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样本高一升高二数学教案(椭圆方程)



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扬帆教育 小班化辅导教案

任教科目: 数学 年 级:高一升高二

任课教师: ****

扬帆教育教务处
科目组长签字: 教研组主任签名:

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期:

r />扬帆教育学科辅导讲义
授课教师 授课题目 ***** 授课课时 参考教材及例题 4 课时

椭圆专题讲解
来源
1.熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程.

教学目标

2.掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等.体会解析几何的本质问 题——用代数的方法解决几何问题. 出题的范围:求椭圆的方程是高考的重中之重,几乎每年必考,有的是以选择题或填空题的形式出现,

教学范围和 重点

多数以解答题的形式出现. 重点:在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程. 关键:突破难点要抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节 1、考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题.

考点及考试 要求

2.考查椭圆的方程及其几何性质.

3.考查直线与椭圆的位置关系.
1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c,则集合 P 为线段; (3)若 a<c,则集合 P 为空集. 例 1、求下列椭圆的焦点和焦距

教学流程及 授课详案

x2 y2 ? ?1 4 (1) 5 ;

(2)

2 x 2 ? y 2 ? 16

分析:解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上,方法是观察标准方程中含 x 项与含 y 项的分母, 哪项的分母大,焦点就在哪条坐标轴上。

x2 y2 ① ? ?1 15 6

焦点坐标为?? 3,0? ,焦距2c ? 6



x2 y2 ? ?1 25 169

? 焦点坐标为 0,?12 ? ,焦距2c ? 24

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2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 + =1 a2 b2
(a>b>0)

y2 x2 + =1 a2 b2
(a>b>0)





续表 范 围 -a≤x≤a -b≤y≤b 对称轴:坐标轴 -b≤x≤b -a≤y≤a 对称中心:原点

对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c

c e= ∈(0,1) a c2=a2-b2

a,b,c
的关系

椭圆的方程的求法是解析几何中的一个重要内容, 求椭圆的方程的主要方法有直接法、 定义法、 代入法, 下面分类举例说明之。 常见规律:椭圆焦点位置与 x ,y 系数间的关系: 给出椭圆方程 + =1 时,椭圆的焦点在 x 轴上?m>n>0;椭圆的焦点在 y 轴上?0<m<n. (1)直接法:直接从条件中获取信息,建立方程求椭圆的方程。 (2)定义法:根据椭圆定义,确定 a2、b2 的值,再结合焦点位置,直接写出椭圆方程. 一、 直接法
2 2

x2 y2 m n

x2 y2 6 ? 2 2 b =1(a>b>0)的离心率为 3 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 .求椭圆 C 例 1. 已知椭圆 C: a
的方程。

?c 6 , ? ? 3 ?a ?a ? 3, 解:设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ?

x2 ? y2 ? 1 ?b ? 1 ,?所求椭圆方程为 3 .

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点评:本题考查了椭圆中的基本量的关系,列出方程即能获解。此类问题常常出现在高考的解答题 中的第一问,考查同学们对基础知识的掌握。 二、定义法 利用椭圆的定义,到两个定点的距离之和为定值或到定点的距离与到定直线的距离之比为常数(此 数大于零小于1),就可以得到所求的椭圆的方程。 例2.已知ΔABC中,?A,?B,?C所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列,|AB|=2,求顶点C的轨迹 方程. 解:|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知,点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为2 3 ,

x2 y2 ? ?1 3 ∴椭圆方程为 4 ,
又a>b, ∴点C在y轴左侧,必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形,故x≠─2,

x2 y2 ? ?1 3 因此点C的轨迹方程是: 4 (─2<x<0)

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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点评:本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转化为数学问题的能力,正确理解题 意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.本题在求出了方程以后讨论 x 的取值 范围,实际上就是考虑条件的必要性
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三种技巧 (1)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且 最大距离为 a+c,最小距离为 a-c. (2)求椭圆离心率 e 时,只要求出 a,b,c 的一个齐次方程,再结合 b2=a2-c2 就可求得 e(0<e<1). (3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是否为标准方程,判断的依据是:①中心是否在原 点;②对称轴是否为坐标轴. 自测 1.(人教 A 版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆 的方程为( A. + =1 9 16 C. + =1 或 + =1 25 16 16 25 解析 ). B. + =1 25 16

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

D.以上都不对
2 2 2

∵2a+2b=18,∴a+b=9,又∵2c=6,∴c=3,则 c =a -b =9,故 a-b=1,从而可得 a=5, 25 16 16 25

x2 y2 x2 y2 b=4,∴椭圆的方程为 + =1 或 + =1.
答案 C + =1 上的点, F1、 2 是椭圆的两个焦点, PF1|+|PF2|等于( 若 F 则| 25 16

2. (2012·深圳)设 P 是椭圆

x2

y2

).

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A.4 解析 答案

B.5

C.8

D.10

依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2×5=10. D

考向一

椭圆定义的应用

【例 1】? (2011·广州模拟)已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一 → → 点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. → → [审题视点] 关键抓住点 P 为椭圆 C 上的一点,从而有|PF1|+|PF2|=2a,再利用PF1⊥PF2,进而得解. 解析 → → 由题意知|PF1|+|PF2|=2a,PF1⊥PF2,(引导学生如何审题)
2 2 2 2

x2 y 2 a b

∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c , ∴(|PF1|+|PF2|) -2|PF1||PF2|=4c , ∴2|PF1||PF2|=4a -4c =4b . ∴|PF1||PF2|=2b , 1 ∴S△PF1F2= |PF1||PF2| 2 1 2 2 = ×2b =b =9. 2 ∴b=3. 答案 3 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周 长,利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|;通过整体代入可求其面积等.(老师要注明这道例题的详 细的方法总结) 【训练 1】 已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个 3 焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A.2 3 C.4 3 解析 由椭圆的定义知:|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a, ). B.6 D.12
2 2 2 2 2 2

x2

2

∴周长为 4a=4 3(F 是椭圆的另外一个焦点). 答案 C

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考向二

求椭圆的标准方程

【例 2】? (1)求与椭圆 + =1 有相同的离心率且经过点(2,- 3)的椭圆方程. 4 3 (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且 P 到两焦点的距离分别为 5、3,过 P 且与长轴垂直的直 线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. [审题视点] 用待定系数法求椭圆方程,但应注意椭圆的焦点位置是否确定. 解 (1)由题意,设所求椭圆的方程为 + =t(t>0), 4 3
2

x2 y2

x2 y2

2 ? ∵椭圆过点(2,- 3),∴t= + 4 故所求椭圆标准方程为 + =1. 8 6 (2)设所求的椭圆方程为

- 3? 3

2

=2,

x2 y2

x2 y2 y2 x2 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0), a b a b
? ?2a=5+3, 由已知条件得? 2 2 2 ?? 2c? =5 -3 , ?

解得 a=4,c=2,b =12. 故所求方程为 + =1 或 + =1. 16 12 16 12

2

x2

y2

y2

x2

运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于 a、b 的方程组,先定型、再定量,若位 置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n), 由题目所给条件求出 m、n 即可.(老师要注明这道例题的详细的方法总结) 【训练 2】 (1)求长轴是短轴的 3 倍且经过点 A(3,0)的椭圆的标准方程. (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),若椭圆短轴的两个三等分点 M,N 与 F 构成正三 角形,求椭圆的方程. 解 (1)若椭圆的焦点在 x 轴上,
2 2

x2 y2 a b

设方程为 2+ 2=1(a>b>0), 9 ∵椭圆过点 A(3,0),∴ 2=1,a=3,

x2 y2 a b

a

∵2a=3·2b,∴b=1,∴方程为 +y =1. 9 若椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 0 9 ∴椭圆过点 A(3,0),∴ 2+ 2=1,∴b=3,
2

x2

2

y2 x2 a b

a

b

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又 2a=3·2b,∴a=9,∴方程为

+ =1. 81 9

y2

x2

综上所述,椭圆方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9 (2)由△FMN 为正三角形, c=|OF|= 则 3 3 2 x 2 2 2 |MN|= × b=1.∴b= 3.a =b +c =4.故椭圆方程为 + 2 2 3 4
2

x2

2

y2

x2

y2
3

=1.

考向三

椭圆几何性质的应用
2 2

【例 3】? (2011·湛江)已知椭圆 G: +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两 4 点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. [审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出 c,从而求出离心率.(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一 元二次方程,由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值. 解 (1)由已知得,a=2,b=1,
2 2

x

2 2

所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), 离心率为 e= =

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1, 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).

? ?

3? ? 3? ?,?1,- 2 ?,此时|AB|= 3. 2 ? ? ?

?y=k? x-m? , ? 由?x2 2 ? +y =1. ?4

得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0.

2

2

2

2 2

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

x1+x2=

8k m 4k m -4 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k
2 2

2

2

2

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m k =k +1. 所以|AB|= ?
2 2 2

|km|

k2+1

=1,

x2-x1?

2

+?

y2-y1?

2



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?

1+k ?

2

[?
2

x1+x2?
4 2

2

-4x1x2]=
2-

64k m ? 1+k ? ? 2 ?? 1+4k ? = 4 3|m| . m2+3

4?

4k m -4? 2 1+4k

2

2

? ?

由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 所以|AB|= 4 3|m| ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m2+3 4 3|m| 4 3 = ≤2, m2+3 3 |m|+ |m|

因为|AB|=

且当 m=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. (1)求椭圆的离心率,其法有三:一是通过已知条件列方程组,解出 a,c 的值;二是由已知 条件得出关于 a,c 的二元齐次方程,然后转化为关于离心率 e 的一元二次方程求解;三是通过取特殊 值或特殊位置,求出离心率. (2)弦长公式 l= 1+k |x1-x2|= 1+k 结) 【训练 3】 (2012·武汉质检)在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过 A,B 两点,它的一个焦 点为点 C,另一个焦点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为________. 解析
2 2

?

x1+x2?

2

-4x1x2.(老师要注明这道例题的详细的方法总

设另一个焦点为 F,如图所示,∵|AB|=|AC|=1,△ABC 为直角三角形, ∴1+1+ 2=4a,则 a= 设|FA|=x,
?x+1=2a, ? ∴? ? ?1-x+ 2=2a,

2+ 2 , 4

∴x=

2 ? 2?2 2 ,∴1+? ? =4c , 2 ?2?

∴c= 答案

6 c ,e= = 6- 3. 4 a 6- 3

考向四

椭圆中的定值问题

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【例 4】? (2011·阳江)如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e= (1)求该椭圆的标准方程;

2 , 一条准线的方程为 x=2 2. 2

(2)设动点 P 满足:O P =O M +2O N ,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为-







1 .问: 2

是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的坐标;若不存在,说明理由. [审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程.(2)充分利用椭圆的定义和性质,利用设而不 求的方法求出 P 点.

2 c 2 a 解 (1)由 e= = , =2 2, a 2 c

解得 a=2,c= 2,b =a -c =2, 故椭圆的标准方程为 + =1. 4 2 (2)设 P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2), 则由 O P =O M +2O N 得 (x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2), 即 x=x1+2x2,y=y1+2y2. 因为点 M、N 在椭圆 x +2y =4 上, 所以 x1+2y1=4,x2+2y2=4, 故 x +2y =(x1+4x2+4x1x2)+2(y1+4y2+4y1y2) =(x1+2y1)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) =20+4(x1x2+2y1y2). 设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率, 由题设条件知 kOM·kON= 因此 x1x2+2y1y2=0, 所以 x +2y =20. 所以 P 点是椭圆 ? 2 5?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

x2 y2







y1y2 1 =- , x1x2 2

x2

+ 2 ?

y2
10?
2

=1 上的点,

设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2, 则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值. 又因 c= ? 2 5?
2

-?

10?

2

= 10,

因此两焦点的坐标为 F1(- 10,0),F2( 10,0).

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本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题,可先设出动点 P,利用设而不 求的方法求出 P 点的轨迹方程,从而找出定点.(老师要注明这道例题的详细的方法总结) 【训练 4】 (2010·茂名)如图,

1 已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e= . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程. 解 (1)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),

x2 y 2 a b

1 c 1 2 2 2 2 由 e= ,即 = ,得 a=2c,得 b =a -c =3c . 2 a 2 ∴椭圆方程可化为

x2 y2 2+ 2=1. 4c 3c c c

1 3 将 A(2,3)代入上式,得 2+ 2=1,解得 c=2, ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12

x2

y2

(2)由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),∴直线 AF1 的方程为

y= (x+2),即 3x-4y+6=0,直线 AF2 的方程为 x=2.
由点 A 在椭圆 E 上的位置知,直线 l 的斜率为正数. |3x-4y+6| 设 P(x,y)为 l 上任一点,则 =|x-2|. 5 若 3x-4y+6=5x-10,得 x+2y-8=0(因其斜率为负,舍去). 于是,由 3x-4y+6=-5x+10,得 2x-y-1=0, ∴直线 l 的方程为 2x-y-1=0.

3 4

规范解答——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题 【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重,几乎每年必考,有的是以选择题或填空题的形式出现, 多数以解答题的形式出现.虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法,但在解答题中往往结合弦长等知识 来求椭圆方程,难度中等偏上. 【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程,再由直线与椭圆联立,结合根与

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系数的关系及弦长公式求出待定系数. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011·揭阳)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 2.点 P(a, F

x2 y2 a b

b)满足|PF2|=|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆(x+1) +(y- 3) =16 相交于 M,N 两点,且 5 |MN|= |AB|,求椭圆的方程. 8 第(1)问由|PF2|=|F1F2|建立关于 a、c 的方程;第(2)问可以求出点 A、B 的坐标或利用根与 系数的关系求|AB|均可,再利用圆的知识求解.(老师要注明这道例题的详细的方法总结) [解答示范] (1)设 F1(-c,0), 2(c,0)(c>0), F 因为|PF2|=|F1F2|, 所以 ?
2 2 2

a-c?

2

+b =2c.整理得 2?
2

c? ?a?

c c c 1 1 + -1=0,得 =-1(舍),或 = .所以 e= .(4 分) a a a 2 2
2 2 2

(2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c ,直线 PF2 的方程为 y= 3(x-c).
?3x +4y =12c , ? A、 两点的坐标满足方程组? B ? ?y= 3? x-c? .
2 2 2

8 2 消去 y 并整理, 5x -8cx=0.解得 x1=0, 2= c.(6 得 x 5

分)

?x1=0, ? 得方程组的解为? ? ?y1=- 3c,

?x =8c, ? 5 ? 3 3 ?y = 5 c. ?
2 2

?8 3 3 ?,B(0,- 3c), 不妨设 A? c, c? 5 ? ?5
所以|AB|=

?8c?2+?3 3c+ 3c?2=16c.(8 分) ? 5 ?5 ? ? 5 ? ?

5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 d= 因为 d +?
2

|- 3- 3- 3c| 3|2+c| = .(10 分) 2 2

|MN|?2 3 2 2 2 =4 ,所以 (2+c) +c =16. 4 ? 2 ?
2

整理得 7c +12c-52=0. 得 c=- 26 (舍),或 c=2. 7

所以椭圆方程为

x2
16



y2
12

=1.(12 分)

用待定系数法求椭圆方程时,可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个 c),这样可避免

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繁琐的运算而失分.(老师要注明这道例题的详细的方法总结)

预习题和课 后作业资料 的来源 课后的感悟 (本次上课 的优与缺点) 教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差 教师签字: 以上教案的填写,将是奖金的重要考核项目,望各位老师认真填写,不得有半点马虎。 预习题见附件一、课后作业见附件二

2、 学生本次上课情况评价: ○ 好



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