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导数强档题



导数强档题
例 1. (07 福建理)已知函数 (Ⅰ)若 k (Ⅱ)若 k

f ( x) ? ex ? kx,x ?R

? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间;

? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;

(Ⅲ)设函数

F ( x) ?

f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (e

n ?1

? 2) (n ?N? ) .

n 2

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归 以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力. 解: (Ⅰ)由 k 由

? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .

f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1 ? ?) ,由 f ?( x ) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 ,

(??, . 1)
(Ⅱ)由 于是

f ( ?x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数.

f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.



f ?( x) ? ex ? k ? 0 得 x ? ln k .
? f ?( x) ? ex ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) .此时 f ( x) 在 [0, ?) 上单调递增.

1] ①当 k ? (0, 时,


f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.
?0.

, ②当 k ? (1 ? ?) 时, ln k
当 x 变化时

f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: (0, k ) ln
ln k

x
f ?( x ) f ( x)

(ln k, ?) ?

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

? 由此可得,在 [0, ?) 上,
依题意, k

f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k .

? k ln k ? 0 ,又 k ? 1, 1 ? k ? e . ? 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .
(Ⅲ)? F ( x) ?

f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 ,
第 1 页 共 10 页

? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F (n ? 1) ? en ?1 ? 2 ?? F ( n) F (1) ? en ?1 ? 2.
由此得, [ F (1) F (2)? F (n)] 故 F (1) F (2)? F (n) ? (e 例 2. (07 海南理)设函数 (I)若当 x (II)若
n ?1

2

? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
n 2

? 2) ,n ? N? .

f ( x) ? ln( x ? a) ? x2

? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性;

f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln
f ?( x) ? 1 3 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . x?a 2

e . 2

解: (Ⅰ)

从而

f ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; ? 2 ? 2 ?
当 ?1 ?

x??

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2

从而,

1? ? 3 ? ? 1 ? ? f ( x) 分别在区间 ? ? , 1?,? , ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? 单调减少. ? ? ? , 2? ? 2 ? ? 2 ? ?
f ( x) 的定义域为 (?a, ∞) , ?
2

(Ⅱ)

f ?( x) ?

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x

? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a 2 ? 8 .
? 0 ,即 ? 2 ? a ? 2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.
? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 .

(ⅰ)若 ? (ⅱ)若 ?

若a

? 2 , x? (? 2,∞) , ?
2 2

f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 x? 2



当x

??

时,

? ? 2? ? 2 ? ? ? ? f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ???? ? ? ? 2 , ∞? 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 无极值. 2 ? ? ? ?
第 2 页 共 10 页

若a

? ? 2 , x? ( 2,∞) , ?

f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
,则

(ⅲ)若

? ? 0 ,即 a ? 2



a?? 2

2 x ? 2a x? 1 ? 0有 两 个 不 同 的 实 根
2

?a ? a 2 ? 2 x1 ? 2



x2 ?

?a ? a 2 ? 2 2



当a ? ? 当a

2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 有 f ( x) 的定义域内没有零点,故 f ( x) 无极值.

? 2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知 f ( x) 在

x ? x1,x ? x2 取得极值.
综上,

f ( x) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞) . ?

1 e f ( x) 的极值之和为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2 1 2 2 例 3. (07 湖北理)已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ? x ? 2ax , g ( x) ? 3a ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 2

y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同.
(I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证:

f ( x ) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) .

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解: (Ⅰ)设

y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 x

,由题意

f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) .

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ax0 ? 3a ln x0 ? b, 3a 2 ? 即? 由 x0 ? 2a ? 2 x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
即有 b

得: x0

. ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去)

1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2 ?
当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 时, h?(t ) ? 0 ;当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 . 故 h(t ) 在 ? 0, e 3
1 3 1

? ?

1

? ? 1 ? ? 为增函数,在 ? e 3, ∞ ? 为减函数, ? ? ? ?
第 3 页 共 10 页

于是 h(t ) 在 (0 ? ∞) 的最大值为 h ? e 3 ,

? ?

1

2 ? 3 3 ? e . ? ? 2

(Ⅱ)设 F ( x)

? f ( x) ? g ( x) ?

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

则 F ?( x)

? x ? 2a ?

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . x x

故 F ( x ) 在 (0,a) 为减函数,在 (a ? ∞) 为增函数, , 于是函数 F ( x ) 在 (0 ? ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? , 故当 x

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 .

? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) .

例 4. (07 全国一 理)设函数 (Ⅰ)证明:

f ( x) ? ex ? e? x .

f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.

解: (Ⅰ)
x

f ( x) 的导数 f ?( x) ? ex ? e? x .

由于 e

(当且仅当 x ? 0 时,等号成立) . ? e-x ≥ 2 ex ? ? x ? 2 ,故 f ?( x) ≥ 2 . e

(Ⅱ)令 g ( x) ?

f ( x) ? ax ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a ,
? 0 时, g?( x) ? ex ? e? x ? a ? 2 ? a ≥ 0 ,故 g ( x) 在 (0,∞) 上为增函数, ?

(ⅰ)若 a ≤ 2 ,当 x

所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ,即

f ( x) ≥ ax .

(ⅱ)若 a

? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln

a ? a2 ? 4 2



此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? 综上,满足条件的 a 的取值范围是

g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ≥ ax 相矛盾.

2 ? ?∞,? .
2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ? R . x2 ? 1

例 5. (07 天津理)已知函数

f ( x) ?

(Ⅰ)当 a (Ⅱ)当 a

? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

本小题考查导数的几何意义,两个函数的和、差、积、商的导数,利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识,考查运算 能力及分类讨论的思想方法. 第 4 页 共 10 页

(Ⅰ)解:当 a

? 1 时, f ( x) ?

2x 4 , f (2) ? , x ?1 5
2



f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ? 2 x 2 x 2 ? 2 x 2 · ? 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2



f ?(2) ? ?

6 . 25 4 6 ? ? ( x ? 2) ,即 6 x ? 2 y ? 32 ? 0 . 5 25

所以,曲线

y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y ?

(Ⅱ)解: 由于 a

2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ?2( x ? a)(ax ? 1) . f ?( x) ? ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2
1 a

? 0 ,以下分两种情况讨论. ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? ?
, x2

(1)当 a

? a .当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:
? 1 ? ? ? ,a ? ? a ?

x
f ?( x ) f ( x)
所以

1? ? ? ? ?∞, ? a? ?

1 a
0 极小值

a
0 极大值

(a, ∞) ?

?

?
?

?
?

?

1? ? ? 1 ? f ( x) 在区间 ? ?∞, ? , (a, ∞) 内为减函数,在区间 ? ? ,a ? 内为增函数. ? ? a? ? ? a ?
f ( x) 在 x1 ? ? f ( x ) 在 x2 ?
1 a 1 a
处取得极小值

函数

? 1? f ? ? ? ,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 , ? a?

函数

处取得极大值

f (a ) ,且 f (a) ? 1 .
1 ,当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表: a

(2)当 a

? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? a,x2 ? ?

x
f ?( x ) f ( x)
所以

? ?∞,a ?
?
?

a
0 极大值

1? ? ? ? a, ? a? ?

?

1 a

? 1 ? ? ? ,+ ∞ ? ? a ?

?
?

0 极小值

?
?

1? ? 1 ? ? f ( x) 在区间 (?∞,a) , ? ? ,+ ∞ ? 内为增函数,在区间 ? a, ? 内为减函数. ? a? ? a ? ?
f ( x) 在 x1 ? a 处取得极大值 f (a ) ,且 f (a) ? 1 . f ( x ) 在 x2 ? ?
1 处取得极小值 a

函数

函数

? 1? f ? ? ? ,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 . ? a?
第 5 页 共 10 页

例 6(07 浙江理)设

x3 f ( x) ? 3

,对任意实数 t ,记 g t ( x )

2 ?t x? t. 3

2 3

(I)求函数

y ? f ( x) ? gt ( x) 的单调区间;
? 0 时, f ( x) g f ( x) ≥ gt ( x) 对任意正实数 t 成立;

(II)求证: (ⅰ)当 x

(ⅱ)有且仅有一个正实数 x0 ,使得 g x ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立. 本题主要考查函数的基本性质,导数的应用及不等式的证明等基础知识,以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.

x3 16 ? (I)解: y ? ? 4 x ? .由 y? ? x2 ? 4 ? 0 ,得 x ? ?2 .因为当 x ? (??, 2) 时, y? ? 0 , 3 3
2) 当 x ? (?2, 时, y? ? 0 ,当 x ? (2, ?) 时, y? ? 0 , ?

? ? 2) 故所求函数的单调递增区间是 (??, 2) , (2, ?) ,单调递减区间是 (?2, .
(II)证明: (i)方法一:
2 x3 2 2 2 3 ? t x ? t ( x ? 0) ,则 h?( x) ? x ? t 3 , 令 h( x ) ? f ( x ) ? g t ( x ) ? 3 3
1

当t

? 0 时,由 h?( x) ? 0 ,得 x ? t 3 ,当 x ? ( x 3, ?) 时, h?( x) ? 0 , ?
1

1

? 所以 h( x) 在 (0, ?) 内的最小值是 h(t 3 )
故当 x

? 0.

? 0 时, f ( x) ≥ gt ( x) 对任意正实数 t 成立.

方法二:
1 2 2 ?1 3 3 对任意固定的 x ? 0 ,令 h(t ) ? gt ( x) ? t x ? t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? t ( x ? t 3 ) ,由 h?(t ) ? 0 ,得 t ? x . 3 3 2 3

当0?t 所以当 t

? x3 时, h?(t ) ? 0 .当 t ? x 3 时, h?(t ) ? 0 , ? x 3 时, h(t ) 取得最大值 h( x 3 ) ?
1 3 x . 3

因此当 x

? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) 对任意正实数 t 成立.

(ii)方法一:

f (2) ?

8 ? gt (2) .由(i)得, gt (2) ≥ gt (2) 对任意正实数 t 成立. 3

即存在正实数 x0

? 2 ,使得 g x (2) ≥ gt (2) 对任意正实数 t 成立.

下面证明 x0 的唯一性:

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当 x0

? 2 , x0 ? 0 , t ? 8 时,

x03 f ( x0 ) ? 3

, g x ( x0 )

? 4 x0 ?

16 , 3

由(i)得,

x03 x3 16 ? 4 x0 ? ,再取 t ? x03 ,得 g x 3 ( x0 ) ? 0 0 3 3 3
?



所以 g x ( x0 ) ? 4 x0

16 x03 ? ? g x 3 ( x0 ) ,即 x0 ? 2 时,不满足 g x ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意 t ? 0 都成立. 0 3 3

故有且仅有一个正实数 x0 方法二:对任意 x0

? 2 ,使得 g x ( x0 )0 ≥ gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立.
16 , 3

? 0 , g x ( x0 ) ? 4 x0 ?

因为 gt ( x0 ) 关于 t 的最大值是

1 3 x0 ,所以要使 g x ( x0 ) ≥ gt ( x 0) 对任意正实数成立的充分必要条件是: 3


4 x0 ?

16 1 3 ≥ x0 ,即 ( x0 ? 2)2 ( x0 ? 4) ≤ 0 , 3 3

又因为 x0

? 0 ,不等式①成立的充分必要条件是 x0 ? 2 ,所以有且仅有一个正实数 x0 ? 2 ,

使得 g x ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立.

例 7. ( 06 全国卷 III)已知函数

4x2 ? 7 f ? x? ? , x??0, 1? 2? x

(Ⅰ)求 (Ⅱ)设

f ? x ? 的单调区间和值域;
a ? 1 , 函 数 g ? x ? ? x2 ? 3a2 x ? 2a,x ??01? , 若 对 于 任 意 x1 ??0, , 总 存 在 x0 ? ?0, , 使 得 , 1? 1?

g ? x0 ? ? f ? x1 ? 成立,求 a 的取值范围
解:对函数
2 1 7 f ? x ? 求导,得 f ,? x ? ? ?4 x ? 16 x ? 7 ? ? ? 2 x ? 1?? 2 x2 ? 7 ? ,令 f , x ? ? 0 解得 x1 ? 或 x2 ? ? 2

?2 ? x?

?2 ? x?

2

2

当 x 变化时, x

f , x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表: ?
0

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2
0

?1 ? 1? ? , ?2 ?

1

f , x? ? f ? x?
所以,当 x ? ? 0, ? 时,

?
? 7 2
?

?
?

?4

?3

? ?

1? 2?

?1 ? f ? x ? 是减函数;当 x ? ? , 时, f ? x ? 是增函数; 1? ?2 ?
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当 x?

1? ? ? 0, 时, f ? x ? 的值域为 ??4, 3?

(Ⅱ)对函数 g 因此 a

? x ? 求导,得 g,? x ? ? 3 ? x 2 ? a 2 ?

? 1 ,当 x ? ? 0, 时, g ,? x ? ? 3 ?1 ? a 2 ? ? 0 1?

因此当 x ? 又g

1? 1? ? 0, 时, g ? x ? 为减函数,从而当 x??0, 时有 g ? x ? ? ? g ?1?,g ? 0 ?? ? ?

? ? 1? ?1? ? 1? 2a ? 3a2 , g ? 0? ? ?2a ,即当 x ??0, 时有 g ? x ? ? ?1 ? 2a ? 3a 2, 2a ? ?

任给 x1 ?

1? ? 1? ?0, , f ? x1 ? ???4, 3? ,存在 x0 ??0, 使得 g ? x0 ? ? f ? x1 ? ,
2

则 ?1 ? 2a ? 3a ?

, 2a ? ? ? ?4, 3? ,即 ? ? ? ?

?1 ? 2a ? 3a 2 ? ?4 () 1 ? ?2a ? ?3 (2)

() 解 1 式得

a ?1或 a ? ?

5 3 3 ( 式得 a ? ,又 a ? 1 ,故: a 的取值范围为 1 ? a ? ;解 2) 3 2 2 1 2
ax2+bx,a≠0.

例 7.(06 湖南卷)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=

(Ⅰ)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1,C2 于点 M、N, 证明 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 解: (I) b

? 2时, h( x) ? ln x ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 1 2 ax ? 2 x ,则 h?( x) ? ? ax ? 2 ? ? . 2 x x

因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h ?(x ) <0 有解.又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ①当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ②当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,而 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (II)证法一 设点 P、Q 的坐标分别是(x1, y1)(x2, y2) , ,0<x1<x2.则点 M、N 的横坐标为 x

?

x1 ? x 2 , 2

C1 在点 M 处的切线斜率为 k1

?

1 2 | x1 ? x2 ? , x? x x1 ? x2 2
x ?x x? 1 2 2

C2 在点 N 处的切线斜率为 k 2

? ax ? b |

?

a( x1 ? x2 ) ? b. 2

假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2.即

a( x1 ? x2 ) 2 ? ? b ,则 x1 ? x2 2

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2( x2 ? x1 ) a 2 a 2 a ? ( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? bx2 ) ? ( x12 ? bx1 ) x1 ? x2 2 2 2
x2 ? 1) x2 x1 ? . 所以 ln x2 x1 1? x1 2(
令 r (t )

=

y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 .

设t

?

x2 2(t ? 1) , t ? 1. ① , 则 ln t ? 1? t x1

? ln t ?

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1) 2 , t ? 1. 则 r ?(t ) ? ? ? . 1? t t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2
故 r (t )

因为 t 则 ln t

? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递增.
? 2(t ? 1) . 1? t
这与①矛盾,假设不成立.

? r (1) ? 0.

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得 ( x2

? x1 )(ln x2 ? ln x1 ) ? 2( x2 ? x1 ).
x2 x x ? 1) ln 2 ? 2( 2 ? 1). x1 x1 x1


因为 x1

? 0 ,所以 (

令t

?

x2 x1

,得 (t

? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1.

1 ? (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1), t ? 1, 则r ?(t ) ? ln t ? ? 1. t 1 1 1 t ?1 1 因为 (ln t ? ) ? ? ? 2 ? 2 ,所以 t ? 1 时, (ln t ? ) ? ? 0. t t t t t 1 1 故 ln t ? 在[1,+ ?) 上单调递增.从而 ln t ? ? 1 ? 0 ,即 r ?(t ) ? 0. 于是 r (t ) 在[1,+ ?) 上单调递增. t t
令 r (t ) 故 r (t )

? r (1) ? 0. 即 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1).这与②矛盾,假设不成立.

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 例 8 . 06 辽 宁 卷 ) 函 数 (

y ? f (x) 在 区 间 ( 0 , + ∞ ) 内 可 导 , 导 函 数 f ?(x)

是减函数,且

f ?( x) ? 0.



x0 ? (0,??), y ? kx ? m 是曲线 y ? f (x) 在点( x0 , f ( x0 ) )得的切线方程,并设函数 g ( x) ? kx ? m.
(Ⅰ)用 x0 、

f ( x0 ) 、 f ?( x0 ) 表示 m;
? (0,??)时, g ( x) ? f ( x) ;
2 2

(Ⅱ)证明:当 x0

3 (Ⅲ)若关于 x 的不等式 x ? 1 ? ax ? b ? x 3 在[0,??) 上恒成立,其中 a、b 为实数, 2
满足的关系. 解: (Ⅰ) m ?

求 b 的取值范围及 a 与 b 所

f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 ). …………………………………………2 分
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? g ( x) ? f ( x),则h?( x) ? f ?( x0 ) ? f ?( x), h?( x0 ) ? 0. 因为 f ?(x) 递减,所以 h ?(x ) 递增,因此,当 x ? x0时, h?( x) ? 0 ; 当 x ? x0时, h?( x) ? 0 .所以 x0 是 h(x) 唯一的极值点,且是极小值点,可知 h(x) 的 最小值为 0,因此 h( x) ? 0, 即 g ( x) ? f ( x). …………………………6 分 (Ⅲ)解法一: 0 ? b ? 1 , a ? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立. 1 x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 a ? 2(1 ? b) 2 .
(Ⅱ)证明:令 h( x) 另一方面,由于 f ( x) ?

3 3 满足前述题设中关于函数 y ? f (x) 的条件,利用(II)的结果可知, 3 x ax ? b ? x 3 的 2 2
2

2

2

? 充要条件是:过点(0, b )与曲线 y ? 3 x 3 相切的直线的斜率大于 a ,该切线的方程为 y ? (2b) 2 x ? b. 2

1

于是 ax ? b ? 3 x 3 的充要条件是 a

2

1

? (2b) 2 . …………………………10 分
2

2

1 1 ? 3 3 2 综上,不等式 x ? 1 ? ax ? b ? x 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 (2b) ? a ? 2(1 ? b) 2 . 2

2



显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 (2b) 有解、解不等式②得

?

1 2

1

? 2(1 ? b) 2 . ②


2? 2 2? 2 ?b? . 4 4

因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分 (Ⅲ)解法二: 0 ? b ? 1, a

? 0 是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.
1

x 2 ? 1 ? ax ? b,即x 2 ? ax ? (1 ? b) ? 0 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 a ? 2(1 ? b) 2 .
2 3 3 令 ? ( x) ? ax ? b ? x 3 ,于是 ax ? b ? x 3 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 2 2

2

? ( x) ? 0.
当0 ?

由 ? ?( x)

?a?x

?

1 3

? 0得x ? a ?3 .

x ? a ?3 时 ? ?( x) ? 0; 当 x ? a ?3 时,? ?( x) ? 0 ,所以,当 x ? a ?3 时,? (x) 取最小值.因此 ? ( x) ? 0 成立的
?3

充要条件是 ? (a

) ? 0 ,即 a ? (2b) 2 . ………………10 分
2

?

1

? 综上,不等式 x 2 ? 1 ? ax ? b ? 3 x 3 对任意 x ? [0,??) 成立的充要条件是 (2b) 2

1

1

2

? a ? 2(1 ? b) 2 .



显然,存在 a、b 使①式成立的充要条件是:不等式 (2b) 有解、解不等式②得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 .

?

1 2

1

? 2(1 ? b) 2



4

4

因此,③式即为 b 的取值范围,①式即为实数在 a 与 b 所满足的关系.…………12 分

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