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概率 本章整合



专题一 互斥事件与对立事件问题
(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先 是互斥事件, 且必须有一个要发生. (2)利用集合的观点来判断:设事件 A 与 B 所含的结果组成的集 合分别是 A, B, 全集为 I. ①事件 A 与 B 互斥, 即集合 A∩B=?;②事件 A 与 B 对立, 即集合 A ∩B=?, 且 A ∪B=I, 也即 A=

?IB 或 B=?IA ;③对互 斥事件 A 与 B 的和 A+B , 可理解为集合 A∪B. (3)对立事件是针对两个事件来说的, 而互斥则可以是多个事件 间的关系. (4)如果 A 1 ,A 2, …, A n 中任何两个都是互斥事件, 那么我们就说 A 1 ,A 2, …, A n 彼此互斥. (5)若事件 A 1 ,A 2, A 3, …, A n 彼此互斥, 则 P(A1 ∪A2 ∪…∪ A n )=P(A 1)+P(A2 )+…+P(A n).

应用互斥事件的概率加法公式解题时, 一定要注意首先确定各 个事件是否彼此互斥, 然后求出各事件分别发生的概率, 再求和. 对于 较复杂事件的概率, 可以转化为求其对立事件的概率. (6)求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成 彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率, 然后再应用公式 P(A)=1-P()求解.

应用 1 从 40 张扑克牌(红桃、 黑桃、 方块、 梅花的点数为 1~10, 各 10 张)中任取 1 张. 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件, 是 否为对立事件, 并说明理由. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出牌的点数为 5 的倍数”与“抽出牌的点数大于 9”.

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解:(1)是互斥事件, 不是对立事件. 理由是: 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, “抽出红桃”和“抽出黑桃”是不 可能同时发生的, 所以是互斥事件. 同时, 也不能保证其中必有一个发 生, 这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”, 因此二者不是对立事 件. (2)既是互斥事件, 又是对立事件. 理由是: 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, “抽出红色牌”与“抽出黑色牌” 两个事件不可能同时发生, 且其中必有一个发生, 因此它们既是互斥 事件, 又是对立事件. (3)不是互斥事件, 当然不可能是对立事件. 理由是: 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张, “抽出牌的点数为 5 的倍数”与 “抽出牌的点数大于 9”这两个事件可能同时发生, 如抽得点数为 10, 因此, 这二者不是互斥事件, 当然不可能是对立事件.

`应用 2 在某一时期内, 一条河流某处的年最高水位在各个范围内的 概率如下表: 年最高水位 [8,10) [10,12) (单位:m) 概率 0. 1 0. 28 [12,14) [14,16) [16,18) 0. 38 0. 16 0. 08

计算在同一时期内, 河流此处的年最高水位在下列范围内的概 率:(1)[10,16)(m);(2)[8,12)(m);(3)[14,18)(m).

解:记该河流某处的年最高水位在 [8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18)(单位:m)分别为事件 A, B, C, D, E, 它们彼此互斥. (1)P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0. 28+0. 38+0. 16=0. 82. (2)P(A+B)=P(A)+P(B)=0. 1+0. 28=0. 38. (3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0. 16+0. 08=0. 24. 所以年最高水位在[10,16)(m),[8,12)(m),[14,18)(m)的概率分别 为 0. 82,0. 38,0. 24.

专题二 概率与频率关系的应用
频率是概率的近似值, 随着试验次数的增加, 频率会越来越接近 概率, 在实际问题中, 常用事件发生的频率作为概率的估计值. 频率本 身是随机的, 而概率是一个确定的数, 是客观存在的, 因此概率与每次 试验无关. 应用 下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表, 请完 成表格并回答问题: 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 2 5 2 4 10 70 130 9 60 116 300 1500 269 1347 2000 3000 1794 2688

(1)完成上面表格. (2)估计该油菜籽发芽的概率是多少?

提示:(1)代入公式得频率,(2)估计频率的稳定值即为概率. 解:(1)从左到右依次填 入:1,0. 8,0. 9,0. 857,0. 892,0. 897,0. 898,0. 897,0. 896. (2)由于每批种子发芽的频率稳定在 0. 897 附近, 所以估计该油菜籽发芽的概率为 0. 897.

专题三 古典概型问题
古典概型是一种最基本的概型, 也是学习其他概型的基础, 要掌 握古典概型的两个基本特征, 即有限性和等可能性. 在应用公式 P(A)= 时, 关键是要正确理解基本事件与事件 A 的关系, 从而求出 n, m. 在求基本事件的总数时, 可以用列举法、 列图表或设有序数对的 方法来求.

应用 1 如图, a, b, c, d, e 是处于断开状态的开关, 任意闭合两个, 则 电路被接通的概率是 .

解析:“任意闭合两个开关”所包含基本事件有:闭合 ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de, 共有 10 个, “电路被接通”包含 6 个基本 6 3 事件(闭合 ad, ae, bd, be, cd, ce), 所以电路被接通的概率 P=10 = 5. 答案:5
3

应用 2 一个均匀的正四面体面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字, 现 在随机投掷两次, 正四面体面朝下的数字分别为 b, c. 2 2 (1)记 z=(b-3) +(c-3) , 求 z=4 的概率; (2)若方程 x2 -bx-c=0 至少有一根 x∈{1,2,3,4}, 就称该方程为“漂 亮方程”, 求方程为“漂亮方程”的概率.

解:(1)因为是投掷两次, 因此基本事件是(b, c), 有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),( 4,2),(4,3),(4,4). 共有 16 个基本事件. 当 z=4 时,(b, c)的所有取值为(1,3)、(3,1), 所以 P (z=4)=
2 16

= .

1 8

(2)①若方程一根为 x=1, 则 1-b-c=0, 即 b+c=1, 不成立. = 1, ②若方程一根为 x=2, 则 4-2b-c=0,即 2b+c=4, 所以 = 2. ③若方程一根为 x=3, 则 9-3b-c=0,即 3b+c=9, 所以 = 2, = 3. ④若方程一根为 x=4, 则 16-4b-c=0,即 4b+c=16, 所以 = 3, = 4. 综合①②③④知,(b, c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4),

所以“漂亮方程”共有 3 个, 方程为“漂亮方程”的概率为 P=16 .

3

应用 3 已知实数 a, b∈{-2, -1,1,2}, (1)求直线 y=ax+b 不过第四象限的概率; 2 2 (2)求直线 y=ax+b 与圆 x +y =1 有公共点的概率.

解:实数对(a, b)的所有取值为 (-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1, -2),(-1, -1),(-1,1),(-1,2),(1, -2),(1, -1),( 1,1),(1,2),(2, -2),(2, -1),(2,1),(2,2),共 16 种. 设“直线 y=ax+b 不经过第四象限”为事件 A , “直线 y=ax+b 与圆 x2 +y2 =1 有公共点”为事件 B. ≥ 0, (1)若直线 y=ax+b 不经过第四象限, 则必须满足 即满足 ≥ 0. 条件的实数对(a, b)有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), 共 4 种. 4 1 则 P(A)= = .
16 4

故直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率为 .

1 4

(2)若直线 y=ax+b 与圆 x2 +y2 =1 有公共点, 则必须满足
|| 2 +1

≤1, 即 b ≤a +1.
2 2

若 a=-2, 则 b=-2, -1,1,2 符合要求, 此时实数对(a, b)有 4 种不同取值; 若 a=-1, 则 b=-1,1 符合要求, 此时实数对(a, b)有 2 种不同取值; 若 a=1, 则 b=-1,1 符合要求, 此时实数对(a, b)有 2 种不同取值; 若 a=2, 则 b=-2,-1,1,2 符合要求, 此时实数对(a, b)有 4 种不同取 值. ∴满足条件的实数对(a, b)共有 12 种不同取值. 12 3 ∴P (B)= = .
16 4

故直线 y=ax+b 与圆 x +y =1

2

2

3 有公共点的概率为4.

专题四 几何概型问题
若试验同时具有基本事件个数的无限性和每个事件发生的等 可能性两个特征, 则此试验为几何概型, 由于基本事件个数的无限性, 其概率就不能应用 P(A)= 求解, 因此需转化为几何度量(如长度、 面 积、体积等)的比值求解. 几何概型是新增内容, 在高考中很少考查随机模拟, 主要涉及几 何概型的概率求解问题, 难度不会太大, 题型可能较灵活, 涉及面可能 较广. 几何概型的三种类型分别为长度型、面积型和体积型, 在解题 时要准确把握, 要把实际问题作合理的转化;要注意古典概型和几何 概型的区别, 正确地选用几何概型解题.

应用 1 ABCD 为长方形, AB=2, BC=1, O 为 AB 的中点, 在长方形 ABCD 内随机取一点 P , 取到的点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) π π A. 4 B.1- 4 C. 8
π

D.1-8

π

解析:如图所示, 若取到的点 P 到 O 的距离大于 1, 则点 P 在阴影 1 π 部分内, 阴影部分的面积为 2×1-2×π×12 =2- 2 , 所以所求的概率为 答案:B
π 2-2 2

=1-4 .

π

应用 2 在 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子, 从中 随机取出 10mL, 含有麦锈病种子的概率是多少? 解:取出 10mL 麦种, 其中“含有麦锈病种子”这一事件记为 A, 则 P(A)=
取出种子的体积 所有种子的体积

= 1000 =

10

1 . 100 1

答:含有麦锈病种子的概率为 100 .

专题五

概率与统计的综合问题

概率与统计相结合,是新课标数学高考试题的一个亮点,其中所 涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率是古典概型,虽然是综合 题,但是难度不大,属于中档以下难度.

应用 1 (2013·四川资阳一模,文 16)某校团委会组织该校高中一 年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动,且 每个小组有 5 名同学,在实践活动结束后,学校团委会对该班的所有 同学都进行了测评,该班的 A,B 两个小组所有同学所得分数(百分制) 的茎叶图如图所示,其中 B 组一同学的分数已被污损,但知道 B 组学 生的平均分比 A 组学生的平均分高 1 分.

(1)若在 B 组学生中随机挑选 1 人,求其得分超过 85 分的概率; (2)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学,设其分数分别为 m,n,求|m-n|≤8 的概率.

解:(1)A 组学生的平均分为

94+88+86+80+77 =85(分), 5

∴B 组学生平均分为 86 分, 91+93+83++75 设被污损的分数为 x, 则 =86, 解得 x=88, 5 ∴B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75, 其中有 3 人的分数超 过 85 分, 3 ∴在 B 组学生随机选 1 人, 其所得分超过 85 分的概率为5.

(2)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77, 在 A 组学生中随机抽取 2 名同学, 其分数组成的基本事件(m, n) 有 (94,88),(94,86),(94,80),(94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77), (80,77), 共 10 个, 随机抽取 2 名同学的分数 m, n 满足|m-n|≤8 的基本事件有 (94,88),(94,86),(88,86),(88,80),(86,80),(80,77), 共 6 个. 6 3 ∴|m-n|≤8 的概率为10 = 5.

应用 2 某班同学利用国庆节进行社会实践, 对[25,55]岁的人群 随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查, 若生 活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”, 否则称为“非低碳族”, 得到如 下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图: 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 [25,30) 120 0. 6 第二组 [30,35) 195 p 第三组 [35,40) 100 0. 5 第四组 [40,45) a 0. 4 第五组 [45,50) 30 0. 3 第六组 [50,55] 15 0. 3

(1)补全频率分布直方图并求 n, a,p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人 参加户外低碳体验活动, 其中选取 2 人作为领队, 求选取的 2 名领队 中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率.

解:(1)第二组的频率为 1-(0. 04+0. 04+0. 03+0. 02+0. 01)×5=0. 3, 所以高为 5 =0. 06. 频率直方图如下:
0.3

第一组的人数为 0.6 =200, 频率为 0. 04×5=0. 2, 所以 n= 0.2 =1000. 由题可知, 第二组的频率为 0. 3, 所以第二组的人数为 1000×0. 3=300, 所以 p=300 =0. 65.
195 200

120

第四组的频率为 0. 03×5=0. 15, 所以第四组的人数为 1000×0. 15=150, 所以 a=150×0. 4=60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳 族”的比值为 60∶30=2∶1, 所以采用分层抽样法抽取 6 人,[40,45)岁中有 4 人,[45,50)岁中 有 2 人. 设[40,45)岁中的 4 人为 a, b, c, d,[45,50)岁中的 2 人为 m, n, 则选取 2 人作为领队的选法有 (a, b),(a, c),(a, d),(a, m),(a, n),(b, c),(b, d),(b, m),(b, n),(c, d),(c, m),(c, n),(d, m), (d, n),(m, n),共 15 种;其中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的有 (a, m),(a, n),(b, m),(b, n),(c, m),(c, n),(d, m),(d, n),共 8 种. 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为15 .
8

1. (2013· 全国新课标Ⅰ高考, 文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数, 则取 出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) A. 2 C. 4
1 1 1

B. 3

1 1

D. 6

解析:由题意知总事件数为 6, 且分别为 (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4), 满足条件的事件数是 2, 所以所求的 概率为3. 答案:B
1

2. (2013· 安徽高考,文 5)若某公司从五位大学毕业生甲、 乙、 丙、 丁、 戊中录用三人, 这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为 ( ) 2 2 A. 3 B. 5 C. 5
3

D. 10

9

解析:五人录用三人共有 10 种不同方式, 分别为:{丙, 丁, 戊},{乙, 丁, 戊},{乙, 丙, 戊},{乙, 丙, 丁},{甲, 丁, 戊},{甲, 丙, 戊},{甲, 丙, 丁},{甲, 乙, 戊},{甲, 乙, 丁},{甲, 乙, 丙}. 其中含甲或乙的情况有 9 种, 故选 D. 答案:D

3. (2013· 陕西高考, 文 5)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间 [20,25)上为一等品, 在区间[15,20)和[25,30)上为二等品, 在区间 [10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机 抽取 1 件, 则其为二等品的概率是( )

A.0. 09

B.0. 20

C.0. 25

D.0. 45

解析:由题中频率分布直方图可知:在区间[15,20)和[25,30)上的概率 为 0. 04×5+[1-(0. 02+0. 04+0. 06+0. 03)×5]=0. 45. 答案:D

4. (2013· 福建高考,理 11)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a, 则事件“3a-1>0”发生的概率为 . 解析:由 3a-1>0 得 a>3, 由几何概型知 P= 1 = 3.
2 答案:3 1 1 1-3 2

5. (2013· 浙江高考,文 12)从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同 学被选中的机会均等), 这 2 名都是女同学的概率等于 . 解析:从 3 男,3 女中任选两名, 共有 15 种基本情况, 而从 3 女中任选 2 3 1 名女同学, 则有 3 种基本情况, 故所求事件的概率为15 = 5.
1 答案:5

6. (2013· 辽宁高考,文 19)现有 6 道题, 其中 4 道甲类题,2 道乙类题, 张 同学从中任取 2 道题解答. 试求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 解:(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6. 任取 2 道题, 基本事件 为:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5}, {3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共 15 个, 而且这些基本事件的出现是等可能 的. 用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有 6 2 {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个, 所以 P (A)= = .
15 5

(2)基本事件同(1), 用 B 表示“不是同一类题”这一事件, 则 B 包含 的基本事件有{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6}, 共 8 个, 所以
8 P (B )= . 15

7. (2013· 山东高考,文 17)某小组共有 A, B, C, D,E 五位同学, 他们的身 高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米 )如下表所示: A 身高 1. 69 体重指标 19. 2 B 1. 73 25. 1 C 1. 75 18. 5 D 1. 79 23. 3 E 1. 82 20. 9
2

(1)从该小组身高低于 1. 80 的同学中任选 2 人, 求选到的 2 人身高都 在 1. 78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人, 求选到的 2 人的身高都在 1. 70 以上且 体重指标都在[18. 5,23. 9)中的概率.

解:(1)从身高低于 1. 80 的同学中任选 2 人, 其一切可能的结果组成的 基本事件有:(A , B ),(A, C),(A, D),(B, C),(B , D),(C, D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等 可能的. 选到的 2 人身高都在 1. 78 以下的事件有:(A, B),(A, C),(B , C), 共 3 个. 因此选到的 2 人身高都在 1. 78 以下的概率为 P= = . (2)从该小组同学中任选 2 人, 其一切可能的结果组成的基本事 件有:(A , B ),(A, C),(A, D),(A, E ),(B, C),(B , D),(B , E),(C, D),(C, E),(D, E), 共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等 可能的.
3 6 1 2

选到的 2 人身高都在 1. 70 以上且体重指标都在[18. 5,23. 9)中的 事件有:(C, D),(C, E),(D, E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1. 70 以上且体重指标都在 3 [18. 5,23. 9)中的概率为 P= .
10

本课结束 谢谢观看



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