,1800 ) 时,随着 ? 的增大直 原因在于正切函数

线斜率不断增大却是一错误结论 .

y ? tan ? 在区间 [0 0 ,900 ) 内为单调增函数,在区间 (900 ,1800 ) 内

也是单调增函数, 但在 [0 0 ,900 ) ∪ (900 ,1800 ) 区间内, 却不具有 单调性
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三、讲解范例: 例 1 如图, 直线 l1 的倾斜角 ?1 =30°, 直线 l1 ⊥ l 2 , 求 l1 、

l 2 的斜率.

分析:对于直线 l1 的斜率,可通 过计算 tan300 直接获得, 而直线 l 2 的斜 率则需要先求出倾斜角 ? 2 ,而根据平

y

l2

l1 ?2 x

?1

O

面几何知识, ? 2 ? ?1 ? 900 ,然后再求 tan? 2 即可. 解: l1 的斜率 k 1 =tan ?1 =tan30°=
3 , 3

∵ l 2 的倾斜角 ? 2 =90°+30°=120°, ∴ l 2 的斜率 k 2 =tan120°=tan(180°-60°) =-tan60°= ? 3 . 评述:此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率,其 中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定. 例 2 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) ? =0°; (2) ? =60°; (3) ? =90°; (4) ? =
3? 4

分析:通过此题训练,意在使学生熟悉特殊角的斜率. 解:(1)∵tan0°=0 ∴倾斜角为 0°的直线斜率为 0; (2)∵tan60°= 3 ∴倾斜角为 60°的直线斜率为 3 ;

(3)∵tan90°不存在 ∴倾斜角为 90°的直线斜率不存在; (4)∵ tan ? = tan( ? ? ) =-tan =-1,
4 3 4

?

? 4

∴倾斜角为 π 的直线斜率为-1. 四、课堂练习: 1.直线 l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( A.
? 4

3 4

) D.-
? 4

B.

5? 4

C. 或

? 4

5? 4

2.过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值 为( A.1 ) B.4 C.1 或 3 D.1 或 4

3.已知 A(2,3)、B(-1,4),则直线 AB 的斜率是 4.已知 M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线 MN 的倾斜角是 5.已知 O(0,0)、P(a,b)(a≠0),直线 OP 的斜率是 参考答案: 1.A 2.A 3.- 1
3

4.90° 5. b

a

五、小结 :通过本节学习,要求大家掌握已知直线的倾斜 角求斜率,理解斜率公式的推导,为下一节斜率公式的应用 打好基础
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六、课后作业: P252

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