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二次函数


.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ?? ?2,2? 时,有 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

【定理 1】 x1 ? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ?

? 2 ? ? ? b ? 4ac ? 0 ? , b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?

推论: x1 ? 0 , x2 ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 或? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? f ( 0 ) ? c ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ? ?b ? 0 ?b ? 0

【例1】

若一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取值范围。

? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? 【定理 2】 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ? x ? x ? ? b ? 0 , ? 1 2 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ?

推论: x1 ? 0 , x2 ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 或? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? f ( 0 ) ? c ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ? ?b ? 0 ?b ? 0

由二次函数图象易知它的正确性。
【例1】
2

若 一 元 二 次 方 程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数,求 12 k 的取值范围。( k ? ? 或 k>3) 5

1

【定理 3】 x1 ? 0 ? x2 ?

c ?0 a

k 在何范围内取值,一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负根? k ?3 分析:依题意有 <0=>0< k <3 k
【例2】

1 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 定理 4】 ○

b ? 0; a b 2 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 ? 0 。 ○ a

一元二次方程的非零分布—— k 分布
设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为常数。 则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。 【定理 1】 k ? x1 ? x2
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? ? b ?? ?k ? 2a

【定理 2】 x1 ? x2 ? k

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ?? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

2

【定理 3】 x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0 。

推论 1 x1 ? 0 ? x2 ? ac ? 0 。 推论 2 x1 ? 1 ? x2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。 【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0

?a ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 1 1 ? ? ? ? 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? ? f (k 2 ) ? 0 或 ? f (k 2 ) ? 0 ?f (p ) ? 0 ?f (p ) ? 0 1 1 ? ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? ? f ( p2 ) ? 0 此定理可直接由定理 4 推出,请读者自证。

? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 【定理 6】 k1 ? x1 ? x2 ? k 2 ? ? f (k1 ) ? 0 或 ? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? k1 ? ? ? k2 k1 ? ? ? k2 ? ? 2a 2a ? ?

3

【例2】

( 1 ) 已知方程 x 2 ? 11x ? m ? 2 ? 0 的两实根都大于 1 ,求 m 的取值范围。 ( 12 ? m ? 129 )
4

( 2 ) 若 一 元 二 次 方 程 mx2 ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的 两 个 实 根 都 大 于 -1 , 求 m 的 取 值 范 围 。 ( m ? ?2或m ? 5 ? 2 6 )

( 3 ) 若 一 元 二 次 方 程 mx2 ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的 两 实 根 都 小 于 2 , 求 m 的 取 值 范 围 。 (
1 m ? ? 或m ? 5 ? 2 6 2



4

已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx(a、b 为常数,且 a ≠ 0),满足条件 f (1 + x) = f (1-x),且 方程 f (x) = x 有等根.求 f (x) 的解析式

变式 1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) . (I)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围.

5



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