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湖北省襄阳市枣阳高中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析



2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳高中高一(上)期中数学试卷

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1},则 A∩B=( A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} D.{﹣1,0,1} )


2.若将有理数集 Q 分成两个非空的子集 M 与 N,且满足 M∪N=Q,M∩N=?,M 中的每一个元素 都小于 N 中的每一个元素,则称(M,N)为有理数集的一个分割.试判断,对于有理数集的 任一分割(M,N) ,下列选项中,不可能成立的是( A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素 )

3.已知 I 为实数集,M={x 丨 log2x<1},N={x 丨 y= A.{x|0<x<1} B.{x|0<x<2} C.{x|x<1} D.?

},则 M∩(?IN)=(

)

4.函数 y= 合是( )

的定义域为 M,N={x|log2(x﹣1)<1},则如图所示阴影部分所表示的集

A.{x|﹣2≤x<1}

B.{x|﹣2≤x≤2}

C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}

5.设集合 A={x|x=2k+1,k∈Z},a=5,则有( A.a∈A B.﹣a?A C.{a}∈A D.{a}? A

)

6.已知函数 f(x)=|x+a|﹣|x﹣a|(a≠0) , (x)的奇偶性依次为( A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数 )

,则 f(x) ,h

B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

7.幂函数的图象过点(2,8) ,则它的单调递增区间是( A. (0,+∞) B.

)

8.函数

的定义域为(

) C. B. ,则函数的值域为( )

A.{x|x>﹣2,且 x≠1} A. B. C. D.

B.x≥﹣2,且 x≠1

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若 是偶函数,则 a=__________.

14.方程 lgx=lg12﹣lg(x+4)的解集为__________.

15.函数 y=sin x﹣2sinx 的值域是 y∈__________.

2

16.已知函数 y=lg( ﹣1)的定义域为 A,若对任意 x∈A 都有不等式 恒成立,则正实数 m 的取值范围是__________.

﹣m2x﹣2mx>﹣2

三、解答题: (本大题共 7 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知集合 A={x||x﹣2|<a,a>0},集合 B= .

(Ⅰ)若 a=1,求 A∩B; (Ⅱ)若 A?B,求实数 a 的取值范围.

18.已知函数 f(x)= (1)求 f(1)+f(2)+f(3)+f( )+f( )的值; (2)求 f(x)的值域.

19.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) ,方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2 < . (1)当 x∈(0,x1)时,证明 x<f (x)<x1; (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明 x0< .

20.设集合 A={x|x ﹣x+m=0},B={x|x +px+q=0},且 A∩B={1},A∪B=A. (1)求实数 m 的值; (2)求实数 p,q 的值.

2

2

21.计算: (1) (2)

; .

22. (1) ( (2) lg

) ﹣ lg

﹣( +lg

)0.5+(0.2)﹣2× .

﹣(0.081)0

23.已知函数 f(x)=﹣(x+2) (x﹣m) (其中 m>﹣2) ,g(x)=2x﹣2﹒ (Ⅰ)若命题“log2g(x)≤1”是真命题,求 x 的取值范围; (Ⅱ)设命题 p:? x∈(1,+∞) ,f(x)<0 或 g(x)<0,若?p 是假命题,求 m 的取值范 围﹒

2015-2016 学年湖北省襄阳市枣阳高中高一(上)期中数学试卷

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1},则 A∩B=( A.{0} B.{﹣1,0} C.{0,1} 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】找出 A 与 B 的公共元素,即可确定出两集合的交集. 【解答】解:∵A={﹣1,0,1},B={x|﹣1≤x<1}, ∴A∩B={﹣1,0}. 故选 B 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. D.{﹣1,0,1} )

2.若将有理数集 Q 分成两个非空的子集 M 与 N,且满足 M∪N=Q,M∩N=?,M 中的每一个元素 都小于 N 中的每一个元素,则称(M,N)为有理数集的一个分割.试判断,对于有理数集的 任一分割(M,N) ,下列选项中,不可能成立的是( A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素 C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】新定义. 【分析】M,N 为一个分割,则一个为开区间,一个为半开半闭区间.从而 M,N 中,一个有 最值,一个没有最值. 【解答】解:∵M,N 为一个分割, ∴M,N 中,一个为开区间,一个为半开半闭区间. 从而 M,N 中,一个有最值,一个没有最值. )

故 M 有一个最大元素,N 有一个最小元素不可能成立. 故选 C. 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,注意新定义的 合理运用.

3.已知 I 为实数集,M={x 丨 log2x<1},N={x 丨 y= A.{x|0<x<1} B.{x|0<x<2} C.{x|x<1} D.?

},则 M∩(?IN)=(

)

【考点】对数函数的单调性与特殊点;交、并、补集的混合运算. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先根据解绝对值不等式及函数的定义域化简集合 M 和 N,然后求集合 N 的补集,再根 据两个集合的交集的意义求解. 【解答】解:∵M={x|log2x<1}={x|0<x<2}, N={x|y= }={x|x≥1}

∴CIN={x|x<1} M∩(CIN)={x|0<x<1} 故选 A. 【点评】本题属于以不等式为依托,考查了对数不等式,根式函数的定义域,以及交集的运 算,属基础题.

4.函数 y= 合是( )

的定义域为 M,N={x|log2(x﹣1)<1},则如图所示阴影部分所表示的集

A.{x|﹣2≤x<1}

B.{x|﹣2≤x≤2}

C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}

【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】计算题.

【分析】如图所示阴影部分所表示的集合为:CUM∩N,由函数 y=

的定义域为 M,知

M={x|x2﹣4>0}={x|x>2,或 x<﹣2},再由 N={x|log2(x﹣1)<1}={x|1<x<3},能求出 如图所示阴影部分所表示的集合. 【解答】解:∵函数 y= 的定义域为 M,

∴M={x|x2﹣4>0}={x|x>2,或 x<﹣2}, N={x|log2(x﹣1)<1}={x| ∴如图所示阴影部分所表示的集合为: CUM∩N={x|﹣2≤x≤2}∩{x|1<x<3}={x|x|1<x≤2}. 故选 C. }={x|1<x<3},

【点评】本题考查集合的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意 Venn 图的灵活运用.

5.设集合 A={x|x=2k+1,k∈Z},a=5,则有( A.a∈A B.﹣a?A C.{a}∈A D.{a}? A

)

【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,分析可得集合 A 为奇数的集合,分析选项可得 A 中有 a∈A,A 正确,B 中 应有﹣a∈A,则 B 错误,C 中集合之间的符号有误,D 中子集关系有误,即可得答案. 【解答】解:根据题意,分析可得集合 A 为奇数的集合,据此分析选项: 对于 A,a=5 是奇数,则 a∈A,则 A 正确; 对于 B,﹣a=﹣5 是奇数,则﹣a∈A,则 B 错误; 对于 C,集合之间的符号为? 、? ,则 C 错误; 对于 D,{a}={5},是集合 A 的子集,有{a}? A,则 D 错误; 故选 A.

【点评】本题考查集合之间的关系,关键是分析集合 A 中的元素特征.

6.已知函数 f(x)=|x+a|﹣|x﹣a|(a≠0) , (x)的奇偶性依次为( A.偶函数,奇函数 C.偶函数,偶函数 )

,则 f(x) ,h

B.奇函数,偶函数 D.奇函数,奇函数

【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性的定义,根据绝对值的性质,判断 f(﹣x)与 f(x)的关系,可以 判断 f(x)的奇偶性,分类讨论 h(﹣x)与 h(x)的关系,可以判断 h(x)的奇偶性 【解答】解:∵f(x)=|x+a|﹣|x﹣a|(a≠0) , ∴f(﹣x)=|﹣x+a|﹣|﹣x﹣a|=|x﹣a|﹣|x+a|=﹣f(x) ∴f(x)为奇函数; ∵ 当 x>0 时,﹣x<0, h(﹣x)=(﹣x) +(﹣x)=x ﹣x=﹣h(x) , 当 x<0 时,﹣x>0, h(﹣x)=﹣(﹣x) +(﹣x)=﹣x ﹣x=﹣h(x) 当 x=0 时,h(0)=0,也满足 h(﹣x)=﹣h(x) 故 h(x)为奇函数; 故选 D 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,其中熟练掌握函数奇偶性的定义是解答的 关键.
2 2 2 2



7.幂函数的图象过点(2,8) ,则它的单调递增区间是( A. (0,+∞) 故选 B. B.

)

【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,根据函数的解析式求函数的值,属于 基础题.

11.函数 A. B. 0≤(2x﹣1)≤1, 解得 <x≤1, 故选 C.

的定义域是(

)

【点评】本题主要考查求定义域时注意偶次开方时的被开方数大于 0、对数函数的真数要大于 0.

12.函数 y=3 ﹣1 的定义域为,则函数的值域为( A. B. C. D. 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 【专题】计算题.

|x|

)

【分析】设 t=|x|可得出 t∈,根据指数函数的单调性求出值域即可. 【解答】解:设 t=|x| ∵函数 y=3 ﹣1 的定义域为, ∴t∈ ∴y=3t﹣1 ∴y=3 ﹣1 在 t∈的值域为 故选 B. 【点评】本题考查了指数函数的定义域和值域,求出函数 y=3t﹣1 的定义域是解题的关键,属 于基础题.
t |x|

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若 【考点】正弦函数的奇偶性. 【专题】三角函数的求值. 是偶函数,则 a=﹣3.

【分析】利用和角公式、差角公式展开 y=cosx 是偶函数,由观察法解得结果. 【解答】解:

,再结合

是偶函数, 取 a=﹣3,可得 故答案为:﹣3. 【点评】判断一个函数是偶函数的方法就是偶函数的定义,若 f(﹣x)=f(x)则 f(x)是 偶函数.有时,仅靠这个式子会使得计算相当复杂,这时观察法就会起到重要的作用. 为偶函数.

14.方程 lgx=lg12﹣lg(x+4)的解集为{2}. 【考点】对数的运算性质. 【专题】计算题. 【分析】先根据对数的运算性质化简可得 lg(x +4x)=lg12,然后解一元二次方程,注意定 义域,从而求出所求. 【解答】解:∵lgx=lg12﹣lg(x+4) ∴lgx+lg(x+4)=lg12 即 lg=lg(x +4x)=lg12 ∴x +4x=12∴x=2 或﹣6 ∵x>0∴x=2 故答案为:{2}. 【点评】本题主要考查解对数方程的问题,以及对数的运算性质,这里注意对数的真数一定 要大于 0,属于基础题.
2 2 2

15.函数 y=sin x﹣2sinx 的值域是 y∈. 【考点】复合三角函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】利用正弦函数的单调性、二次函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵函数 y=sin2x﹣2sinx=(sinx﹣1)2﹣1,﹣1≤sinx≤1, ∴0≤(sinx﹣1)2≤4,∴﹣1≤(sinx﹣1)2﹣1≤3.

2

∴函数 y=sin x﹣2sinx 的值域是 y∈. 故答案为. 【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键.

2

16.已知函数 y=lg( ﹣1)的定义域为 A,若对任意 x∈A 都有不等式 恒成立,则正实数 m 的取值范围是(0, 【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. ) .

﹣m x﹣2mx>﹣2

2

【分析】运用对数的真数大于 0,可得 A=(0,1) ,对已知不等式两边除以 x,运用参数分离 和乘 1 法,结合基本不等式可得不等式右边 范围. 【解答】解:由函数 y=lg( ﹣1)可得, ﹣1>0,解得 0<x<1, 即有 A=(0,1) , 对任意 x∈A 都有不等式 ﹣m2x﹣2mx>﹣2 恒成立,即有 + 的最小值,再解 m 的不等式即可得到 m 的

﹣m ﹣2m>﹣ ,整理可得 m +2m<

2

2

+ 在(0,1)恒成立,



+ =(

+ ) (1﹣x+x)= +2+

+



+2
2

=



即有 m +2m< 解得 0<m<

,由于 m>0, , ) .

故答案为: (0,

【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和基本不等式,考查运算求 解能力,属于中档题.

三、解答题: (本大题共 7 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知集合 A={x||x﹣2|<a,a>0},集合 B= (Ⅰ)若 a=1,求 A∩B; (Ⅱ)若 A?B,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 【专题】计算题;数形结合. 【分析】 (1)由绝对值的几何意义求出集合 A,再按照分式不等式的解法求出集合 B,利用交 集的含义求 A∩B 即可. (2)由条件 A?B,结合数轴,表示出集合 A 和集合 B 的位置,转化为关于 a 的不等式组求解 即可. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,|x﹣2|<1,即﹣1<x﹣1<1,解得 1<x<3. 则 A={x|1<x<3}. 由 ,即 ,得﹣3<x<5. .

则 B={x|﹣3<x<5}. 所以 A∩B={x|1<x<3}. (Ⅱ)由|x﹣2|<a(a>0) ,得 2﹣a<x<2+a. 若 A?B,



解得 0<a≤3.

所以实数 a 的取值范围是{a|0<a≤3}. 【点评】本题考查含绝对值的不等式和分式不等式的求解,及集合的关系、集合的运算问题, 同时考查数形结合思想.

18.已知函数 f(x)= (1)求 f(1)+f(2)+f(3)+f( )+f( )的值; (2)求 f(x)的值域. 【考点】函数的值域;函数的值. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.

【分析】 (1)直接根据函数解析式求函数值即可. (2)根据 x2 的范围可得 1+x2 的范围,再求其倒数的范围,即为所求. 【解答】解: (1)原式= (2)∵1+x ≥1, ∴ ≤1,
2

+ +

= .

即 f(x)的值域为(0,1]. 【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法,可怜虫推理能力与计算能力,属于中档 题.

19.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) ,方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2 < . (1)当 x∈(0,x1)时,证明 x<f (x)<x1; (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明 x0< .

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系;不等式的证明. 【专题】证明题;压轴题;函数思想;方程思想;作差法. 【分析】 (1)方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2,所以构造函数,当 x∈(0,x1)时,利用函 数的性质推出 x<f (x) ,然后作差 x1﹣f(x) ,化简分析出 f(x)<x1,即可. (2) .方程 f(x)﹣x=0 的两个根 x1,x2,函数 f(x)的图象,关于直线 x=x0 对称,利用放 缩法推出 x0< ;

【解答】证明: (1)令 F(x)=f(x)﹣x.因为 x1,x2 是方程 f(x)﹣x=0 的根,所以 F(x)=a(x﹣x1) (x﹣x2) . 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2,得(x﹣x1) (x﹣x2)>0,又 a>0,得 F(x)=a(x﹣x1) (x﹣x2)>0, 即 x<f(x) . x1﹣f(x) =x1﹣ =x1﹣x+a(x1﹣x) (x﹣x2)

=(x1﹣x) 因为 所以 x1﹣x>0,1+a(x﹣x2)=1+ax﹣ax2>1﹣ax2>0. 得 x1﹣f(x)>0. 由此得 f(x)<x1. (2)依题意知 因为 x1,x2 是方程 f(x)﹣x=0 的根,即 x1,x2 是方程 ax +(b﹣1)x+c=0 的根. ∴ ,
2

因为 ax2<1,所以



【点评】本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学 知识分析问题和解决问题的能力.

20.设集合 A={x|x ﹣x+m=0},B={x|x +px+q=0},且 A∩B={1},A∪B=A. (1)求实数 m 的值; (2)求实数 p,q 的值. 【考点】交集及其运算;并集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;判别式法;集合. 【分析】 (1)由 A 与 B 的交集确定出 1 为 A 中的元素,把 x=1 代入 A 中方程即可求出 m 的值; (2)由 m 的值确定出 A 中方程的解,进而确定出 A,根据 A 与 B 的并集为 A,得到 B 为 A 的 子集,可得出 B 中只有一个元素 1,即 B 中方程只有一根 1,求出 p 与 q 的值即可. 【解答】解: (1)由题意可得 1∈A,即 x=1 是方程 x2﹣x+m=0 的根, 将 x=1 代入方程得:m=0; (2)由 m=0,得到 A 中方程为 x2﹣x=0, 解得:x=0 或 x=1,即 A={0,1}, ∵A∪B=A,∴B? A, 又∵A∩B={1}, ∴B={1}, ∴B 中方程 x2+px+q=0 只有一个根为 1,

2

2





解得:p=﹣2,q=1. 【点评】此题考查了交集及其运算,并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

21.计算: (1) (2)

; .

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】 (1)利用分数指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 【解答】解: (1) (2) = = × = =﹣ . =3×1=3.

【点评】本题考查了分数指数幂的运算法则、对数的运算法则,属于基础题.

22. (1) ( (2) lg

) ﹣ lg

﹣( +lg

) +(0.2) × .

0.5

﹣2

﹣(0.081)

0

【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)利用分数指数幂的性质、运算法则求解. (2)利用对数的性质、运算法则求解. 【解答】解: (1) ( ) ﹣( )0.5+(0.2)﹣2× ﹣(0.081)0

=



+(5﹣1)﹣2×

﹣1

= =

=﹣ . (2) lg ﹣ lg +lg

= = = =lg = .

+

【点评】本题考查对数式、指数式的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意分数指 数幂和对数的性质及运算法则的合理运用.

23.已知函数 f(x)=﹣(x+2) (x﹣m) (其中 m>﹣2) ,g(x)=2 ﹣2﹒ (Ⅰ)若命题“log2g(x)≤1”是真命题,求 x 的取值范围; (Ⅱ)设命题 p:? x∈(1,+∞) ,f(x)<0 或 g(x)<0,若?p 是假命题,求 m 的取值范 围﹒ 【考点】命题的真假判断与应用;命题的否定. 【专题】简易逻辑. 【分析】 (Ⅰ)通过命题“log2g(x)≤1”是真命题,转化为不等式组,解不等式组即可得到 x 的取值范围; (Ⅱ)写出命题 p:? x∈(1,+∞) ,f(x)<0 或 g(x)<0 的?p,利用?p 是假命题,原命 题是真命题,转化为不等式,求解即可得到 m 的取值范围﹒ 【解答】解: (Ⅰ)若命题“log2g(x)≤1”是真命题,即 log2g(x)≤1 恒成立; 即 log2g(x)≤log22,等价于 解得 1<x≤2,? 故所求 x 的取值范围是{x|1<x≤2};? (Ⅱ)因为?p 是假命题,则 p 为真命题,? 而当 x>1 时,g(x)=2x﹣2>0,? ?

x

又 p 是真命题,则 x>1 时,f(x)<0, 所以 f(1)=﹣(1+2) (1﹣m)≤0,即 m≤1;? (或据﹣(x+2) (x﹣m)<0 解集得出) 故所求 m 的取值范围为{m|﹣2<m≤1}﹒? 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,转化思想的应用,不等式组的解法,考查分析 问题解决问题的能力.



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