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历年数列高考题汇编



历年高考真题汇编---数列(含)
1、(2011 年新课标卷文)
1 3 1 ? an (I) S n 为 {an } 的前 n 项和,证明: Sn ? 2

已知等比数列 {an } 中, a1 ? ,公比 q ? .

1 3

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.
解: (Ⅰ)因为 a n ?

1 1 n ?1 ?( ) 3 3

1 1 1 (1 ? n ) 1 ? n 1 3 ? 3 , ? n . Sn ? 3 1 2 3 1? 3

所以 S n ?

1 ? an , 2

(Ⅱ) bn ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? log 3 a n ? ?(1 ? 2 ? ....... ? n) ? ? 所以 {bn } 的通项公式为 bn ? ?

n(n ? 1) . 2

n(n ? 1) 2

2、(2011 全国新课标卷理) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前项和.
2 3 2 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4 所以 q 2 ?

?1? ? bn ?

1 。有条件可 9

1 知 a>0,故 q ? 。 3 1 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。故数列{an}的通项式为 an= n 。 3 3

(Ⅱ ) bn ? log1 a1 ? log1 a1 ? ... ? log1 a1
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1
1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

1 2n 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? bn n ?1

3、 (2010 新课标卷理) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3?22 n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 S n
解(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时, an ?1 ? [(an ?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 )] ? a1

? 3(22 n?1 ? 22 n?3 ? ? ? 2) ? 2 ? 22( n?1)?1 。
而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22 n ?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22 n ?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22 n ?1
从而 ①-②得 即

① ② 。

22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ? ? n ? 22 n?1

(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? n ? 22 n?1

1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

4、 (20I0 年全国新课标卷文) 设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 S n 及使得 S n 最大的序号 n 的值。
解: (1)由 am = a1 +(n-1)d 及 a1=5,a10=-9 得

{

a1 ? 2 d ?5 a1 ? 9 d ??9

2

解得

{d ??2
n(n ? 1) d=10n-n2。 2
……..6 分

a1 ?9

数列{an}的通项公式为 an=11-2n。 (2)由(1) 知 Sn=na1+

因为 Sn=-(n-5)2+25. 所以 n=5 时,Sn 取得最大值。

5、 (2011 年全国卷) 设数列 ?an ? 的前 N 项和为 S n ,已知 a2 ? 6, 6a1 ? a2 ? 30, 求 an 和 S n 6、 2011 辽宁卷) ( 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列 ? ?
an ? 的前 n ?1 ? ?2 ?

n 项和.
? a1 ? d ? 0, ? 2a1 ? 12d ? ?10,

解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

解得 ?

? a1 ? 1, ? d ? ?1.
………………5 分

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. (II)设数列 {

an a a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? ? ? nn 1 , 故S1 ? 1 , 2 2n ?1 2?

Sn a1 a2 a ? ? ??? n . 2 2 4 2n
所以,当 n ? 1时,

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n ? 1 ? ( ? ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2

3

=

n n . 所以 Sn ? n?1 . n 2 2
an n }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 2

综上,数列 {

7、 (2010 年陕西省) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn.
解 (Ⅰ)由题设知公 差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
2 3
am

1 ? 2d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

2(1 ? 2n ) n+1 Sn=2+2 +2 +… +2 = =2 -2 1? 2
n

8、 (2009 年全国卷) 设等差数列{ an }的前 n 项和为 sn ,公比是正数的等比数列{ b n }的前 n 项 和为 Tn ,已知 a1 ? 1, b1 ? 3, a3 ? b3 ? 17, T3 ? S3 ? 12, 求{a n },{bn } 的通项公式。
解: 设 ? an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q 由 a3 ? b3 ? 17 得 1 ? 2d ? 3q ? 17
2

① ②

由 T3 ? S3 ? 12 得 q ? q ? d ? 4
2

由①②及 q ? 0 解得 故所求的通项公式为

q ? 2, d ? 2

an ? 2n ? 1, bn ? 3 ? 2n?1

9、 (2011 福建卷) 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式;
4

(II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 10、 (2011 重庆卷) 设 是公比为正数的等比数列, , .

(Ⅰ)求 (Ⅱ)设 前 项和 .

的通项公式;www.ylhxjx.com 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 的

11、 (2011 浙江卷) 已知公差不为 0 的等差数列 {a n } 的首项为 a(a ? R) ,且 等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N * ,试比较
1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n 与 的大小. a2 a2 a2 a1 a2

1 1 1 , , 成 a1 a2 a4

解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意可知 ( 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,从而 a1 d ? d
2 2

1 2 1 1 ) ? ? a2 a1 a4
因为 d ? 0, 所以d ? a1 ? a.

故通项公式 an ? na. (Ⅱ)解:记 Tn ?

1 1 1 ? ??? ,因为a2n ? 2n a a2 a22 a2n

1 1 (1 ? ( ) n ) 1 1 1 1 1 1 1 2 所以 Tn ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? ? 2 ? [1 ? ( )n ] 1 a 2 2 a a 2 2 1? 2
从而,当 a ? 0 时, Tn ?

1 1 ;当 a ? 0时, Tn ? . a1 a1

12、 (2011 湖北卷) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、
5

13 后成为等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式;
5 (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 ? S n ? ? 是等比数列。 ? ? ? 4?

13、 (2010 年山东卷) 已知等差数列 ?a n ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?a n ? 的前 n 项和为 S n (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?
2 an

1 ( n ? N* ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 ?1

解: (Ⅰ)设等差数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,
6

由于 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以 a1 ? 2d ? 7 , 2a1 ? 10 d ? 26 , 解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? 所以 an ? 2n ? 1 , S n ? n(n ? 2) (Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1 ,所以 an ? 1 ? 4n(n ? 1)
2

n(a1 ? an ) , 2

因此 bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1
所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

?

n 1 1 (1 ? )? 4 n ? 1 4(n ? 1)

n 4(n ? 1)

14、 (2010 陕西卷) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项;
解 (Ⅰ)由题设知公 差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
2 3
am

(Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn.
1 ? 2d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

2(1 ? 2n ) n+1 Sm=2+2 +2 +… +2 = =2 -2.、 1? 2
n

15、 (2010 重庆卷) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, S n 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 S n ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通 项公式及其前 n 项和 Tn .

7

16、 (2010 北京卷) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项 和公式
解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 an ? ?10 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 所以 ?8q ? ?24 即 q =3 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

17、 (2010 浙江卷) 设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 S2S6+15=0. (Ⅰ)若 S5=S.求 Sn 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围.
8

解:(Ⅰ)由题意知 S0=

-15 -3,a=S-S=-8 S5

所以 ?

? Sa1 ? 10d ? 5, 解得 a1=7 所以 S=-3,a1=7 ? a 1 ?5d ? ?8.

(Ⅱ)因为 SS+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8. 所以 d2≥8.[故 d 的取值范围为 d≤-2 2

18、 (2010 四川卷) 已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
n ?1 * (Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )q (q ? 0, n ? N ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n

Ⅱ)由(Ⅰ)得解答可得,

bn ? n?q n ?1

,于是 .

Sn ? 1?q 0 ? 2?q1 ? 3?q 2 ? ? ? n?q n ?1

1 2 n ?1 n q ? 1 ,将上式两边同乘以 q 有 qSn ? 1?q ? 2?q ? ? ? ? n ? 1??q ? n?q . 若

两式相减得到

? q ? 1? Sn ? n?q n ? 1 ? q1 ? q 2 ? ? ? q n?1
nq n ?1 ? ? n ? 1? q n ? 1 qn ?1 ? ? nq ? q ?1 q ?1 .
n

Sn ?
于是

nq n ?1 ? ? n ? 1? q n ? 1

? q ? 1?

2



若 q ? 1 ,则

Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n ? n ? 1? 2


9

? n ? n ? 1? , ? q ? 1? , ? ? 2 Sn ? ? n ?1 nq ? ? n ? 1? q n ? 1 ? , ? q ? 1? . 2 ? ? q ? 1? ? 所以, …………………… ……………(12 分)

19、 (2010 上海卷) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N * 证明: ?an ? 1? 是等比数列;
解:由 Sn ? n ? 5an ? 85, n ? N
*

(1)

可得: a1 ? S1 ? 1 ? 5a1 ? 85 ,即 a1 ? ?14 。 同时

Sn?1 ? (n ? 1) ? 5an ?1 ? 85

(2)

从而由 (2) ? (1) 可得: an ?1 ? 1 ? 5(an ?1 ? an )

5 5 (an ? 1), n ? N * ,从而 {an ? 1} 为等比数列,首项 a1 ? 1 ? ?15 ,公比为 , 6 6 5 n?1 5 n?1 通项公式为 an ? 1 ? ?15*( ) ,从而 an ? ?15*( ) ? 1 6 6
即: an ?1 ? 1 ?

20、 (2009 辽宁卷) 等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S3 , S 2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 sn
解: (Ⅰ)依题意有 a1 ? (a1 ? a1 q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q )
2

由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而

q ?-

1 2

1 2 a1 ? a1 ? ) ? 3 ( 2 (Ⅱ)由已知可得

10

故 a1 ? 4

1 n ( ? ? )) 41( 8 1 n 2 Sn ? ? ( ? ? )) 1( 1 3 2 1? ? ) ( 2 从而

11



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