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数列经典例题1(含答案)



错误!未指定书签。例 1 . 已知首项为

3 的等比数列 {an } 不是递减数列 , 其前 n 项和为 2

Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列.

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *)

, 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

例 2 错误!未指定书签。 .在公差为 d 的等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成

等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an | .

设 {an } 是 首 项 为 a , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 (d ? 0) , S n 是 其 前 n 项 和 . 记

bn ?

nSn * , n ? N ,其中 c 为实数. 2 n ?c
2

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: S nk ? n S k ( k , n ? N );
*

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 . 证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和

∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) ∴ S n ? na ? d ? na ? 2a ? n 2 a 2 2
∴左边= S nk ? (nk ) a ? n k a
2 2 2 2

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n S k ? n k a
2 2

∴左边=右边∴原式成立 (2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d 1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nSn 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?
n ? N ? 恒成立

nSn n2 ? c

∴ (d1 ?

1 1 d )n 3 ? (b1 ? d1 ? a ? d )n 2 ? cd1n ? c(d1 ? b1 ) 对 2 2

1 ? ?d 1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d 1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由①式得: d1 ? 由③式得: c ? 0

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 a n ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

n[( n ? 1)d ? 2a] (n ? 1)d ? 2a , bn ? . 2 2

d? 3d ? ? ? 2 即: ? a ? ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2 2 ? ? ? ?
由此: S n ? n a , S nk ? (nk ) a ? n k a , n S k ? n k a .
2 2 2 2 2 2 2
* 故: S nk ? n S k ( k , n ? N ).

2

2

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? n ?c n2 ? c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 故有: ≠0, ? 0 ,而 ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.



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