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d零点存在定理


问题提出1

1.对于数学关系式:2x-1=0与 y=2x-1它们的含义分别如何? 2.方程 2x-1=0的根与函数 y=2x-1的图象有什么关系?

3.我们如何对方程f(x)=0的 根与函数y=f(x)的图象的关 系作进一步阐述?

知识探究(一):方程的根与函数的零点
方程
函数 函 数 的 图 象 x2-2x+3=0 x -2x+1=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 x2-2x-3=0
2
y y y

.
. -1

2 1

.
-1

.
x
-1

2 1

. . .
1

.
3 2 1

5

.

4

0

1

2

.

3

.
2

.
1

.
2

.

-3 -4

-2

0

x

-1

0

3

x

.

方程的实数根 x =-1,x =3 1 2 函数的图象 与x轴交点

x1=x2=1

无实数根

(-1,0)、(3,0)

(1,0)

无交点

判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0

△<0
没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 方程ax2 +bx+c=0 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根
y y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x

叫做函数y=f(x)的零点。
零点是一个点吗?

注意:零点指的是一个实数

等价关系

函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

练习:求下列函数的零点:

y ? 2x ? 8 ;(2)y ? 2 ? log 3 x . (1)
求函数零点的步骤: (1)令f(x)=0; ? 4 (1) x

(2)解方程f(x)=0;
(3)写出零点

1 ( 2) x ? 9

知识探究(二):函数零点存在性原理
问题探究 观察函数的图象 思考 2:函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? ①在区间(a,b)上______(有/无)零点;



探究: f(a).f(b)_____0(<或>). (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图象:

有 ② 在区间(b,c)上______(有/无)零 -1 5 1 在区间(-2,1)上有零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? -4 ○ _______, 点;f(b).f(c) _____ 0(<或>). <
< 有 ③ 在区间(c,d)上______(有/无)零 点;f(c).f(d) _____ 0(<或>). <3 2 ○ 在区间(2,4)上有零点______; f (2) · f (4) ____0(<或>) .
. f (?2) · f (1) _____0(<或>)

<

<

结 论

如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

y

y

0 a y 0a

b x

0 a y

b

x

b

x

0a

b

x

思考:若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点,一定能得出f(a)· f(b)<0的结论吗?
y

0

a

bbb

bb

bb

b b bb x

b

? 如果函数

y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的 ,并且在闭区间的两个端点上的函数值 互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这 个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。

y

0 a

b x

课堂练习3:
1.若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 内恰有一解,则 a 的取值范围( )

A. a ? ?1

B. a ? 1
2

C. ?1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

分析:令 f ( x) ? 2ax ? x ?1在? 0,1? 内恰有一解,则 f (0) ? f (1) ? 0 。

即 ?1 ? ? 2a ? 2 ? ? 0

?a ? 1

课堂练习3:
2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 断的曲线,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x) 在区间(a,b)内 ( A ) A.至少有一个零点 B.至多有一个零点 C.只有一个零点 D.有两个零点

课堂练习3:
3.若函数y=f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,

f(1)f(2)f(4)<0,则下列命题正确的是 ( D)
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点 C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点 D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点

小结
函数的零点定义:

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 零点的求法

代数法

图像法

函数零点存在性原理
如果函数 y ? f ( x) 在区间? a , b ? 上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

?

如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续的,并 且在闭区间的两个端点上的函数值互异即 f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么这个函数在 (a,b)内必有惟一的一个零点。


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