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第23届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准



第 23 届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答及评分标准
一、参考解答: 1. 线剪断前,整个系统处于平衡状态。此时弹簧 S1 的弹力
F1 ? ( m A ? m B ? m C ) g

(1)

弹簧 S2 的弹力
F2 ? m C g

(2)

在线刚被剪断的时刻

,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故 F1、F2 的大小尚未变 化,但线的拉力消失。设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为 aA、aB、aC ,则有
F1 ? m A g ? m A a A F2 ? m B g ? m B a B F2 ? m C g ? m C a C

(3) (4) (5)

解以上有关各式得
aA ? mB ? mC mA mB ? mC mB g

方向竖直向上

(6)

aB ?

g

方向竖直向下

(7)

aC ? 0

(8)

2. 开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦 力平衡。 (ⅰ)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段。起初,板向下加 速移动,板与磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向 向下、速度向下的运动。在这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小。 向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小。当板的加速度大到某一数值 时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起。接着,磁铁和 板一起作加速度方向向上、速度向下的运动,直到停在 A ?B ? 处。在这过程中,磁铁对板 的正压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹力和可 能存在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的状态不再改变。 (ⅱ)从板突然竖直向上平移到停下,板和磁铁的运动也经历两个阶段。起初,板和磁铁 一起作加速度方向向上、 速度向上的运动, 在这过程中, 正压力增大, 最大静摩擦力亦增大, 作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动。接着,磁铁 和板一起作加速度方向向下、速度向上的运动,直到停在 A ??B ?? 处。在这过程中,磁铁对板 的正压力减小,最大静摩擦力亦减小,向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦 力也愈小。当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平 板相向运动并吸在一起。

评分标准: (本题 20 分) 1. 10 分。 、 、 、 、 、 、 、 (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)式各 1 分,aA、aB 的方向各 1 分。 2. 10 分。 (ⅰ)5 分, (ⅱ)5 分(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这 5 分,否则不给分) 。 二、参考答案 1. (ⅰ) (ⅱ)

图1
1 3

图2

(ⅲ)

2. f1,f4 。 评分标准: (本题 20 分) 1. 12 分。 (ⅰ)4 分, (ⅱ)4 分, (ⅲ)4 分。 2. 8 分。两个空格都填对,才给这 8 分,否则 0 分。 三、参考解答: 1.

(ⅰ)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的 P 点只可能位于两点电荷之间。设 P 点的坐标为 x0,则有
k q1
2 x0

? k

q2 (l ? x0 )
2

(1)

已知
q 2 ? 2 q1

(2)

由(1)(2)两式解得 、
x 0 ? ( 2 ? 1) l

(3)

(ⅱ)先考察点电荷 q0 被限制在沿 x 轴运动的情况。q1、q2 两点电荷在 P 点处产生 的场强的大小分别为
E1 0 ? k q1
2 x0

E 20 ? k

q2 (l ? x0 )
2

且有 E10=E20 二者方向相反。点电荷 q0 在 P 点受到的合力为零,故 P 点是 q0 的平衡位置。在 x 轴 上 P 点右侧 x ? x 0 ? ? x 处,q1、q2 产生的场强的大小分别为
E 1? ? k q1 ( x0 ? ? x )
2

? E1 0

方向沿 x 轴正方向

? E2 ? k

q2 (l ? x0 ? ? x )
2

? E 20

方向沿 x 轴负方向

? 由于 E 2 ? E 1? , x ? x 0 ? ? x 处合场强沿 x 轴的负方向,即指向 P 点。在 x 轴上 P 点左

侧 x ? x 0 ? ? x 处 q1、q2 的场强的大小分别为
E 1?? ? k q1 ( x0 ? ? x )
2

? E1 0

方向沿 x 轴正方向

?? E2 ? k

q2 (l ? x0 ? ? x )
2

? E 20

方向沿 x 轴负方向

?? 由于 E 2 ? E 1?? , x ? x 0 ? ? x 处合场强的方向沿 x 轴的正方向,即指向 P 点。

由以上的讨论可知,在 x 轴上,在 P 点的两侧,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场 强的方向都指向 P 点, 带正电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指向 P 点, 所以当 q0 >0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都背离 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。 再考虑 q0 被限制在沿垂直于 x 轴的方向运动的情况。 沿垂直于 x 轴的方向, P 点 在 两侧附近,点电荷 q1 和 q2 产生的电场的合场强沿垂直 x 轴分量的方向都背离 P 点,因 而带正电的点电荷在 P 点附近受到沿垂直 x 轴的的分量的电场力都背离 P 点,所以,当 q0>0 时,P 点是 q0 的不稳定平衡位置。带负电的点电荷在 P 点附近受到的电场力都指 向 P 点,所以当 q0<0 时,P 点是 q0 的稳定平衡位置。 2.

评分标准: (本题 20 分) 1. 12 分 (ⅰ)2 分 (ⅱ)当 q0 被限制在沿 x 轴方向运动时,正确论证 q0>0,P 点是 q0 的稳定平衡位置, 占 3 分;正确论证 q0<0,P 点是 q0 的不稳定平衡位置,占 3 分(未列公式,定性分析正 确的同样给分) 。 当 q0 被限制在垂直于 x 轴的方向运动时,正确论证 q0>0 ,P 点是 q0 的不稳定平 衡位置,占 2 分;正确论证 q0<0 ,P 点是 q0 的稳定平衡位置,占 2 分。 2. 8 分。 纵坐标标的数值或图线有错的都给 0 分。 纵坐标标的数值、 图线与参考解答不同, 正确的同样给分。 四、参考解答 开始时竖直细管内空气柱长度为 L,压强为 H(以 cmHg 为单位) ,注入少量水银后, 气柱将因水银柱压力而缩短。当管中水银柱长度为 x 时,管内空气压强 p=(H+x) ,根 据波意耳定律,此时空气柱长度
L? ? HL H ? x L H ? x

(1)

空气柱上表面与管口的距离
d ? L ? L? ? x

(2)

开始时 x 很小,由于 L>H,故
d H ? x ?1

即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至 d=x(即水银柱上表面与管口相平)时 为止。何时水银柱表明与管口相平,可分下面两种情况讨论。 1. 水银柱表明与管口相平时,水银柱未进入水平管 此时水银柱的长度 x ? l ,由波意耳定律有
( H ? x )( L ? x ) ? H L

(3)

由(3)式可得

x? L?H

(4)

由此可知,当 l ? L ? H 时,注入的水银柱的长度 x 的最大值
x m ax ? L ? H

(5)

2. 水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管 此时注入水银柱的长度 x>l ,由波意耳定律有
( H ? l )( L ? x ) ? H L
x ? Ll

(6) (7) (8)

H ?l Ll l ? x ? H ?l

由(8)式得
l ? L ? H ,或 L ? H ? l

(9) (10)

x? L?H

L H ?l

? L?H

即当 l ? L ? H 时,注入水银柱的最大长度 x ? x m ax 。 由上讨论表明,当 l ? L ? H 时,可注入的水银量最大,这时水银柱的长度为 x m ax , 即(5)式。 评分标准: (本题 20 分) 正确论证 l ? L ? H 时可注入的水银量最大,占 13 分。求出最大水银量占 7 分。若 论证的方法与参考解答不同,只要正确,同样给分。 五、参考解答: 正、负电子绕它们连线的中点作半径为
r 2

的圆周运动,电子的电荷量为 e ,正、负

电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力,即
k e r
2 2

? m

v

2

(1)

(r / 2)

正电子、负电子的动能分别为 E K ? 和 E K ? ,有
EK? ? EK? ? 1 2 mv
2

(2)

正、负电子间相互作用的势能
EP ? ?k e
2

(3)

r

电子偶素的总能量
E ? EK ? ? EK ? ? EP

(4)

由(1)(2)(3)(4)各式得 、 、 、

E ? ?

1 2

k

e

2

(5)

r

根据量子化条件
m rv ? n h 2?

n=1,2,3,……

(6)

(6)式表明,r 与量子数 n 有关。有(1)和(6)式得与量子数 n 对应的定态 r 为
rn ? n h
2 2 2 2

2 ? ke m

n=1,2,3,……

(7)

代入(5)式得与量子数 n 对应的定态的 E 值为
En ? ?

? k e m
2 2 4

n h

2

2

n=1,2,3,……

(8)

n=1 时,电子偶素的能量最小,对应于基态。基态的能量为
E1 ? ?

? k e m
2 2 4

h

2

(9)

n=2 是第一激发态,与基态的能量差
?E ? 3? k e m
2 2 4

4

h

2

(10)

评分标准: (本题 20 分) (2)式 2 分, (5)式 4 分, (7)式、 (8)式各 5 分, (10)式 4 分。 六、参考解答: P 被释放后,细绳的张力对 D 产生机械力矩,带动 D 和 A1 作逆时针的加速转动, 通过两个轮子之间无相对运动的接触,A1 带动 A2 作顺时针的加速转动。由于两个轮子的 辐条切割磁场线,所以在 A1 产生由周边沿辐条指向轴的电动势,在 A2 产生由轴沿辐条 指向周边的电动势,经电阻 R 构成闭合电路。A1 、A2 中各辐条上流有沿电动势方向的电 流, 在磁场中辐条受到安培力。 不难看出, 安培力产生的电磁力矩是阻力矩, A1 、 2 加 使 A 速转动的势头减缓。A1 、A2 从起始的静止状态逐渐加速转动,电流随之逐渐增大,电磁 阻力矩亦逐渐增大,直至电磁阻力矩与机械力矩相等,D、A1 和 A2 停止作加速转动,均 作匀角速转动,此时 P 匀速下落,设其速度为 v,则 A1 的角速度
?1 ?
v a0

(1)

A1 带动 A2 转动,A2 的角速度 ? 2 与 A1 的角速度 ? 1 之间的关系为
? 1 a1 ? ? 2 a 2

(2)

A1 中每根辐条产生的感应电动势均为
E1 ? 1 2 B a1 ? 1
2

(3)

轴与轮边之间的电动势就是 A1 中四条辐条电动势的并联,其数值见(3)式。 同理,A2 中,轴与轮边之间的电动势就是 A2 中四条辐条电动势的并联,其数值为
E2 ? 1 2 B a2? 2
2

(4)

A1 中,每根辐条的电阻为 R1,轴与轮边之间的电阻是 A1 中四条辐条电阻的并联,其数 值为
R A1 ? R1 4

(5)

A2 中,每根辐条的电阻为 R2,轴与轮边之间的电阻是 A2 中四条辐条电阻的并联,其数 值为
RA2 ? R2 4
E1 ? E1 R ? R A1 ? R A1

(6)

A1 轮、A2 轮和电阻 R 构成串联回路,其中的电流为
I ?

(7)

以(1)至(6)式代入(7)式,得
? 1 ? ? ? B a1 ( a1 ? a1 ) v ? 2 a0 ? I ? ?R ? ?R ? R?? 1??? 2 ? ? 4 ? ? 4 ?

(8)

当 P 匀速下降时,对整个系统来说,重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和,即
R R ? 2 ? m gv ? I ? R ? 1 ? 2 ? 4 4 ? ?

(9)

以(8)式代入(9)式得
v ? m g ( 4 R ? R1 ? R 2 ) a 0 B a1 ( a1 ? a1 )
2 2 2 2

(10)

评分标准: (本题 25 分) (1)(2)式各 2 分, 、 、 (3)(4)式各 3 分, 、 、 (5)(6)(7)式各 2 分, (9)式 6 分, (10)式 3 分。 七、参考答案: 1. 如图 1 所示,设筒内磁场的方向垂直纸面指向纸外,带电粒子 P 带正 电,其速率为 v 。P 从小孔射入圆筒中,因受到磁场的作用力而偏离入射方 向,若与筒壁只发生一次碰撞,是不可能从小孔射出圆筒的。但与筒壁碰撞 两次,它就有可能从小孔射出。造此情形中,P 在筒内的路径由三段等长、 等半径的圆弧 HM、MN、和 NH 组成。现考察其中一段圆弧 MN,如图 2 所示。由于 P 沿筒的半径方向入射,OM 和 ON 均与轨道相切,两者的夹 角
? ?
2 3

?

(1)

图1

设圆弧的圆半径为 r ,则有
q vB ? m v
2

(2)

r

圆弧对轨道圆心 O ? 所张的圆心角 ? ? ?
3

(3)

由几何关系得
r ? R co t

?
2

(4)

解(2)(3)(4)式得 、 、
v ? 3q B R m

(5)

2. P 由小孔射入到第一次与筒壁碰撞所通过的路径为
s ? ?r

(6)

图2

经历时间为
t1 ? s v

(7)

P 从射入小孔到射出小孔经历的时间为
t ? 3 t1

(8)

由以上有关各式得
t ?

?m
qB

(9)

评分标准: (本题 25 分) 1. 17 分。 、 、 、 (1)(2)(3)(4)式各 3 分, (5)式 5 分。 2. 8 分。 、 、 、 (6)(7)(8)(9)式各 2 分。 八、参考解答: 小球获得沿竖直向下的初速度 v0 后,由于细绳处于松弛状态,故从 C 点开始,小球 沿竖直方向作初速度为 v0、加速度为 g 的匀加速直线运动。当小球运动到图 1 中的 M 点 时, 绳刚被拉直, 匀加速直线运动终止, 此时绳与竖直方向的夹角为 ?=30? 。 在这过程中, 小球下落的距离
s ? l ? 2 l cos ? ? l (1 ? 3)

(1)

细绳刚拉直时小球的速度 v1 满足下式:
v1 ? v 0 ? 2 gs
2 2

(2)

在细绳拉紧的瞬间,由于绳的伸长量可以不计,而且绳是非弹性的, 故小球沿细绳方向的分速度 v1 cos ? 变为零, 而与绳垂直的分速度

图1

保持不变,以后小球将从 M 点开始以初速度
? v1 ? v1 sin ? ? 1 2 v1

(3)

在竖直平面内作圆周运动,圆周的半径为 2l,圆心位于 A 点,如图 1 所示。由(1)(2) 、 、 (3)式得
v ?1 ?
2

1 4

v0 ?
2

1 2

g l (1 ?

3)

(4)

当小球沿圆周运动到图中的 N 点时,其速度为 v,细绳与水平方向的夹角为 ? ,由能量 关系有
1 2 m v ?1 ?
2

1 2

m v ? m g ( 3 l ? 2 l sin ? )
2

(5)

用 FT 表示绳对小球的拉力,有
FT ? m g sin ? ? m
2 1. v 0 ? 2(6 2 ? 3 3 ? 1) g l

v

2

(6)

2l

设在 ? ? ? 1 时(见图 2) ,绳开始松弛,FT=0,小球的速度 v ? u1 。以此代入(5) 、 (6)两式得
v ? 1 ? u 1 ? 2 g ( 3 l ? 2 l sin ? 1 )
2 2

(7)

g sin ? 1 ?

u1

2

(8)

2l

由(4)(7)(8)式和题设 v0 的数值可求得 、 、
?1 ? 45?
u1 ? 2 gl

(9) (10)

即在 ?1=45? 时,绳开始松弛。以 N1 表示此时小球在 圆周上的位置,此后,小球将脱离圆轨道从 N1 处以大 小为 u1,方向与水平方向成 45? 角的初速度作斜抛运 动。 以 N1 点为坐标原点,建立直角坐标系 N1xy,x 轴 水平向右,y 轴竖直向上。若以小球从 N1 处抛出的时 刻作为计时起点,小球在时刻 t 的坐标分别为
x ? u 1 co s 4 5 ? t ? 2 2 u 1t

图2

(11)
y ? u 1 sin 4 5 ? t ? 1 2 gt ?
2

2 2

u 1t ?

1 2

gt

2

(12)

由(11)(12)式,注意到(10)式,可得小球的轨道方程: 、
y ? x?g x
2 2

? x?

x

2

(13)
2l

u1

AD 面的横坐标为
x ? 2 l co s 4 5 ? ? 2l

(14)

由(13)(14)式可得小球通过 AD 所在竖直平面的纵坐标 、 y=0 (15) 由此可见小球将在 D 点上方越过,然后打到 DC 边上,DC 边的纵坐标为
y ? ? (2 l sin 4 5 ? ? l ) ? ? ( 2 ? 1) l

(16)

把(16)式代入(13)式,解得小球与 DC 边撞击点的横坐标 x=1.75 l 撞击点与 D 点的距离为
? l ? x ? 2 l cos 45 ? ? 0.35 l
2 2. v 0 ? 2(3 3 ? 1 1) g l

(17) (18)

设在 ? ? ? 2 时,绳松弛, T=0,小球的速度 v ? u 2 ,以此代替 F (5) 、 (6)式中的 ?1、 u1,得
v ?1 ? u 2 ? 2 g ( 3 l ? 2 l sin ? 2 )
2 2

(19)

m g sin ? 2 ? m

u2

2

(20)

2l

2 以 v 0 ? 2(3 3 ? 1 1) g l 代入(4)式,与(19)(20)式联立,可解得 、

? 2 ? 90 ?
u2 ? 2 gl

(21) (22)

(22)式表示小球到达圆周的最高点处时,绳中张力为 0,随后绳子被拉紧,球速增大,绳中 的拉力不断增加, 拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力, 小球将 绕以 D 点为圆心,l 为半径的圆周打到梁上的 C 点。 评分标准: (本题 25 分) (3)式 2 分, 、 (5)(6)式各 1 分, 、 (9)(10)式各 3 分,得出小球不可能打在 AD 边 上,给 3 分,得出小球能打在 DC 边上,給 2 分,正确求出小球打在 DC 边上的位置,給 2 分。求出(21)(22)式各占 3 分,得出小球能打在 C 点,再給 2 分。 、 如果学生直接从抛物线方程和 y ? ? (2 l sin 4 5 ? ? l ) ? ? ( 2 ? 1) l 求出 x=1.75 l,同 样给分。不必证明不能撞击在 AD 边上。 九、参考解答:

1. 这是一个大尺度运动,导弹发射后,在地球引力作用下,将沿椭圆轨道运动,如果 导弹能打到 N 点,则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的 平面(此平面是 C 点所在的子午面)内,因此导弹的发射速度(初速度 v )必须也在此 平面内, 地心 O 是椭圆的一个焦点。 根据对称性, 注意到椭圆上的 C、 两点到焦点 O 的 N 距离相等,故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的的直线,即图上的直线 AB,椭圆的 另一焦点必在 AB 上。 已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动 时,物体和地球构成的系统的能量 E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴 a 的关 系为
E ? ? GMm 2a

(1)

要求发射的能量最少,即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知,椭圆的两焦点 到椭圆上任一点的距离之和为 2a, C 点到一 现 个焦点 O 的距离是定值,等于地球的半径是 R,只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最 小,该椭圆的半长轴就最小。显然,当另一焦点 位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时, 到该焦点 C 的距离必最小。由几何关系可知
2a ? R ? 2 2 R

(2)

设发射时导弹的速度为 v,则有
E ? 1 2 mv ? G
2

Mm R

(3)

解(1)(2)(3)式得 、 、
v ? 2G M R ( 2 ? 1)

(4)


G Mm R
2

? mg

(5)

比较(4)(5)两式得 、
v ? 2 R g ( 2 ? 1)

(6)

代入有关数据得 v=7.2 km/s (7) 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切,根据解析几何知识,从椭圆上一点的切线的垂直线, 平分两焦点到该点连线的夹角 ∠OCP,从图中可看出,速度方向与 OC 的夹角
? ? 90? ?
1 2 ? 4 5 ? ? 6 7 .5 ?

(8)

2. 由于地球绕通过 ON 的轴自转,在赤道上 C 点相对地心的速度为 2? R
vC ? T

(9)

式中 R 是地球的半径,T 为地球自转的周期,T=24×3600 s=86400 s,故

v C ? 0 .4 6 k m /s

(10)

C 点速度的方向垂直于子午面(图中纸面) 。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面 垂直的速度 vC,为使导弹相对于地心速度位于子午面内,且满足(7)(8)两式的要求, 、 导弹相当于地面( C 点)的发射速度应有一大小等于 vC,方向与 vC 相反的分速度,以使 导弹在此方向相当于地心的速度为零,导弹的速度的大小为
v? ? v ? vC
2 2

(11)

代入有关数据得 v?=7.4 km/s (12) 它在赤道面内的分速度与 vC 相反,它在子午面内的分速度满足(7)(8)两式。 、 3. 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律, 故对 于近地点和远地点有下列关系式
1 2 m v1 ?
2

GMm r1

?

1 2

m v2 ?
2

GMm r2

(13)

1 2

r1 v1 ?

1 2

r2 v 2

(14)

式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度,r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。 将(14)式中的 v1 代入(13)式,经整理得
1 2
2 m v2 2 ? r2 ? GMm ( r2 ? r1 ) ? 2 ? 1? ? ?r ? r1 r2 1 ? ?

(15)

注意到 r1+r2=2a 得
1 2 m v2 ?
2

(16)

G M m r1 2a r2

(17)


E ? 1 2 m v2 ?
2

GMm r2

(18)

有(16)(17)(18)式得 、 、
E ? ? GMm 2a

(19)

评分标准: (本题 25 分) 1. 14 分。 (2)式 6 分, (3)式 2 分, 、 (6)(7)式共 4 分, (8)式 2 分。 2. 6 分。 (11)式 4 分, (12)式 2 分。 3. 5 分。 (13)(14)式各 1 分, 、 (19)式 3 分。



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