9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

八年级第14讲 多边形的边角与对角线



第十四讲

多边形的边角与对角线

边、角、对角线是多边形中最基本的概念,求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形 相关的基本问题,常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识. 多边形的内角和定理反映出一定的规律性:(n-2)×180°随 n 的变化而变化;而多边形的外角和定理 反映出更本质的规律;360°是一个常数,把内角问题转化为外角问题,以静制动是解多边形有关问题的常 用技巧. 将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略,连对角线或向外补形、对内分割 是转化的常用方法,从凸 n 边形的一个顶点引出的对角线把凸 n 边形分成 (n ? 2) 个多角形,凸 n 边形一共可 引出
n(n ? 3) 对角线. 2

例题求解 【例 1】在一个多边形中,除了两个内角外,其余内角之和为 2002°,则这个多边形的边数是 . (江苏省竞赛题) 思路点拨 设除去的角为°,y°,多边形的边数为 n ,可建立关于 x、y 的不定方程; 又 0°<x<180°, 0°<y<180°,又可得到关于 n 的不等式.故有两种解题途径,注意 n 为自然数的隐含条件. 链接 世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程,点是几何学最原始的概念,点生线、线生面、 面生体,几何元素的聚合不断产生新的图形,另一方面,不断地分割已有的图形可得到新的几何图形,发 现新的几何性质,多边形可分成三角形,三角形可以合成其他 一些几何图形. 【例 2】 在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) A.0 B.1 C.3 D.5 (全国初中数学竞赛题) 思路点拨 多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的,而外角和却总是不变的,因此,可把 内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨. 【例 3】 如图,已知在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于 D,且 AD=BC=4,若将此三角形沿 AD 剪开成 为两个三角形,在平面上把这两个三角形拼成一个四边形,你能拼出所有的不同形状的四边形吗?画出所拼 四边形的示意图(标出图中直角),并分别写出所拼四边形的对角线的长. (乌鲁木齐市中考题)

思路点拨 把动手操作与合情想象相结合,解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同 情形. 注 教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题,简单地说,“数学建模”就是通过数学 化(引元、画图等)把实际问题特化为一个数学问题,再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题. 本例通过设元,把“没有重叠、没有空隙”转译成等式,通过不定方程求解. 【例 4】 在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图 案.也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在 几何里叫做平面镶嵌),这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在 一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成了一个平面图形. (1)请根据下列图形,填写表中空格: (2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形? (3)从正三角形、正四边形,正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的

正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的 理由. (陕西省中考题)

思路点拨 本例主要研究两个问题:①如果限用一种正多边形镶嵌,可选哪些正多边形;②选用两种正多 边形镶嵌,既具有开放性,又具有探索性.假定正 n 边形满足铺砌要求,那么在它的顶点接合的地方,n 个内角的和为 360°,这样,将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解. 【例 5】 如图,五边形 ABCDE 的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移 4 个单位,得到新的五边形 A'B'C'D'E'. (1)图中 5 块阴影部分即四边形 AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I 能拼成一个五边形吗?说明 理由. (2)证明五边形 A'B'C'D'E'的周长比五边形 ABCD 正的周长至少增加 25 个单位. (江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)5 块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件:,A'GB'; B'PC'; C'ND';D'LE';E'IA' 三 点 分 别 共 线 ; ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4+ ∠ 5=360 ° ; (2) 增 加 的 周 长 等 于 A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I,用圆的周长逼近估算.

学力训练 1.如图,用硬纸片剪一个长为 16cm、宽为 12cm 的长方形,再沿对角线把它分成两个三角形,用这两个 三角形可拼出各种三角形和四边形来,其中周长最大的是 ㎝,周长最小的是 cm. (选 6《荚国中小学数学课程标准》) 2.如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .

3.如图,ABCD 是凸四边形,AB=2,BC=4,CD=7,则线段 AD 的取值范围是 4.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案: (1)第 4 个图案中有白色地面砖 块; (2)第 n 个图案中有白色地面砖 块. (江西省中考题)



5.凸 n 边形中有且仅有两个内角为钝角,则 n 的最大值是( ) A.4 B.5 C. 6 D .7 ( “希望杯”邀请赛试题) 6.一个凸多边形的每一内角都等于 140°,那么,从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( ) A.9 条 B.8 条 C.7 条 D. 6 条 7.有一个边长为 4m 的正六边形客厅,用边长为 50cm 的正三角形瓷砖铺满,则需要这种瓷砖( ) A.216 块 B.288 块 C.384 块 D.512 块 ( “希望杯”邀请赛试题) 8.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,△ACD 是一个含有 30°角的直角三角形,现将△ABC 和△ACD 拼成一个凸四边形 ABCD. (1))画出四边形 ABCD; (2)求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长. (上海市闵行区中考题) 9.如图,四边形 ABCD 中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD 的度数. (北京市竞赛题) 10.如图,在五边形 A1A2A3A4A5 中,Bl 是 A1 的对边 A3A4 的中点,连结 A1B1,我们称 A1B1 是这个五边形 的一条中对线,如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分,求证:五边形的每条边都 有一条对角线和它平行. (安徽省中考题)

11.如图,凸四边形有 (重庆市竞赛题)

个;∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=



12.如图,延长凸五边形 A1A2A3A4A5 的各边相交得到 5 个角,∠B1,∠B2,∠B3,∠B4,∠B5,它们的和 等于 ;若延长凸 n 边形(n≥5)的各边相交,则得到的 n 个角的和等于 . ( “希望杯”邀请赛试题) 13.设有一个边长为 1 的正三角形,记作 A1(图 a),将每条边三等分,在中间的线段上向外作正三角形,去 掉中间的线段后所得到的图形记作 A 2(图 b), 再将每条边三等分, 并重复上述过程, 所得到的图形记作 A3(图 c);再将每条边三等分,并重复上述过程,所得到的图形记作 A4,那么,A4 的周长是 ;A4 这个多边 形的面积是原三角形面积的 倍. (全国初中数学联赛题)

14 . 如 图 , 六 边 形 ABCDEF 中 , ∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D= ∠ E= ∠ F , 且 AB+BC=11 , FA — CD=3 , 则 BC+DC= . (北京市竞赛题)

15.在一个 n 边形中,除了一个内角外,其余(n 一 1)个内角的和为 2750°,则这个内角的度数为( A.130° D.140° C .105° D.120° 16.如图,四边形 ABCD 中,∠BAD=90°,AB=BC=2 3 ,AC=6,AD=3,则 CD 的长为( A.4 B.4 2 C.3 2 D. 3
3 (江苏省竞赛题)

)

)

注 按题中的方法'不断地做下去,就会成为下图那样的图形,它的边界有一个美丽的名称——雪花曲线 或科克曲线(瑞典数学家),这类图形称为“分形”,大量的物理、生物与数学现象都导致分形,分形是新兴 学科“混沌”的重要分支. 17.如图,设∠CGE=α ,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( ) A.360°一α B.270°一α C.180°+α D.2α (山东省竞赛题) 18.平面上有 A、B,C、D 四点,其中任何三点都不在一直线上,求证:在△ABC、△ABD、△ACD、△ BDC 中至少有一个三角形的内角不超过 45°. 19.一块地能被 n 块相同的正方形地砖所覆盖,如果用较小的相同正方形地砖,那么需 n+76 块这样的地砖 才能覆盖该块地,已知 n 及地砖的边长都是整数,求 n. (上海市竞赛题) 20.如图,凸八边形 ABCDEFGH 的 8 个内角都相等,边 AB、BC、CD、DE、EF、FG 的长分别为 7,4, 2,5,6,2,求该八边形的周长. 21.如图 l 是一张可折叠的钢丝床的示意图,这是展开后支撑起来放在地面上的情况,如果折叠起来,床头 部分被折到了床面之下(这里的 A、B、C、D 各点都是活动的),活动床头是根据三角形的稳定性和四边形 的不稳定性设计而成的,其折叠过程可由图 2 的变换反映出来. 如果已知四边形 ABCD 中,AB=6,CD=15,那么 BC、AD 取多长时,才能实现上述的折叠变化? (淄博市中考题)

22.一个凸 n 边形由若干个边长为 1 的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成,求此凸 n 边形各个内角

的大小,并画出这样的凸 n 边形的草图.



更多相关文章:
八年级数学竞赛讲座多边形的边角与对角线附答案
八年级数学竞赛讲座多边形的边角与对角线附答案_学科竞赛_初中教育_教育专区。初中数学竞赛 第十四讲 多边形的边角与对角线 边、角、对角线是多边形中最基本的概念...
第9讲 多边形的边角和对角线
第9讲 多边形的边角和对角线_初二数学_数学_初中教育_教育专区。第9讲 多边形的边角和对角线 知识要点 1 多边形的有关概念 (1)多边形:在平面内,由一些首尾...
八年级数学竞赛例题专题讲解14:多边形的边与
八年级数学竞赛例题专题讲解14:多边形的边与角_学科竞赛_初中教育_教育专区。...对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外 角和定理,其中...
第十四讲 多边形的边角与对角线(含答案)-
www.shulihua.net 第十四讲 多边形的边角与对角线 边、角、对角线是多边形中最基本的概念,求多边形的边数、内外角度数、对角线条数 是解与多边形相关的基本问题...
多边形的边角与对角线(含答案)-
多边形的边角与对角线(含答案)-_初二数学_数学_初中教育_教育专区。多边形的边...(2)求出四边形 ABCD 的对角线 BD 的长. 14.如图,四边形 ABCD 中,AB=BC...
专题 多边形的角与对角线
15.(江苏省第十九届初中数学竞赛初二年级第 1 试) 一个多边形的对角线的条数...第14讲 多边形的边角与对... 7页 免费 多边形对角线公式 4页 免费 多边形及...
八年级数学培优第三讲__多边形及其内角和
八年级数学培优第三讲__多边形及其内角和_数学_初中...从十边形的一个顶点出发,画对角线,则它将十边形...14.已知一个多边形的内角和与外角和之比为 9∶2,...
第17讲 梯形
第15讲 平行四边形 7页 免费 第14讲 多边形的边角与对角... 7页 免费 第...新课标八年级数学竞赛讲座 第十七讲 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的...
第5讲 多边形
第5讲 多边形_初二数学_数学_初中教育_教育专区。...多边形的边与对角线的数量之间的关系: 1)过 n ...14.已知一个十边形中九个内角的和的度数是 12900,...
第9讲 三角形的边与
第14讲 多边形的边角与对角... 7页 免费 第10讲 全等三角形 6页 免费 第...新课标八年级数学竞赛讲座 第九讲 三角形的边与角三角形是最基本的图形之一,...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图