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天津市滨海新区汉沽五中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析



天津市滨海新区汉沽五中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分 1. (4 分)已知两条直线 y=ax﹣2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于() A.2 B. 1 C. 0 D.﹣1 2. (4 分)如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为() A.8:2

7 B.2:3 C.4:9 D.2:9 3. (4 分)若方程 x +y ﹣x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是() A.m< B.m> C.m<0 D.m≤
2 2

4. (4 分)下列有关命题的说法正确的有() 2 2 ①命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 ②“x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件; 2 ③“x ﹣1>0”是“x<﹣1”的充分而不必要条件; 2 2 ④命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 5. (4 分)一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 ,则 h=()

A.
2 2

B.
2 2

C.

D.

6. (4 分)圆 x +y =1 和圆 x +y ﹣6y+5=0 的位置关系是() A.外切 B.内切 C.外离
2 2

D.内含

7. (4 分)直线 x﹣y+3=0 被圆(x+2) +(y﹣2) =2 截得的弦长等于() A. B. C. 2 D.

8. (4 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值等于() A. B. C. D.

9. (4 分)两平行直线 l1:3x+4y﹣2=0 与 l2:6x+8y﹣5=0 之间的距离为() A.3 B.0.1 C.0.5 D.7 10. (4 分)已知 m,n 是不重合的两条直,α,β 是不重合的两个平面.则以下结论正确的是 () A.若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β B. 若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α C. 若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m∥α,m?β,则 α∥β 11. (4 分)三棱锥 D﹣ABC 中,AC=BD,且 AC⊥BD,E,F 分别分别是棱 DC,AB 的中点, 则 EF 和 AC 所成的角等于()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

12. (4 分)如图,三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直,M 是侧棱 BB′ 的中点,则二面角 M﹣AC﹣B 的大小为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

二、填空题:本大题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分) 13. (4 分)过点(﹣6,4) ,且与直线 x+2y+3=0 平行的直线方程是. 14. (4 分)已知圆 x ﹣4x﹣4+y =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x﹣y﹣1=0 的距离是. 15. (4 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为 m .
3 2 2

16. (4 分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 为.

,则正方体的棱长

17. (4 分)如图是一个正方体纸盒的展开图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 其中,正确命题的序号是.

18. (4 分)已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且圆与直线 3x+4y+4=0 相切,则圆 的标准方程是 .

三、解答题(共 4 小题,满分 48 分) 19. (12 分) (1)已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(﹣1,5) 、B(﹣2,﹣1) 、C(4,3) , M 是 BC 边上的中点. ①求 AB 边所在的直线方程并化为一般式; ②求中线 AM 的长.

(2)已知圆 C 的圆心是直线 2x+y+1=0 和 x+3y﹣4=0 的交点,且与直线 3x+4y+17=0 相切, 求圆 C 的方程. 20. (12 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S﹣ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD= . (1)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积; (2)求证:面 SAB⊥面 SBC; (3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

21. (12 分)已知 圆 C: (x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长. 22. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, BA=BD= AD=2,BD= .E、F 分别是棱 AD,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAB; (2)求二面角 P﹣AD﹣B 的大小; (3)证明 BE⊥平面 PBC. , PA=PD= ,

2

2

天津市滨海新区汉沽五中 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分 1. (4 分)已知两条直线 y=ax﹣2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等于() A.2 B. 1 C. 0 D.﹣1 考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 分析: 两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 垂直?am+bn=0 解之即可. 解答: 解:由 y=ax﹣2,y=(a+2)x+1 得 ax﹣y﹣2=0, (a+2)x﹣y+1=0 因为直线 y=ax﹣2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直, 所以 a(a+2)+1=0,解得 a=﹣1. 故选 D. 点评: 本题考查两直线垂直的条件. 2. (4 分)如果两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面积之比为() A. 8:27 B.2:3 C. 4:9 D. 2:9 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 据体积比等于相似比的立方,求出两个球的半径的比,表面积之比等于相似比的平 方,即可求出结论. 解答: 解:两个球的体积之比为 8:27,根据体积比等于相似比的立方,表面积之比等于相 似比的平方, 可知两球的半径比为 2:3, 从而这两个球的表面积之比为 4:9. 故选 C. 点评: 本题是基础题,考查相似比的知识,考查计算能力,常考题. 3. (4 分)若方程 x +y ﹣x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是() A.m< B.m> C.m<0 D.m≤
2 2

考点: 二元二次方程表示圆的条件. 专题: 计算题. 分析: 方程 x +y ﹣x+y+m=0 即 有 ﹣m>0,由此求得实数 m 的取值范围.
2 2

= ﹣m,此方程表示圆时,应

解答: 解: 方程 x +y ﹣x+y+m=0 即 应有 ﹣m>0, 解得 m< ,

2

2

= ﹣m, 此方程表示圆时,

故选 A. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,二元二次方程表示圆的条件,属于基础题. 4. (4 分)下列有关命题的说法正确的有() 2 2 ①命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 ②“x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件; 2 ③“x ﹣1>0”是“x<﹣1”的充分而不必要条件; 2 2 ④命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 2 分析: ①,写出命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题再判断其真假即可; ②,利用充分必要条 件的概念从“充分性”与“必要性”两个方面判断即可; ③,从“充分性”与“必要性”两个方面判断③即可; 2 ④,写出命题“若 x =1,则 x=1”的否命题,再判断其真假即可. 2 2 解答: 解: 对于①: 命题“若 x ﹣3x+2=0, 则 x=1”的逆否命题为: “若 x≠1, 则 x ﹣3x+2≠0”, 故①正确; 对于②:x=1?x ﹣3x+2=0,充分性成立,反之,x ﹣3x+2=0?x=1 或 x=2,必要性不成立, 2 所以“x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件,故②正确; 2 2 对于③:x ﹣1>0?x<﹣1 或 x>1,充分性不成立,反之,x<﹣1?x ﹣1>0,必要性成立, 2 所以“x ﹣1>0”是“x<﹣1”的必要不充分条件,故③错误; 2 2 对于④:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,故④错误. 综上所述,命题的说法正确的有:①②,共 2 个. 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,主要考查四种命题之间的关系及真假判断,考查 充分必要条件的概念及应用,属于中档题. 5. (4 分)一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 ,则 h=()
2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 可. 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题. 三视图复原的几何体是四棱锥,结合三视图的数据利用几何体的体积,求出高 h 即 解:三视图复原的几何体是底面为边长 5,6 的矩形,一条侧棱垂直底面高为 h, ,所以 h= .

所以四棱锥的体积为:

故选 B. 点评: 本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,考查几何体的体积的计算,考查计算 能力. 6. (4 分)圆 x +y =1 和圆 x +y ﹣6y+5=0 的位置关系是() A.外切 B.内切 C.外离
2 2 2 2

D.内含

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 根据题意先求出两圆的圆心和半径,根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出 两圆相外切. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y ﹣6y+5=0 的标准方程为:x +(y﹣3) =4, 所以其表示以(0,3)为圆心,以 2 为半径的圆, 所以两圆的圆心距为 3,正好等于两圆的半径之和, 所以两圆相外切, 故选 A. 点评: 本题考查两圆的位置关系,由两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出两圆相外切. 7. (4 分)直线 x﹣y+3=0 被圆(x+2) +(y﹣2) =2 截得的弦长等于() A. B. C. 2 D.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距 OD, 然后根据垂径定理得 到垂足为弦长的中点 D,根据勾股定理求出弦长的一半 BD,乘以 2 即可求出弦长 AB. 解答: 解:连接 OB,过 O 作 OD⊥AB,根据垂径定理得:D 为 AB 的中点, 2 2 根据(x+2) +(y﹣2) =2 得到圆心坐标为(﹣2,2) ,半径为 . 圆心 O 到直线 AB 的距离 OD= = ,而半径 OB= ,

则在直角三角形 OBD 中根据勾股定理得 BD= 故选 D.

=

,所以 AB=2BD=

点评: 考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题,以及理解直线和圆相交所截 取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形.灵活运用垂径定理解决数学问题. 8. (4 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值等于() A. B. C. D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 根据直线和平面所成角的定义即可得到结论. 解答: 解:连结 AC, 则 AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影, 则∠A1CA 即为直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值, 设正方体的棱长为 1, 则 AC= ,A1C= = , ,

则 sin∠ A1CA= 故选:D

点评: 本题主要考查直线和平面所成角的求解,根据条件求出线面角是解决本题的关键. 9. (4 分)两平行直线 l1:3x+4y﹣2=0 与 l2:6x+8y﹣5=0 之间的距离为()

A.3 考点: 专题: 分析: 解答:

B.0.1

C.0.5

D.7

两条平行直线间的距离. 直线与圆. 首先使两条平行直线 x 与 y 的系数相等,再根据平行线的距离公式求出距离即可. 解:由题意可得:两条平行直线为 6x+8y﹣4=0 与 6x+8y﹣5=0, = .

由平行线的距离公式可知 d=

故选:B. 点评: 本题考查平行线的距离的求法,注意平行线的字母的系数必须相同是解题的关键, 基本知识的考查. 10. (4 分)已知 m,n 是不重合的两条直, α,β 是不重合的两个平面.则以下结论正确的是 () A.若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β B. 若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α C. 若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m∥α,m?β,则 α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:∵m,n 是不重合的两条直线,α,β 是不重合的两个平面, ∴若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β 或 m?β,故 A 错误; 若 m∥α,m⊥n,则 n 与 α 相交、平行或 n?α,故 B 错误; 若 m⊥α,m⊥β,则由平面与平面平行的判定定理,得 α∥β,故 C 正确; 若 m∥α,m?β,则 α 与 β 平行或相交,故 D 错误. 故选 :C. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 11. (4 分)三棱锥 D﹣ABC 中,AC=BD,且 AC⊥BD,E,F 分别分别是棱 DC,AB 的中点, 则 EF 和 AC 所成的角等于()

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 取 AD 的中点 G,连接 GE,GF,将 AC 平移到 EG,则∠GEF 为异面 EF 与 AC 所成 的角,再在 Rt△ EFG 中,求出此角即可. 解答: 解:取 AD 的中点 G,连接 GE,GF,

则 GE∥AC,故∠GEF 就是 EF 和 AC 所成的角, 又 GF∥BD,且 AC⊥BD,AC=BD, ∴△GEF 是直角三角形, 且 GE=GF 在直角三角形△ GEF 中, ∴∠GEF=45°. 故选 B.

点评: 本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力, 属于基础题. 12. (4 分)如图,三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直,M 是侧棱 BB′ 的中点,则二面角 M﹣AC﹣B 的大小为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计 算题. 分析: 由已知中三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等, 侧棱与底面垂直, 易得三棱柱 ABC ﹣A′B′C′为直三棱柱,△ ABC,MAC 均是以 AC 为底的等腰三角形,取 AC 的中点 D,连接 BD,MD,由二面角的平面角的定义,可得∠MDB 即为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角,解 Rt△ MBD,即可求出二面角 M﹣AC﹣B 的大小. 解答: 解:由已知中三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直, 可得三棱柱 ABC﹣A′B′C′为直三棱柱 取 AC 的中点 D,连接 BD,MD, 则 MD⊥AC,BD⊥AC ∴∠MDB 即为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角, 在 Rt△ MBD 中, ∵M 是侧棱 BB′的中点 ∴tan∠MDB= =

故∠MDB=30° 即二面角 M﹣AC﹣B 的大小为 30° 故选 A

点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,其中由二面角的平面角的定义,证得 ∠MDB 即为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角,是解答本题的关键. 二、填空题:本大题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分) 13. (4 分)过点(﹣6,4) ,且与直线 x+2y+3=0 平行的直线方程是 x+2y﹣2=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设与直线 x+2y+3=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0,把(﹣6,4)代入,能求出结果. 解答: 解:设与直线 x+2y+3=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0, 把(﹣6,4)代入,得: ﹣6+8+c=0,解得 c=﹣2, ∴过点(﹣6,4) ,且与直线 x+2y+3=0 平行的 直线方程是 x+2y﹣2=0. 故答案为:x+2y﹣2=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要注意直线与直线平行的性质的合理 运用.
2 2

14. (4 分)已知圆 x ﹣4x﹣4+y =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x﹣y﹣1=0 的距离是



考点: 专题: 分析: 解答:

点到直线的距离公式. 计算题. 先求圆的圆心坐标,利用点到直线的距离公式,求解即可. 解:由已知得圆心为:P(2,0) , ;

由点到直线距离公式得: 故答案为:

点评: 本题考查点到直线的距离公式,考查学生计算能力,是基础题.
3

15. (4 分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

m.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱 的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体, 其中圆柱的高为 4,底面直径为 2,圆锥的高为 2,底面直径为 4, ∴几何体的体积 V=π×1 ×4+ ×π×2 ×2=4π+ π= 故答案为: .
2 2

π.

点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是解题的关键.

16. (4 分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 为 .

,则正方体的棱长

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: 设出正方体棱长,利用正方体的体对角线就是外接球的直径,通过球的体积求出正 方体的棱长. 解答: 解:因为正方体的体对角线就是外接球的直径, 设正方体的棱长为 a,所以正方体的体对角线长为: 球的体积为: 解得 a= . , a,正方体的外接球的半径为: ,

故答案为: . 点评: 本题考查正方体与外接球的关系,注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的 关键,考查空间想象能力与计算能力. 17. (4 分)如图是一个正方体纸盒的展开图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角; ④DM 与 BN 垂直. 其中,正确命题的序号是③④.

考点: 异面直线及其所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 先利用正方体纸盒的展开图,画出它的直观图,特别注意特殊点的位置,再在正方 体中证明线线位置关系以及求异面直线所成的角即可 解答: 解:如图为正方体纸盒的直观图: 由图可知:BM 与 ED 异面且垂直,①错误; CN 与 BE 平行,②错误; 异面直线 CN 与 BM 所成的角即∠EBM, 由于△ EBM 为等边三角形, 故∠EBM=60°, ③正确; 因为 DM⊥NC,DM⊥BC,NC∩BC=C,所以 DM⊥平面 NCB,所以 DM⊥BN,④正确 故答案为③④

点评: 本题考查了空间几何体的展开图与直观图间的关系,空间的线线位置关系及其证明, 异面直线所成的角及其求法,将平面图准确的转化为直观图是解决本题的关键 18. (4 分)已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且圆与直线 3x+4y+4=0 相切,则圆 的标准方程是 2 2 (x﹣2) +y =4. 考点: 圆的标准方程.

专题: 压轴题. 分析: 设出圆心坐标为(a,0)且 a>0,因为圆与直线 3x+4y+4=0 相切得到圆心到直线的 距离等于半径 2 求出 a,即可得到圆的标准方程. 解答: 解:设圆心坐标为(a,0)且 a>0, 因为圆与直线 3x+4y+4=0 相切得到圆心到直线的距离等于半径 2 即 =2,求得 a=2 或

a=﹣

(舍去) ,所以 a=2
2 2

圆心坐标为(2,0) ,半径为 2 的圆的标准方程为: (x﹣2) +y =4 2 2 故答案为(x﹣2) +y =4. 点评: 考查学生理解圆与直线相切时得到圆心到直线的距离等于半径,会用点到直线的距 离公式求点到直线的距离,会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 三、解答题(共 4 小题,满分 48 分) 19. (12 分) (1)已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(﹣1,5) 、B(﹣2,﹣1) 、C(4,3) , M 是 BC 边上的中点. ①求 AB 边所在的直线方程并化为一般式; ②求中线 AM 的长. (2)已知圆 C 的圆心是直线 2x+y+1=0 和 x+3y﹣4=0 的交点,且与直线 3x+4y+17=0 相切, 求圆 C 的方程. 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)①由两点式写 AB 直线的方程,并化为一般式. ②由中点公式求得故 M 的坐标,可得线段 AM 的长度. (2)解方程组 求得圆心坐标,又半径等于圆心到切线的距离,利用点到直线的

距离公式求得半径,可得圆 C 的方程. 解答: 解: (1)①由两点式写 AB 直线的方程 ②设 M 的坐标为(x0,y0) ,则由中点坐标公式得 1) , ∴ . ,即 6x﹣y+11=0. ,故 M(1,

(2)由

求得圆心坐标为



又半径等于圆心到切线的距离,故有



所以圆 C 的方程为



点评: 本题主要考查用两点式求直线的方程,直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式 的应用,属于基础题. 20. (12 分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S﹣ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD= . (1)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积; (2)求证:面 SAB⊥面 SBC; (3)求 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

考点: 直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题. 分析: (1)由题设条四棱锥 S﹣ABCD 的体积:V= = ,

由此能求出结果. (2)由 SA⊥面 ABCD,知 SA⊥BC,由 AB⊥BC,BC⊥面 SAB,由此能够证明面 SAB⊥面 SBC. (3)连接 AC,知∠SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角.由此能求出 SC 与底面 ABCD 所 成角的正切值. 解答: (1)解:∵底面是直角梯形的四棱锥 S﹣ABCD 中,∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= . ∴四棱锥 S﹣ABCD 的体积: V= = = = .

(2)证明:∵SA⊥面 ABCD,BC?面 ABCD, ∴SA⊥BC, ∵AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥面 SAB ∵BC?面 SBC

∴面 SAB⊥面 SBC. (3)解:连接 AC, ∵SA⊥面 ABCD, ∴∠SCA 就是 SC 与底面 ABCD 所成的角. 在三角形 SCA 中, ∵SA=1,AC= ∴ , .…10 分

点评: 本题考查棱锥的体积的求法,面面垂直的证明和直线与平面所成角的正切值的求 法.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化. 21. (12 分)已知圆 C: (x﹣1) +y =9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长. 考点: 直线和圆的方程的应用;直线的一般式方程. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)求出圆的圆心,代入直线方程,求出直线的斜率,即可求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求出直线的斜率,即可写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求出直线的斜率,然后求出直线的方程,利用点到直线的距 离,半径,半弦长的关系求弦 AB 的长. 解答: 解: (1)已知圆 C: (x﹣1) +y =9 的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直 线 l 的斜率为 2,直线 l 的方程为 y=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣2=0. (2)当弦 AB 被点 P 平分时,l⊥PC,直线 l 的方程为 y﹣2= (x﹣2) ,即 x+2y﹣6=0.
2 2 2 2

(3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y﹣2=x﹣2,即 x﹣y=0. 圆心到直线 l 的距离为 ,圆的半径为 3,弦 AB 的长为 .

点评: 本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,计算直线的斜率,点到直线的距离;直 线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键. 22. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, BA=BD= AD=2,BD= .E、F 分别是棱 AD,PC 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAB; (2)求二面角 P﹣AD﹣B 的大小; (3)证明 BE⊥平面 PBC. , PA=PD= ,

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)取 PB 中点 M,连接 MF,AM,运用中位线定理,证得四边形 AMFE 为平行四 边形,再由线面平行的判定定理,即可得证; (2)连接 PE,BE.运用等腰三角形的三线合一,即可得到∠PEB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平 面角,再由解直角三角形,即可得到二面角的平面角; (3)运用线面垂直的判定定理,结合(2) ,即可证得 BE⊥平面 PBC. 解答: (1)证明:如图,取 PB 中点 M,连接 MF,AM. 因为 F 为 PC 中点,故 MF∥BC 且 .

由已知有 BC∥AD,BC=AD. 又由于 E 为 AD 中点,因而 MF∥AE,且 MF=AE, 故四边形 AMFE 为平行四边形,所以 EF∥AM. 又 AM?平面 PAB,而 EF?平 PAB. 所以 EF∥平面 PAB; (2)解:连接 PE,BE. 因为 PA=PD,BA=BD,而 E 为 AD 中点,故 PE⊥AD,BE⊥AD. 所以∠PEB 为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角. 在△ PAD 中,由 ,AD=2,可解得 PE=2. 在△ ABD 中,由 ,AD=2,可解得 BE=1. 在△ PEB 中,PE=2,BE=1, 从而∠PBE=90° ∠PEB=60°.即有二面角 P﹣AD﹣B 的大小为 60°; (3)证明:由(2)得∠PBE=90°即 BE⊥PB. 又 BC∥AD,BE⊥AD,从而 BE⊥BC, 因此 BE⊥平面 PBC.

点评: 本题考查线面平行、垂直的判定和性质定理的运用,考查空间二面角的求法,考查 运算和推理的能力,属于中档题.



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