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h零点存在定理


方程的根与函数的零点

方程解法史话: 方程解法史话:数学家方台纳的故事
1535年,在意大利有一条轰动一 时的新闻:数学家奥罗挑战数学 家方台纳,奥罗给方台纳出了30 道题,求解x3+5x=10,x3+7x=14, x3+11x=20,……;诸如方程x3+ Mx=N,M,N是正整数,比赛时 间为20天,方台纳埋头苦干,终 于在最后一天解决了这个问题。 方程的求解经历了相当漫长的岁 月,让我们来感受数学探索的魅 力吧!

方台纳

问题1:求下列方程的根
① 2x+1=0 ② x2- 2x - 3=0

问题2 问题2:
思考一元二次函数图象与一元二次方程 的根有什么关系? 的根有什么关系?

一元二次 方程

方程 的根
x = ?1

二次 函数

图象 与x轴 轴 交点

函数的图象

x ? 2x ? 3 = 0
2

或 x=3

y = x2 ?2x ?3

(?1, 0)

(3, 0)
(1, 0)

-1

3

x 2 ? 2x + 1 = 0

x =1

y = x2 ? 2x +1

1

x ? 2x + 3 = 0
2

无解

y = x2 ? 2x + 3 无交点

推广:函数y=f(x)的图象与x 推广:函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程 y=f(x)的图象与 f(x)=0的根有何关系呢 的根有何关系呢? f(x)=0的根有何关系呢?

结论: 函数y=f(x)的图象与x 结论: 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 y=f(x)的图象与
就是方程f(x)=0的实数根。 就是方程f(x)=0的实数根。 f(x)=0的实数根
我们把函数y=f(x)中能使 中能使f(x)=0的 x 叫y=f(x)的零点 我们把函数 中能使 的 的零点(zero point)

问题:f(x)=0有实根; y=f(x)与x轴有交点;y=f(x)有零点 有实根; 与 轴有交点; 有零点 有实根 轴有交点
三者之间是什么关系? 三者之间是什么关系? f(x)=0有实根 有实根 等 价 y=f(x)与x轴有交点 与 轴有交点 等 价 y=f(x)有零点 有零点

练一练: 练一练:
练习1 利用函数图象判断下列方程有没有根, 练习1、利用函数图象判断下列方程有没有根, 有几个根。 有几个根。 (1) -x2+3x+5=0
(2)2x(x-2)=-3 (3)x2=4x-4

(4)5x2+2x=3x2+5

求方程f(x)=0的根实际上也是求函数 的根实际上也是求函数y=f(x)的零点。 的零点。 求方程 的根实际上也是求函数 的零点

书本87页探究

从上面的事实中你能得出什么结论? 从上面的事实中你能得出什么结论? 如果函数y=f(x)在[a, b]上的图象是连续不断的一条 上的图象是连续不断 如果函数 在 上的图象是连续不断的一条 在区间(a, 内 曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么,函数 曲线,并且 ,那么,函数y=f(x)在区间 b)内 在区间 有零点,即存在c∈ 使得f( 这个c 有零点,即存在 ∈(a, b),使得 c )=0,这个 就是方程 使得 这个 就是方程f(x)=0 的根。 的根。

问题:如果函数y=f(x)在区间 在区间[a,b]上满足 问题:如果函数 在区间 上满足 f(a)·f(b)<0,那么函数 那么函数y=f(x)在区间 在区间(a,b)内一定有 那么函数 在区间 内一定有 零点吗? 零点吗?

练习3:函数f(x)=x +x- 在下列哪个区间有零点( ) 练习3:函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( B 3:函数 A.(B.(0, C.(1, D.(2, A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 练习4 求证:方程5x 7x-1=0的一个根在区间 练习4、求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间 1,0)内 另一个根在区间(1,2) (1,2)内 (-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内。 变式:若函数y=5x 7x- 在区间[a,b] [a,b]上的图象是 变式:若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是 连续不断的曲线,且函数y=5x 7x(a,b)内有 连续不断的曲线,且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有 零点, f(a)·f(b)的值( f(b)的值 零点,则f(a) f(b)的值( C ) 大于0 B、小于0 C、 A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于零

总结:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 总结:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 y=f(x)在区间[a,b] 不断的一条曲线: 不断的一条曲线: (1) f(a)·f(b)<0 f(a) f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b) 函数y=f(x)在区间(a,b) y=f(x)在区间 ? 内有零点; 内有零点; ( 2 ) 函 数 y = f (

例题分析: 例题分析:
的零点的个数。 例1、求函数 、求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。 的零点的个数

练习应用

1、见课本P88练习2 见课本P 练习2
2 的零点所在的大致区间是( 2、函数 f ( x) = ln x ? 的零点所在的大致区间是( x

B



A、(1,2)

B、 B、(2,3)

C、 C、(3,4)

D、 D、(e,+∞)

小结: 小结:
1、函数y=f(x)的零点的定义。 函数y=f(x)的零点的定义。 y=f(x)的零点的定义 2、三个等价关系。 三个等价关系。 3、函数y=f(x)的零点存在性的判定。 函数y=f(x)的零点存在性的判定。 y=f(x)的零点存在性的判定 4、学会数形结合和函数与方程的思想。 学会数形结合和函数与方程的思想。

函数零点方程根, 函数零点方程根, 形数本是同根生。 形数本是同根生。 函数零点端点判, 函数零点端点判, 图象连续不能忘。 图象连续不能忘。


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