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山西省大同一中、同煤一中联考2015届高三上学期期末数学试卷(文科)



山西省大同一中、同煤一中联考 2015 届高三上学期期末 数学试卷(文科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分. ) 1.集合 A.?RA??RB B.A??RB ,则下列关系正确的是( C.B??RA D.A∪B=R )

考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:集合. 分析:本题的关键是理清集合 A、B 的关系,抓住代表元素,认清集合的

特征 解答: 解:集合 B={y|y= ,0≤x≤4} ∴B={y|0≤y≤2},CRB={y|y<0 或 y>2} 又∵A={x|﹣4≤x≤2},CRA={x|x<﹣4 或 x>2} ∴CRA?CRB,故 A 正确,B、C、D 错误 故选:A 点评:本题主要考查集合的相等等基本运算,属于基础题.要正确判断两个集合间相等的关 系,必须对集合的相关概念有深刻的理解,善于抓住代表元素,认清集合的特征.

2.若 z=1+i,则 +i =( A.﹣2

) C .2 D.2i

B.﹣2i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把 z=1+i 代入 +i ,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 解答: 解:∵z=1+i, ∴ +i = =1﹣i+i+1=2.

故选:C. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 3.命题“?x∈R,x +1≥1”的否定是( ) 2 2 A.?x∈R,x +1<1 B.?x∈R,x +1≤1
2

C.?x∈R,x +1<1

2

D.?x∈R,x +1≥1

2

考点:Venn 图表达集合的关系及运算;交、并、补集的混合运算. 专题:规律型. 分析:全称命题:“?x∈A,P(x)”的否定是特称命题:“?x∈A,非 P(x)”,结合已知中原 2 命题“?x∈R,都有有 x +1≥1”,易得到答案.

解答: 解:∵原命题“?x∈R,有 x +1≥1” 2 ∴命题“?x∈R,有 x +1≥1”的否定是: 2 ?x∈R,使 x +1<1. 故选 C. 点评:本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握全称命题:“?x∈A,P(x)”的否定 是特称命题:“?x∈A,非 P(x)”,是解答此类问题的关键. 4.若关于 x 的方程 2 ﹣x +a=0 有两个不相等的实数解,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1) D. (﹣∞,﹣1] 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:构造函数 f(x)=2 ﹣x +a,从而可判断 f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0) 上是增函数,在[0,+∞)上是减函数;从而结合方程的根可得 f(0)>0,从而解得. 解答: 解:令 f(x)=2 ﹣x +a, 易知 f(x)是 R 上的偶函数; 当 x≥0 时,f(x)=2 ﹣x +a, 其在[0,+∞)上是减函数; 故 f(x)在(﹣∞,0)上是增函数; 故若关于 x 的方程 2 ﹣x +a=0 有两个不相等的实数解, 则 f(0)>0; 即 1﹣0+a>0; 即 a>﹣1; 故选 A. 点评: 本题考查了函数的性质的判断与应用, 同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用, 属于中档题.
﹣|x| ﹣x ﹣|x| ﹣|x| ﹣|x|

2

2

)

2

2

2

2

5.△ ABC 的外接圆的圆心为 O,若 A.外心 B.内心

=

+

+

,则 H 是△ ABC 的( D.垂心

)

C.重心

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:如图所示,取 BC 的中点 D,连接 OD.可得 AH⊥BC,同理可证:BH⊥AC,CH⊥AB.即可得出. 解答: 解:如图所示, 取 BC 的中点 D,连接 OD. ∴ ∵ ∴ = + , + ,OD⊥BC. , ,OD⊥BC,可得 ,

∴AH⊥BC, 同理可证:BH⊥AC,CH⊥AB. ∴H 是△ ABC 的垂心. 故选:D.

点评:本题考查了圆的垂经定理、向量的三角形法则、三角形垂心的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

6.x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a

的值为(

) B.2 或 C .2 或 1 D.2 或﹣1

A. 或﹣1

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的 变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:D

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义. 7.如图,M 是半径 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能的任取一点 N,连接 MN,则弦 MN 的长度超过 R 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是要找出满足条件弦 MN 的长度超过 的图形测度,再代入几何概型计算公式求解. 解答: 解:本题利用几何概型求解.测度是弧长. 根据题意可得,满足条件:“弦 MN 的长度超过 R”对应的弧, 其构成的区域是半圆 则弦 MN 的长度超过 , R 的概率是 P= .

R

故选:D. 点评:几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.

8.已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线 的交点为 K,点 A 在抛物线上且|AK|= A.4 B.8

2

的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴 )

|AF|,则△ AFK 的面积为( C.16 D.32

考点:抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由双曲线 得右焦点为(4,0)即为抛物线 y =2px 的焦点,可得 p.进而
2

得到抛物线的方程和其准线方程,可得 K 坐标.过点 A 作 AM⊥准线,垂足为点 M.则 |AM|=|AF|.可得|AK|= |AM|.可得|KF|=|AF|.进而得到面积. 解答: 解:由双曲线 解得 p=8. ∴抛物线的方程为 y =16x. 其准线方程为 x=﹣4,∴K(﹣4,0) . 过点 A 作 AM⊥准线,垂足为点 M.则|AM|=|AF|. ∴|AK|= |AM|. ∴∠MAK=45°. ∴|KF|=|AF|. ∴ =32.
2

得右焦点为(4,0)即为抛物线 y =2px 的焦点,∴

2



故选 D. 点评:熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键. 9.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则 图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单组合体的结构特征. 专题:计算题;压轴题. 分析:做本题时,需要将原图形在心中还原出来,最好可以做出图形,利用图形关系,就可 以求解了. 解答: 解:棱长为 2 的正四面体 ABCD 的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的 一个截面如图为△ ABF,则图中 AB=2,E 为 AB 中点,则 EF⊥DC,

在△ DCE 中,DE=EC= ,DC=2, ∴EF= , ∴三角形 ABF 的面积是 , 故选 C.

点评:本题考查学生的空间想象能力,以及学生对几何体的认识,是中档题.

10.函数 f(x)=2x﹣tanx 在

上的图象大致为(

)

A.

B.

C.

D. 考点:奇偶性与单调性的综合;函数的图象. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:由题意判断函数的奇偶性以及函数在 x 大于 0 时的单调性即可推出正确结果. 解答: 解:因为函数 f(x)=2x﹣tanx 在 以函数是奇函数, 故 A,B 不正确; 又 x= →0 ,函数 f(x)=2×
+

上满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,所

﹣tan

=

>0,

故 C 正确,D 不正确. 故选 C. 点评:本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用,特值法是解答选择题的好方法.

11.已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f( ﹣x)=f(x) ,f(﹣2)=﹣3,数列 {an}满足 a1=﹣1,且 A.﹣3 =2× B.﹣2 +1, (其中 Sn 为{an}的前 n 项和) .则 f(a5)+f(a6)=( C .3 D.2 )

考点:数列与函数的综合;函数的周期性. 专题:综合题;压轴题;函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析:先由函数 f(x)是奇函数,f( ﹣x)=f(x) ,推知 f(3+x)=f(x) ,得到 f(x)是 以 3 为周期的周期函数.再由 a1=﹣1,且 Sn=2an+n,推知 a5=﹣31,a6=﹣63 计算即可. 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ∵f( ﹣x)=f(x) , ∴f( ﹣x)=﹣f(﹣x) ∴f(3+x)=f(x) ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. ∵数列{an}满足 a1=﹣1,且 =2× +1,

∴a1=﹣1,且 Sn=2an+n, ∴a5=﹣31,a6=﹣63 ∴f(a5)+f(a6)=f(﹣31)+f(﹣63)=f(2)+f(0)=f(2)=﹣f(﹣2)=3 故选 C. 点评: 本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式, 在函数性质综合应 用中相互结合转化中奇偶性,对称性和周期性之间是一个重点.

12.已知椭圆 C1:

=1(a>b>0)与双曲线 C2:x ﹣

2

=1 有公共的焦点,C2 的一 )

条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点. 若 C1 恰好将线段 AB 三等分, 则( A.a =
2

B.a =3

2

C. =

b2

D. =2

b2

考点:椭圆的简单性质;圆锥曲线的综合. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先由双曲线方程确定一条渐近线方程为 y=2x,根据对称性易知 AB 为圆的直径且 2 2 AB=2a,利用椭圆与双曲线有公共的焦点,得方程 a ﹣b =5;设 C1 与 y=2x 在第一象限的交 点的坐标为(x,2x) ,代入 C1 的方程得: ;对称性知直线 y=2x 被 C1 截得的

弦长=2

x,根据 C1 恰好将线段 AB 三等分得:2

x=

,从而可解出 a ,b 的值,故可

2

2

得结论. 解答: 解:由题意,C2 的焦点为(± AB 为圆的直径且 AB=2a 2 2 ∴C1 的半焦距 c= ,于是得 a ﹣b =5

,0) ,一条渐近线方程为 y=2x,根据对称性易知 ① ②,

设 C1 与 y=2x 在第一象限的交点的坐标为(x,2x) ,代入 C1 的方程得: 由对称性知直线 y=2x 被 C1 截得的弦长=2 由题得:2
2

x,

x=
2

,所以



由②③得 a =11b ④ 2 2 由①④得 a =5.5,b =0.5 故选 C 点评:本题以椭圆,双曲线为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系,解题思路清晰,但计 算有点烦琐,需要小心谨慎. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 sin( ﹣x)= ,则 cos( ﹣x)=﹣ .

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,将已知等式代入计算即可求出值. 解答: 解:∵sin( ∴cos( ﹣x)=cos[ ﹣x)= , +( ﹣x)]=﹣sin( ﹣x)=﹣ .

故答案为:﹣ 点评:此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
2

14.若两个正实数 x、y 满足 + =1,并且 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ﹣4<m<2. 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:运用 x+2y=(x+2y) ( )=4+ ≥4+4=8,得出 8>m +2m,求解即可.
2

解答: 解:∵两个正实数 x、y 满足 + =1,

∴x+2y=(x+2y) (
2

)=4+

≥4+4=8,

∵x+2y>m +2m 恒成立, 2 ∴8>m +2m, 求解得出 m 的范围:﹣4<m<2, 故答案为:﹣4<m<2, 点评: 本题考查了基本不等式求解最值, 把不等式恒成立问题转化为最值求解, 属于中档题.

15.椭圆

+

=1(a>b>0)的一个焦点为 F1,若椭圆上存在一个点 P,满足以椭圆短轴

为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为



考点:椭圆的应用. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于点 M,连结 OM、PF2,利用三角形中 位线定理与圆的切线的性质,证出 PF1⊥PF2 且|PF2|=2b,然后在 Rt△ PF1F2 中利用勾股定理 算出|PF1|.根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,从而建立关于 a、b、c 的等式,解出 b= a, c= a,进而可得椭圆的离心率的大小.

解答: 解:设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于点 M,连结 OM、PF2, ∵M、O 分别为 PF1、F1F2 的中点, ∴MO∥PF2,且|PF2|=2|MO|=2b, 又∵线段 PF1 与圆 O 相切于点 M,可得 OM⊥PF1, ∴PF1⊥PF2, ∴|PF1|= ∴|PF1|+|PF2|=2
2 2 2

=2

. +2b=2a,
2

化简得 2ab=a ﹣c +2b =3b , ∴b= a,c= a, .

∴离心率为 e= = 故答案为: .

点评:本题考查了三角形的中位线定理、圆的切线的性质、椭圆的定义与简单几何性质等知 识,属于中档题. 16.一个四面体的三视图如右上图所示,则该四面体的四个面中最大的面的面积为 2 .

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据三视图,得到四面体的直观图,然后判断四个面中的最大面积即可. 解答: 解:将该几何体放入边长为 2 的正方体中,由三视图可知该四面体为 D﹣BD1C1, 由直观图可知,最大的面为 BDC1.在正三角形 BDC1 中,BD=2 , 所以面积 S= ×(2 故答案为:2 )×
2

=2



点评:本题主要考查三视图的识别和判断,将几何体放入正方体中去研究,是解决本题的关 键. 三、解答题 17.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有 1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同, 随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a,b,c. (Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. 考点:相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)所有的可能结果(a,b,c)共有 3×3×3=27 种,而满足 a+b=c 的(a,b,c 有 计 3 个,由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率.

(Ⅱ)所有的可能结果(a,b,c)共有 3×3×3 种,用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字 a,b,c 完全相同”的(a,b,c)共计三个,由此求得“抽取的卡片上的数字 a,b,c 完全相 同”的概率,再用 1 减去此概率,即得所求. 解答: 解: (Ⅰ)所有的可能结果(a,b,c)共有 3×3×3=27 种, 而满足 a+b=c 的(a,b,c)有(1,1,2) 、 (1,2,3) 、 (2,1,3) ,共计 3 个, 故“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 = .

(Ⅱ)满足“抽取的卡片上的数字 a,b,c 完全相同”的(a,b,c)有: (1,1,1) 、 (2,2,2) 、 (3,3,3) ,共计三个, 故“抽取的卡片上的数字 a,b,c 完全相同”的概率为 = ,

∴“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 1﹣ = . 点评:本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于中档题.

18.已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求 Tn.

考点:数列的求和. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 ,知 ,

, 所以 (an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1) =0, 由此能求出 an=n.

(Ⅱ)由

,知

,由此能求出 Tn.

解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ ,①



,② 由①﹣②得: (an+an﹣1) (an﹣an﹣1﹣1)=0, ∵an>0,∴ , ,

又∵ ∴a1=1,∴

, ,

当 n=1 时,a1=1,符合题意. 故 an=n. (Ⅱ)∵ ∴ 故 , . ,

点评:本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法,解题时要认真审题,注意迭代法和 裂项求和法的合理运用. 19.在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ)若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ)若 sinAcos
2

+sinBcos

2

=2sinC,且△ ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由 a+b+c=8,根据 a=2,b= 求出 c 的长,利用余弦定理表示出 cosC,将三边 长代入求出 cosC 的值即可; (Ⅱ) 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简, 整理后利用两角和与差的正弦函数公 式及诱导公式变形,再利用正弦定理得到 a+b=3c,与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值,利用三 角形的面积公式列出关系式,代入 S= sinC 求出 ab 的值,联立即可求出 a 与 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a=2,b= ,且 a+b+c=8, ∴c=8﹣(a+b)= ,

∴由余弦定理得:cosC=

=

=﹣ ;

(Ⅱ)由 sinAcos

2

+sinBcos

2

=2sinC 可得:sinA?

+sinB?

=2sinC,

整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC, ∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,

∴sinA+sinB=3sinC, 利用正弦定理化简得:a+b=3c, ∵a+b+c=8, ∴a+b=6①, ∵S= absinC= sinC, ∴ab=9②, 联立①②解得:a=b=3. 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 20.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

考点:直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去 AB 中点 O,连结 OC,OA1,可通过证明 AB⊥平面 OA1C 得要证的结论; (Ⅱ)在三角形 OCA1 中,由勾股定理得到 OA1⊥OC,再根据 OA1⊥AB,得到 OA1 为三 棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积. 解答: (Ⅰ)证明:如图, 取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1, ,故△ AA1B 为等边三角形,

所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C; (Ⅱ)解:由题设知△ ABC 与△ AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 又 ,则 . ,故 OA1⊥OC.

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高.

又△ ABC 的面积

,故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

点评:题主要考查了直线与平面垂直的性质,考查了棱柱的体积,考查空间想象能力、运算 能力和推理论证能力,属于中档题.

21.椭圆

=1(a>b>0)的离心率为

,右焦点到直线 x+y+

=0 的距离为 2



(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 过点 M(0,﹣1)作直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 x 轴于 N 点,满足 求直线 l 的方程. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据圆的离心率为 可求椭圆的方程; (Ⅱ)设 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,N(x0,0) ,利用 =﹣ ,可得(x1﹣x0,y1)=
2

=﹣



,右焦点到直线 x+y+

=0 的距离为 2

,建立方程组,

﹣ (x2﹣x0, y2) , 设直线 l 的方程为 y=kx﹣1 (k≠0) , 与椭圆方程联立, 消去 x 可得 (4k +1) y +2y+1﹣8k =0,由此即可求得直线 l 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆的离心率为 ,右焦点到直线 x+y+ =0 的距离为 2 ,
2 2



∴c= ∴b=

,a=2 ,



∴椭圆的方程为



(Ⅱ)设 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,N(x0,0)



=﹣



∴(x1﹣x0,y1)=﹣ (x2﹣x0,y2) ∴y1=﹣ y2① 易知直线斜率不存在时或斜率为 0 时①不成立 于是设直线 l 的方程为 y=kx﹣1(k≠0) . 2 2 2 与椭圆方程联立,消去 x 可得(4k +1)y +2y+1﹣8k =0② ∴y1+y2=﹣ 由①③可得 y2=
2

③y1y2= ,y1=﹣

④ 代入④整理可得:8k +k ﹣9=0
4 2

∴k =1 2 此时②为 5y +2y﹣7=0,判别式大于 0 ∴直线 l 的方程为 y=±x﹣1. 点评: 本题重点考查椭圆的标准方程, 考查直线与椭圆的位置关系, 解题的关键是联立方程, 利用韦达定理进行解题. 22.设函数 f(x)=lnx+ ,m∈R. (Ⅰ)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)讨论函数 g(x)=f′(x)﹣ 零点的个数; (Ⅲ)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围.

考点:利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数的零点. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)m=e 时,f(x)=lnx+ ,利用 f′(x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极小 值; (Ⅱ)由函数 g(x)=f′(x)﹣ ,令 g(x)=0,求出 m;设 φ(x)=m,求出 φ(x)的 值域,讨论 m 的取值,对应 g(x)的零点情况; (Ⅲ)由 b>a>0, <1 恒成立,等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立;

即 h(x)=f(x)﹣x 在(0,+∞)上单调递减;h′(x)≤0,求出 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=e 时,f(x)=lnx+ ,

∴f′(x)=



∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数; ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2;

(Ⅱ)∵函数 g(x)=f′(x)﹣ = ﹣ 令 g(x)=0,得 m=﹣ x +x(x>0) ; 设 φ(x)=﹣ x +x(x≥0) ,
3 3

﹣ (x>0) ,

∴φ′(x)=﹣x +1=﹣(x﹣1) (x+1) ; 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数, 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数; ∴x=1 是 φ(x)的极值点,且是极大值点, ∴x=1 是 φ(x)的最大值点, ∴φ(x)的最大值为 φ(1)= ; 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图象,如图; 可知: ①当 m> 时,函数 g(x)无零点; ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 综上,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点;

2

(Ⅲ)对任意 b>a>0, 等价于 f(b)﹣b<f(a)﹣a 恒成立; 设 h(x)=f(x)﹣x=lnx+ ﹣x(x>0) , 则 h(b)<h(a) . ∴h(x)在(0,+∞)上单调递减; ∵h′(x)= ﹣

<1 恒成立,

﹣1≤0 在(0,+∞)上恒成立,

∴m≥﹣x +x=﹣ ∴m≥ ;

2

+ (x>0) ,

对于 m= ,h′(x)=0 仅在 x= 时成立; ∴m 的取值范围是[ ,+∞) .

点评: 本题考查了导数的综合应用问题, 解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求 函数的极值和最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题,是难题.



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