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【备战2014】高考数学 2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选试题分类汇编11 概率与统计 理



备战 2014 年高考之 2013 届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精 选理科试题(大部分详解)分类汇编 11:概率与统计
一、选择题 1 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学)某学习小组共 12 人,其中有五名 是“三好学生” ,现从该小组中任选 5 人参加竞赛,用 ? 表示这 5 人中“三好学生”的 人数,则下列概率中等于 C7 +C5C7 的是

5 C12 A. P ?? ? 1? B. P ?? ? 1? C. P ?? ? 1? D. P ?? ? 2?
5 1 4





4 C1 C7 C5 5 P(? ? 0) ? 57 5 P ?? ? 1? ? C12 C5 C1 C4 C12 ,所以 【答案】【解析】 B , P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 57 ? 5 5 7 , C12 C12



B.

2 . (云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学试题(详解) )已知随机变量

? ? B ? 30, ? ,则随机变量 ? 的方差 D (? ) = 6
?
A.

? ?

1?





5 6

B.5

C.

25 6

D.25

1 ? 1 ? 25 【答案】随机变量 ? 服从二项分布,所以方差 D(? ) ? np(1 ? p) ? 30 ? ? ?1 ? ? ? .故 6 ? 6? 6



C.

3 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理科数学)设随机变量 ? 服从正态分布

N (3,4) ,若 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a 的值为
A.5 B.3 C.





5 3

D.

7 3

【答案】D【解析】因为 ? 服从正态分布 N (3,4) ,所以随机变量 ? 关于直线 x ? 3 对称, 因为

P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) , 所 以 x ? 2 a ? 3 , x ? a ? 2 于 x ? 3 对 称 , 所 以 关
D.

2a ? 3 ? a ? 2 7 ? 3 ,即 3a ? 7 ,解得 a ? ,选 2 3

4 . (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题)甲、乙两名运动员 在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图 2 所示, x1 , x2 分别表示甲乙两名运动员这项
1

测试成绩的平均数, s1 , s2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有

( A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2 D.



【答案】D【解析】由样本中数据可知 x1 ? 15 , x2 ? 15 ,由茎叶图得 s1 ? s2 ,所以选

5 . (贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)在边长为 3 的正方形 ABCD 内任取一点 P,则 P 到正方形四边的距离均不小于 l 的概率为 ( A.



1 9

B.

1 3

C.

4 9

D.

8 9

【答案】A. 6 .贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题) ( 投掷一枚质地均匀的骰子两次, 若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验, 若第二次面向上 的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验, 若两次面向上的点数相等我们称 其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是

A.

1 2

B.

1 6

C.

1 12

D.

1 36

【答案】B【解析】投掷该骰子两次共有 6 ? 6=36 中结果,两次向上的点数相同,有 6 种结果,所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是

6 ?1 1 = ,选 6?6 6

B.

7 . (云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理) 在某地区某高传染性病毒 流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众显示可以过正常生活, 有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人” ,根据连续 7 天的新增病倒数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是 ①平均数 x ? 3 ;②标准差 S ? 2 ;③平均数 x ? 3 且标准差 S ? 2 ; ④平均数 x ? 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。 A.①② B.③④ C.③④⑤ D.④⑤ ( )

【答案】D【解析】①②③错,④对,若极差等于 0 或 1,在 x ? 3 的条件下显然符号指 标,若极差等于 2,则有下列可能, (1)0,1,2, (2)1,2,3, (3)2,3,4, (4)3,4,5, (5)4,5,6. 在 x ? 3 的条件下,只有(1) (2) (3)成立,符合标准。⑤正确,若 众数等于 1 且极差小于等于 4,则最大数不超过 5,符合指标,故选 D. 8 . (云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统考数
2

学(理)试题)茎叶图中 7 个互不相等的连续正整数,它们的平均数 x ? 20 ,中位数是 20,则这组数的方差是 A.3 B.13 ( C.4 D.14 )

第6题图

【答案】 C. 9 . (云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理) 彩票公司每天开奖一 次,从 1、2、3、4 四个号码中随机开出一个作为中奖号码,开奖时如果开出的号码与 前一天相同,就要重开,直到开出与前一天不同的号码为止。如果第一天开出的号码是 4,则第五天开出的号码也同样是 4 的概率为 ( A.



1 3

B.

7 27

C.

3 8

D.

1 27

【答案】B【解析】第一天开出 4,则后四天开出的中奖号码的种数有 34 种。第五天同 样开出 4,则中间三天开出的号码种数:第二天有 3 种,第三天如果是 4,则第四天有 3 种;如果第三天不是 4,则第四天有 2 种,所以满足条件的种数有

3 ? 2 ? 2 ? 3 ?1? 3 ? 21 。所以所求概率为

21 7 ,选 ? 81 27

B.

10. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)已知随机变量 ? 服从 正态分布 N , 则 (1,? 2) P(? ? 4)=0.79, P(-2 ? ? ? 1)= A.0.21 B.0.58 C.0.42 D.0.29 ( )

【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 P(? ? 4)=0.79,所 以 P(? ? 4)=0.21,所 以

P(1 ? ? ? 4)=0.29 ,所以 P(-2 ? ? ? 1)= 0.29.
11. (甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学 (理) 试题) 5 本不同的书全发给 4 名同学, 将 每名同学至少有一本书的概率是 ( A. )

15 64

B.

15 128

C.

24 125
5

D.

48 125

【答案】A【解析】将 5 本不同的书全发给 4 名同学,共有 4 种分发。若每名同学至少
2 4 有一本书,其分发共有 C5 A4 ? 240 种,所以其概率为

240 15 = 。 45 64

12. (甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟(一)数学(理) )一艘轮船从 O 点的正东方向 10km 处出发,沿直线向 O 点的正北方向 10km 处的港口航行,某台风中心在点 O,距中心不 超过 r km 的位置都会受其影响, r 是区间 [5, 10] 内的一个随机数, 且 则轮船在航行途中 会遭受台风影响的概率是 ( )

3

2 ?1 2 B. 1 ? C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 2 2 【答案】D 二、填空题 13. (贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题)某同学学业水平考试的 9 科成
A. 绩如茎叶图 4 所示,则根据茎叶图可知 该同学的平均分为 . 甲

【答案】80【解析】

1 (68 ? 72 ? 73 ? 78 ? 2 ? 81 ? 89 ? 2 ? 92) ? ? 80 9 9
.

6 7 8 9 720

8 2 1 2

3 9

8 9

8

14. (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一 中 ) 已 知 f ( x) ? ) 为 .

ln x , 在 区 间 ?2,3? 上 任 取 一 点 x0 , 使 得 f '( x0 ) ? 0 的 概 率 x

【答案】 e ? 2 【解析】函数的导数 为 f '( x) ?

1 ? ln x ,由 f '( x) ? 0 得 1 ? ln x ? 0 , x2

即 ln x ? 1 ,解得 0 ? x ? e ,所以在区间 [2,3] 上满足 f '( x0 ) ? 0 的解为 2 ? x0 ? e ,根 据几何概型可知 f '( x0 ) ? 0 的概率为

e?2 ? e?2。 3? 2

15. (云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理) 某学校想要调查全校 同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理奖的 6 位华人的姓名, 为此出了一份考卷。 该 卷共有 6 个单选题,每题答对得 20 分,答错、不答得零分,满分 120 分。阅卷完毕后, 校方公布每题答对率如下:

则此次调查全体同学的平均分数是 分。 【答案】 【解析】假设全校人数有 x 人,则每道试题答对人数及总分分别为 一 答对人数 二 三 四 五 六

0.6x 0.5x 每题得分 12x 10x 66 x 所以六个题的总分为 66x ,所以平均分为 ? 66 。 x
学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 随 机 变 量 x ? N (2,

0.8x 16x

0.7x 14x

0.4x 8x

0.3x 6x

16. (云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统考数

? 2 ) , 若 P( x ? a) ? 0.32 , 则

4

P(a ? x ? 4 ? a) ? _________.
【答案】 0.36; 17. (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理科数学)圆 x 2 ? y 2 ? ? 2 内的 曲线 y ? ? sin x 与 x 轴围成的阴影部分区域记为 M (如图) ,随机往圆内投掷一个点

A ,则点 A 落在区域 M 的概率为_________________.

4 0 3 【答案】 ? 【解析】当 ?? ? x ? 0 时, ? (? sin x)dx ? cos x
??

0 ??

? 2 ,所以阴影部分
4 . ?3

的面积为 2 ? 2 ? 4 ,所以根据几何概型知点 A 落在区域 M 的概率为

18. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题)如果随机变量

? ~ N (?1, ? 2 ) ,且 P(?3 ? ? ? ?1) ? 0.4 ,则 P(? ? 1) =



【答案】 0.1 【解析】根据对称性可知 P (?3 ? ? ? ?1) ? P (?1 ? ? ? 1) ? 0.4 ,所以

P(? ? 1) ? P (? ? ?3) ?

1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.1 。 2

19. (云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题)某一部件由四个电 子元 件按如图方式连结而成,已知每个元件正常工作的概率为 p ,且每个元件能否正常工作 相互独立,那么该部件正常工作的概率为__________________.
元件2 元件1 元件3 元件4 元件2

【答案】 p ? p ? p
2 3

4

三、解答题 20.【解析】贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)某产品在投放市场 (

5

前,进行为期 30 天的试销,获得如下数据: 日销售量 0 (件) 1 频数 1 3 6 0 试销结束后(假设商品的日销量的分布规律不变) ,在试销期间,每天开始营业时商品 有 5 件,当天营业结束后,进行盘点存货,若发现存量小于 3 件,则当天进货补充到 5 件,否则不进货。 (Ⅰ)求超市进货的概率; (Ⅱ)记 ? 为第二天开始营业时该商品的件数,求 ? 的分布列和数学期望。 【答案】解: (1)P(进货)= P(销售 3 件)+ P(销售 4 件)+ P(销售 5 件) = 6 4 1 2 3 4 5

10 6 4 2 ? ? ? 30 30 30 3
(2) 的取值是 3, 5. 4, ?

(5 分)

p(? ? 3) ? 7 10

6 1 ? 30 5

?
P

3
1 5

4
1 10

5
7 10

p(? ? 4) ?
是:

3 1 ? 30 10

p(? ? 5) ?

即分布列

1 1 7 ? E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 4 ? 5 5 10 10

(12 分)

21. (贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考理科数学) (满分 12 分)以下茎叶图记录了甲、 乙两组各四名同学的植树棵树. 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以 X 表 示.

(Ⅰ)如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ)如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这 两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望. 【答案】解:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9, 10,

6

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; ??????????????3 分 4 4 1 35 2 35 2 35 11 方差为 s 2 ? [(8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) 2 ] ? . ?????????6 4 4 4 4 16
所以平均数为 x ? 分 (Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同 学的植树棵数是: 8, 10。 9, 9, 分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学, 共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21 事件 “Y=17”等价于“甲组选出的同学植树 9 棵, 乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事 件有 2 种可能的结果,因此 P(Y=17)=

2 1 ? 。 16 8

同理可得

P(Y ? 18) ?

1 1 1 1 ; P(Y ? 19) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8

所以随机变量 Y 的分布列为: 1 Y 7 P 18 19 20 1 2

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21) =17× =19。

1 1 1 1 1 +18× +19× +20× +21× 8 4 4 4 8
????????????12 分

22. (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理科数学)为了解某班学生喜爱打 篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表: 不喜爱打篮 喜爱打篮球 球 男生 女生 合计 10 50 5 合计

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你

3 5

7

的理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分 布列与期望. 下面的临界值表供参考: 0 . 0 .
P( K ? k )
2

0 . 0 2 5

0 . 0 1 0

0 . 0 0 5 0. 00 1

0 0 . 5 1 [ 0 来 :

1 5

2 .

2 . 7 0 6

3 . 8 4 1

5 . 0 2 4

6 . 6 3 5

7 . 8 7 9 10 .8 28

k

0 7 2

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
-----------------------3 分 不喜爱打篮 喜爱打篮球 球 合计 5 15 20 25 25 50

【答案】解:(1) 列联表补充如下:

男生 女生 合计 (2)∵ K ?
2

20 10 30

50 ? (20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 30 ? 20 ? 25 ? 25

∴ 在 犯 错 误 的 概 率 不 超 过 0.005 的 前 提 下 , 认 为 喜 爱 打 篮 球 与 性 别 有 关.--------------7 分 (3)喜爱打篮球的女生人数 ? 的可能取值为 0,1, 2 .
8

其概率分别为

P(? ? 0) ?

0 2 C10C15 7 C1 C1 1 C2 C0 3 ? , P(? ? 1) ? 10 2 15 ? , P(? ? 2) ? 10 2 15 ? 2 C25 20 C25 2 C25 20

故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

7 1 3 20 2 20 7 1 3 4 ? 的期望值为: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ---------------------12 分 20 2 20 5
23. (云南省部分名校(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中)2013 届高三下学期第二次统考数 学(理)试题)已知 5 名发热感冒患者中,有 1 人被 H7N9 禽流感病毒感染,需要通过化 验血液来确定谁是 H7N9 禽流感患者.血液化验结果呈阳性的即为普通感冒患者,呈阴性 的即为禽流感患者.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定禽流感患者为止; 方案乙:先任选 3 人,将他们的血液混在一起化验,若结果呈阳性,则表明禽流感患者在他们 3 人之中, 然后再逐个化验,直到确定禽流感患者为止;若结果呈阴性,则在另外 2 人中任选 1 人化 验. (Ⅰ)求依方案乙所需化验次数恰好为 2 的概率; (Ⅱ)试比较两种方案,哪种方案有利于尽快查找到禽流感患者. 【答案】

9

24. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题)某班将要举行篮球 投篮比赛,比赛规则是:每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区投篮 3 次,在 A 区每进一球得 2 分,不进球得 0 分;在 B 区每进一球得 3 分,不进球得 0 分,得分高 的选手胜出.已知某参赛选手在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别是

9 1 和 . 10 3

(Ⅰ) 如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准, 问该选手应该选择哪个区投篮?请 说明理由; (Ⅱ)求该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率.

【 答 案 】 解 :( Ⅰ ) 设 该 选 手 在 A 区 投 篮 的 进 球 数 为 X , 则
9? 9 9 ? X ~ B ? 2 , ?, E ( X ) ? 2 ? ? , 故 10 ? 10 5 ?

则该选手在 A 区投篮得分的期望为 2 ?

9 (3 ? 3.6 .??????????????? 分) 5

1? 1 ? 设该选手在 B 区投篮的进球数为 Y,则 Y ~ B ? 3 , ?, E (Y ) ? 3 ? ? 1 , 故 3? 3 ?

则该选手在 B 区投篮得分的期望为 3 ? 1 ? 3 . 所以该选手应该选择 A 区投篮.?????????????????????(6 分) (Ⅱ)设“该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分”为事件 C,“该选手在 A 区投 篮得 4 分且在 B 区投篮得 3 分或 0 分”为事件 D, “该选手在 A 区投篮得 2 分且在 B 区 投篮得 0 分”为事件 E,则事件 C ? D ? E ,且事件 D 与事件 E 互斥. ????(7 分)

10

P( D) ?
P( E ) ?

81 ? 4 8 ? 3 ?? ? ? ? , 100 ? 9 27 ? 5

????????????????????? (9 分)

18 8 4 , ???????????????????????(11 分) ? ? 100 27 75 3 4 49 , ? ? 5 75 75

P(C ) ? P( D ? E ) ?

49 . ???????? (12 分) 75 25. (云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学) (本题 12 分)现有 4 个人去参加某

故该选手在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为

娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通 过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游 戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|,求随机 变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ .

1 【答案】解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的 3 2 概率为 .设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4),则 P(Ai) 3
i?1?i?2? 4-i =C4? ? ? ? . ?3? ?3?

8 2?1? 2?2?2 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)=C4? ? ? ? = . ?3? ?3? 27 (2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B =A3∪A4, 由于 A3 与 A4 互斥,故

P(B)=P(A3)+P(A4)=C3? ?3? ?+C4? ?4= . 4 4 ?3? ?3? ?3? 9
1 所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9 (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故

?1? ?2?

?1?

1

P(ξ =0)=P(A2)= , P(ξ =2)=P(A1)+P(A3)= ,
40 81

8 27

11

P(ξ =4)=P(A0)+P(A4)= .
所以 ξ 的分布列是 ξ 0 8 27 2 错误! 4 17 81

17 81

P

8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 Eξ =0× +2× +4× = 27 81 81 81 26. (云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学) (本小题满分 12 分)一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球( n ? 2 ,且 n ? N * ) ,每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两 个球放回袋中) ,若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖。 (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P; (2)若 n ? 3 ,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f ( p) ,当 n 为何值时, f ( p) 取最大值。 【答案】解: (1)一次摸球从 n? 2 个球中任选两个,有 C n2? 2 种选法,其中两球颜色相 同有 Cn2 ? C22 种选法;一次摸球中奖的概率 P ? (2)若 n ? 3 ,则一次摸球中奖的概率是 P ?
2 2 Cn ? C2 n2 ? n ? 2 ? 2 ............ 4 分 2 Cn ? 2 n ? 3n ? 2

2 ,三次摸球是独立重复实验,三次摸球 5 54 125

1 中恰有一次中奖的概率是 P (1) ? C3 ? P ? (1 ? P)2 ? 3

................ 8 分

(3)设一次摸球中奖的概率是 p ,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是
1 f ( p) ? C3 ? p ? (1 ? p)2 ? 3 p3 ? 6 p 2 ? 3 p , 0 ? p ? 1 ,

? f '( p) ? 9 p2 ? 12 p ? 3 ? 3 ? p ? 1??3 p ? 1?

? 1? ?1 ? ? f ( p) 在 ? 0, ? 是增函数,在 ? ,1? 是减函数, ? 3? ?3 ?
?当 p ?
1 时, f ( p) 取最大值 3

................10 分

?p ?

n2 ? n ? 2 1 ? (n ? 2, n ? N ?) , n2 ? 3n ? 2 3

?n ? 2 ,故 n ? 2 时,三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。..............

12 分

27. (云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题)某种报纸,进货商当天以 每份进价 1 元从报社购进,以每份售价 2 元售出.若当天卖不完,剩余报纸报社以每份 0.5 元的价格回收.根据市场统计,得到这个季节的日销售量 X (单位:份)的频率分布直 方图(如图所示),将频率视为概率. (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值;
12

(Ⅱ)若进货量为 n (单位:份),当 n ? X 时,求利润 Y 的表达式; (Ⅲ)若当天进货量 n ? 400 ,求利润 Y 的分布列和数学期望 E (Y ) (统计方法中,同一组 数据常用该组区间的中 点值作为代表).
频率 组距 0.0035 0.003 0.002 a O

150

250

350

450 550

日销售量(份)

【答案】 解:(Ⅰ)由图可得: 100a ? 0.002 ?100 ? 0.003 ?100 ? 0.0035 ?100 ? 1 , 解得

a ? 0.0015
(Ⅱ)? n ? X ,?Y ? (2 ? 1) X ? (n ? X )0.5 ? 1.5 X ? 0.5n (Ⅲ)若当天进货量 n ? 400 ,依题意销 售量 X 可能值为 200 , 300 , 400 ;对应的 Y 分 别为:100,250,400. 利润 Y 的分布列为:

Y
P

10 0 0. 20

25 0 0. 35

40 0 0. 45

所以, E (Y ) ? 0.20 ?100 ? 250 ? 0.35 ? 0.45 ? 400 ? 287.5 (元).........

28. (甘肃省河西五市部分普通高中 2013 届高三第二次联合考试 数学(理)试题)高三年 级有 3 名男生和 1 名女生为了报某所大学, 事先进行了多方详细咨询, 并根据自己的高 考成绩情况,最终估计这 3 名男生报此所大学的概率都是 的概率是

1 ,这 1 名女生报此所大学 2

1 .且这 4 人报此所大学互不影响。 3

(Ⅰ)求上述 4 名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率; (Ⅱ)在报考某所大学的上述 4 名学生中,记 ? 为报这所大学的男生和女生人数的和, 试求 ? 的分布列和数学期望. 【答案】解: (1)记“报这所大学的人数中男生和女生人数相等的”事件为 A,男生人 数记为 Bi(i=0、1、2、3),女生人数记为 Ci(i=0、1) P(A)=P(B0C0)+P(B1C1)=

2 1 1 1 1 1 5 0 1 ? C3 ( ) 0 ( ) 3 ? ? C 3 ( )1 ( ) 2 = 3 2 2 3 2 2 24

(5 分)

(2)ξ =0,1,2,3,4

2 0 1 0 1 3 2 1 C3 ( ) ( ) ? ? 3 2 2 24 12 1 0 1 0 1 3 2 1 1 1 1 2 7 P(ξ =1)= C 3 ( ) ( ) ? C 3 ( ) ( ) = 3 2 2 3 2 2 24
P(ξ =0)=
13

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 9 3 C3 ( ) ( ) ? ? 3 2 2 3 2 2 24 8 1 2 1 2 1 1 2 3 1 3 1 0 5 P(ξ =3)= C 3 ( ) ( ) ? C 3 ( ) ( ) ? 3 2 2 3 2 2 24 1 3 1 3 1 0 1 P(ξ =4)= C 3 ( ) ( ) ? 3 2 2 24
P(ξ =2)= C 3 ( ) ( ) ? ∴ξ 的公布列为: ξ ∴ E P 0 1 2 3

(9 分)

4

1 +1 12 9 5 1 11 +3× +4× = 24 24 24 6

1 12

7 24

9 24

5 24

1 24

(ξ )=0× ×

7 +2 × 24

(12 分)

29. (甘肃省兰州一中 2013 高考冲刺模拟(一)数学(理) )在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回的随机抽取两张卡片,记第一次抽取卡 ... 片的标号为

x ,第二次抽取卡片的标号为 y .设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为

??? ? ( x ? 2, x ? y), 记 ? ?| OP |2 .
(Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.









14

30. (贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理科数学试题) (本小题满分 12 分)为了参加

2012 年贵州省高中篮球比赛, 某中学决定从四个篮球较强的班级中选出 12 人组成男子
篮球队代表所在地区参赛,队员来源 人数如下表: 班级 人数 高三( 7 ) 班 高三( 17 ) 班 高二( 31 ) 班 高二( 32 ) 班

4

2

3

3

15

(I)从这 12 名队员中随机选出两名,求两人来自同一班级的概率; (II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设 其中来自高三(7)班的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? . 【答案】 (I) 解: “从这 18 名队员中随机选出两名, 两人来自于同一班级”记作事件 A , 则 P ( A) ?
2 2 C4 ? C2 ? C32 ? C32 13 ? 2 C12 66

····················· 6?

(II) ? 的所有可能取值为 0,1, 2 ······················· 7?
0 1 1 2 C4 C82 14 C4C8 16 C4 C80 3 则 P (? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? 2 ? , P(? ? 2) ? 2 ? 2 C12 33 C12 33 C12 33

∴ ? 的分布列为:

?

0

1

2

P

14 33

16 33

3 33

···································· 10? ∴ E? ? 0 ?

14 16 3 2 ···················· 12? ? 1? ? 2 ? ? 33 33 33 3

31. (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一 中) )在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 ... 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为

??? 2 ? ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ? OP .(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”
的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 【答案】解:(Ⅰ)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,? x ? 2 ? 1 , y ? x ? 2 ,

?? ? ( x ? 2)2 ? ( x ? y)2 ? 5 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 . 因此,
随机变量 ? 的最大值为 5 ??????????4 分

? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,? P(? ? 5) ?
(Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 .

2 ???????6 分 9

?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况.

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,
16

? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P (? ? 0) ? 1 4 2 , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ??????????8 分 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P
??????10 分

0

1

2

5

1 9

4 9

2 9

2 9

因此,数学期望 E? ? 0 ?

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 ??????12 分 9 9 9 9

32. (云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理)一个口袋装有 n 个红球 ( n ? 5且n ? N )和 5 个白球,一次摸将从中摸两个球(每次摸奖后放回) ,两个球颜 色不同则为中奖。 (I)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率; (II)若 n=5,求三次摸奖的中奖次数 ? ? 1 的概率及数学期望; (III)记三次摸奖恰有一次中奖的概率为 p,当 n 取多少时,p 最大? 【 答 案 】

17

33. (云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(八)理科数学试题(详解) )近年空气质量逐 渐恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染会引起多种心肺疾病.空 气质量指数(AQI)是国际上常用来衡量空气质量的一种指标,空气质量指数在 (0,50) 为 优良,在 (50,100) 为中等,在 (100,150) 为轻度污染,在 (150, 200) 为中度污染,.某城市 2012 年度的空气质量指数为 110(全年平均值),对市民的身心健康产生了极大影响,该 市政府为了改善空气质量,组织环保等有关部门经过大量调研,准备采用两种方案中的 一种治理大气污染,以提高空气质量.根据发达国家以往的经验,若实施方案一,预计第 一年度可使空气质量指数降为原来的 0.8,0.7,0.6 的概率分别为 0.5,0.3,0.2,第二年 度使空气质量指数降为上一年度的 0.7,0.6 的概率分别为 0.6,0.4;若实施方案二,预计 第一年度可使空气质量指数降为原来的 0.8,0.7,0.5 的概率分别为 0.6,0.3,0.1,第二 年度使空气质量指数降为上一年度的 0.7,0.6 的概率分别为 0.5,0.5.实施每种方案,第 一年与第二年相互独立,设 ? i ( i ? 1, 2 )表示方案 i 实施两年后该市的空气质量指数 (AQI). (1)分别写出 ?1 , ?2 的分布列(要有计算过程); (2)实施哪种方案,两年后该市的空气质量达到优良的概率更大? 【答案】解:(Ⅰ)依题意, ?1 的可能取值为: 39.6, 46.2, 52.8, 53.9, 61.6 ; 因为第一年与第二年相互独立, 所以 P(?1 ? 39.6) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.08 , P(?1 ? 46.2) ? 0.2 ? 0.6 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.24 ,
P(?1 ? 52.8) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.20 , P(?1 ? 53.9) ? 0.3 ? 0.6 ? 0.18 , P(?1 ? 61.6) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.30 .

所以, ?1 的分布列为:

?1
P

39.6 0.08

46.2 0.24

52.8 0.20

53.9 0.18

61.6 0.30

? 2 的可能取值为: 33, 38.5, 46.2, 52.8, 53.9, 61.6 ;

18

P(?2 ? 33) ? 0.1 ? 0.5 ? 0.05 , P(?2 ? 38.5) ? 0.1? 0.5 ? 0.05 , P(?2 ? 46.2) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.15 , P(?2 ? 52.8) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.30 , P(?2 ? 53.9) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.15 , P(?2 ? 61.6) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.30 ,

所以, ? 2 的分布列为:

?2

33

38.5

46.2

52.8

53.9

61.6

P

0. 05

0. 05

0. 15

0. 30

0. 15

0. 30

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, P(?1≤50) ? 0.08 ? 0.24 ? 0.32 ,
P(?2 ≤50) ? 0.05 ? 0.05 ? 0.15 ? 0.25 , P(?1≤50) ? P(?2 ≤50) ,

所以,实施方案一,两年后该市的空气质量达到优良的概率更大. 34. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题) (本小题满分 12 分)班主任统计本班 50 名学生平均每天放学回家后学习时间的数据用图 5 所示条形图 表示. (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值; (2)假设学生每天在家学习时间为 18 时至 23 时,已知甲每天连续学习 2 小时,乙每 天连续学习 3 小时,求 22 时甲、乙都在学习的概率.

【答案】 (Ⅰ) 解: 平均学习时间为 (6 分)

20 ? 1 + 10 ? 2 ? 10 ? 3 ? 5 ? 4 ? 1.8(小时) . 50

?????

(Ⅱ)设甲开始学习的时刻为 x,乙开始学习的时刻为 y,试验的全部结果所构成的区 域为 Ω ={(x,y)|18≤x≤21,18≤y≤20},面积 SΩ = 2×3=6. 事件 A 表示“22 时甲、乙都在学习” ,所构成的区域为 A={(x,y)|20≤x≤21,19≤y ≤20},面积为 S A ? 1 ? 1 ? 1 ,

19

这是一个几何概型,所以 P(A) ? 分)

SA 1 ? . S? 6

????????????????(12

35. (云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学理) 一次同时投掷两枚相 同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有 1,2,2,3,3,3 六个数字) (I)设随机变量? 表示一次掷得的点数和,求? 的分布列; (II) 若连续投掷 10 次, 设随机变量 ? 表示一次掷得的点数和大于 5 的次数, E? ? D? . 求

【答案】

36. (甘肃省天水一中 2013 届高三下学期五月第二次检测(二模)数学(理)试题)因金融 危机,某公司的出口额下降,为此有关专家提出两种促进出口的方案,每种方案都需要分 两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使出口额恢复到危机前的 1.0 倍、 倍、 0.9 0.8 倍的概率分别为 0.3、0.3、0.4;第二年可以使出口额为第一年的 1.25 倍、1.0 倍的概 率分别是 0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使出口额恢复到危机前的 1.2 倍、 l.0 倍、0.8 倍的概率分别为 0.2、0.3、0.5;第二年可以使出口额为第 一年的 1.2 倍、 1.0 倍的 概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立.令 ? i ( i =1,2) 表示方案 i 实施两年后出口额达到危机前的倍数. (Ⅰ)写出 ?1 、 ?2 的分布列; (Ⅱ)实施哪种方案,两年后出口额超过危机前出口额的概率更大?[来源:学|科|网 Z|X|X|K] (Ⅲ)不管哪种方案,如果实施两年后出口额达不到、 恰好达到、 超过危机前出口额,预计 利润分别为 10 万元、1 5 万元、20 万元,问实施哪种方案的平均利润更大.
20

【答案】

其分布列为:

?1

0. 8[ 来 源 : 学 * 科 * 网 ] 0. 2

0 . 9

1 . 0

1.1 25

1 . 2 5

P

0 . 1 5

0 . 3 5

0.1 5[ 来 源: 学 科 网]

0 . 1 5

?2 的所有取值为 0.8,0.96,1.0,1,2,1. 44,其分布列为 ?2
0.8 0.9 6 1 . 0 0 . 1 8 1 . 2 0 . 2 4 1 . 4 4 0 . 0 8

P

0.3 [ 来 源: 学, 科, 网]

0.2 [来 源: 学 科 网 ZXX K]

(Ⅱ)设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为 P1 , P ,则 2

P ? 0.15 ? 0.15 ? 0.3, P2 ? 0.24 ? 0.08 ? 0.32 1
∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大
21

(Ⅲ)方案一、方案二的预计利润为?1 、?2 ,则

?1
P

10 0.35

15 0.35

20 0.3

?2

10[来 源:学 科网 ZXXK] 0. 5

15

20

P

0.18

0.32

? E?1 ? 14.75

E?2 ? 14.1

∴实施方案一的平均利润更大. 12 分 37.【解析】云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学) ( (本小题满分 12 分) 某校从 6 名学生会干部(其中男生 4 人,女生 2 人)中选 3 人参加市中学生运动会志愿 者。 (Ⅰ)所选 3 人中女生人数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望。 (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率 【答案】 (I) 得可能取值为 0,1,2; 解: ξ 由题意 P(ξ =0)=
3 C4 1 C 2C1 3 ? , P(ξ =1)= 4 3 2 ? , 3 C6 5 C6 5

P(ξ =2)=

1 2 C4C2 1 ? 3 C6 5

????3 分 ∴ξ 的分布列、期望分别为: ξ p 0 1 2

Eξ =0×

1 3 +1× +2 5 5
????6 分

1 5

3 5

1 5
×

1 =1 5

(II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为 C 男生甲被选中的种数为 C5 ? 10 ,男生甲被选中,女生乙也被选中的
2 1 种数为 C4 ? 4

22

∴P(C)=

1 C4 4 2 ? ? C52 10 5

????11 分

在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

2 5

??12 分

38. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)现有 4 个人去参加某 娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通 过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏, 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游 戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X , Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机 变量 ? 的分布列与数学期望 E? . 【答案】解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 的概率为

1 ,去参加乙游戏 3

2 .设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai , (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 3 2 i 1 P( Ai ) ? C4 ( )i ( ) 4?i . 3 3 2 8 2 1 (1)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲游戏的概率 P ( A2 ) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 3 3 27
(2)设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B ,

2 1 3 1 4 1 B ? A3 ? A4 ,故, P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( )3 ( ) ? C4 ( ) 4 ? . 3 3 3 9 1 所以,这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9
(3) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?

8 27 40 17 , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , 81 81



P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?
所以, ? 的分布列是

?
P

0

2

4

8 27

40 81

17 81

23

E? ?

148 . 81

39. (贵州省贵阳市 2013 届高三适应性监测考试(二)理科数学 word 版含答案)(本小题 满分 1 ) 某次大型抽奖活动,分两个环节进行:第一环节从 10000 人中随机抽取 10 人,中奖者获得 奖金 1000 元,并获得第二环节抽奖资格;第二环节在取得资格的 10 人中,每人独立通过 电脑随机产生两个数 x, y( x, y ??1,2,3?) ,并按如图运行相应程序.若电脑显示“中 奖”,则该抽奖者获得 9000 元奖金;若电脑显示“谢谢”,则不中奖. (I)已知甲在第一环节中奖,求甲在第 二环节中奖的概率; (II)若乙参加了此次抽奖活动,求乙在此次活动中获得奖金的期望.

、 3、 【答案】解:(Ⅰ)从 1 2、 三个数字中有重复取 2 个数字,其基本事件有
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) 共 9 个,
设“甲在第二环节中奖”为事件 ∴ P( A) ?

A ,则事件 A 包含的基本事件有 (3,1),(3,3) ,共 2 个,

2 9

(Ⅱ)设乙参加此次抽奖活动获得奖金为 则

X 元,

, , X 的可能取值为 0100010000
999 1 7 7 ? ? , P( X ? 1000) ? , 1000 1000 9 9000
1 2 2 ? ? . 1000 9 9000

P( X ? 0) ?

P( X ? 10000) ?

∴ X 的分布列为

X

0

1000

10000
24

P

999 1000

7 9000

2 9000

∴ EX ? 0 ?

999 7 2 ? 1000 ? ? 10000 ? ?3 1000 9000 9000

40. (甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题)为迎接 2012 年伦敦奥运会,在 著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛, 其中甲、 乙两名运动员为争取最后一个参 赛名额进行的 7 轮比赛的得分如茎叶图所示: (I)若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选 3 个不低于 80 且不高于 90 的得分,求甲 的三个得分与其 7 轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过 2 的概率; (Ⅱ)若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于 80 且不高于 90 的得分中任选 1 个,求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值 ? 的分布列与期望。









25

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