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广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编5:等差数列


广东省 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 5:等差数列
一、选择题
[来源:Z+xx+k.Com]

错误!未指定书签。 . (广东省江门佛山两市 2013 届高三 4 月教学质量检测(佛山二模)数学理试题)已知数

列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1
【答案】B





B.3

C.5

D.6

错误! 未指定书签。 . (广东省揭阳市 201 3 年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题) 在等差数列

?an ?

中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 ,则 m 的值为 A.37
【答案】由 am





B.36

C.20

D.19

? a1 ? a2 ? ?? a9 得 (m ?1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选 A.
( )

错误!未指定书签。 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学理试题(WORD 版) 已知等差数列 )

共有 10 项,其中奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差是 A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C

错误!未指定书签。 . (广东省汕头市 2013 年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷)已知数列

?an?,?bn? 都是公差为 ?bn ? 的前 10 项和等于
A.55
【答案】C

1 的等差数列,其首项分别为 a1 , b 且 a1 ? b1 ? 5, a1 ? b1 , a1 , b2 ? N * ,则数列 ( C.85 D.100 )

B.70

错误!未指定书签。 . (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题)在等差数列{ an }中,

首项 a1=0,公差 d≠0 若 ak ? a1 ? a2 ? ? ?? a10 ,则 k= ? A.45
【答案】B

( D.48



B.46

C.47

错误!未指定书签。 . (广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学 (理)试题) 等差数列 ?a n ? 中,

已知 a3 ? 5 , a2 ? a5 ? 12 , an ? 29 ,则 n 为 A. 13
【答案】C

( D. 16



B. 14

C. 15

错误!未指定书签。 . (广东省中山市 2013 届高三上学期期末统一 考试数学(理)试题)等差数列 {an } 的前

n 项和为 Sn ,若 a2 ? a7 ? a12 ? 30 ,则 S13 的 值是 A.130 源:Zxxk.Com] 【答案】A B.65 C.70





D . 75[ 来

错误!未指定书签。 . (广东省韶关市 2013 届高三第三次调研考试数学(理科)试题(word 版) )已知等差数
1

列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S2 = 10, S5 = 55 ,则过点 P (n, an ) 和 Q(n + 2, an+ 2 )
[来源:学科网][来源:学科网][来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(n ? N )的直线的斜率是

*

( C.2 D.1



A.4
【答案】A

B.3

错误!未指定书签。 . (广东省惠州市 2013 届高三 10 月第二次调研考试数学(理)试题)等差数列

?an ? 的前


n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6 , a1 ? 4 ,则公差 d 等于
5 C. ?2 D. 3 3 3 【答案】 【解析】 s3 ? 6 ? (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d , a1 ? 4 ,? d ? 2 .故选 C 2
A.1 B.



错误!未指定书签。(广东省云浮市 2012-2013 新兴县第一中学高三阶段检测试题数学(三)(理) )在等差 .

数列 {a n } 中 , a2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7
【答案】B

( D.25



B.15

C.20

错误!未指定书签。(广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析) 已知等差数 . )

列 {an } 满足, a1 ? 0,5a8 ? 8a13 ,则前 n 项和 S n 取最大值时 ,n 的值为 A.20
【答案】B 由 5a8





B.21

C.22

D.23

? 8a13 得 5(a1 ? 7 d ) ? 8(a1 ? 12d ) ? d ? ?

3 a1 ,由 an ? a1 ? (n ? 1)d 61

? a1 ? (n ? 1)(?

3 64 1 a1 ) ? 0 ? n ? ? 21 ,所以数列 {an } 前 21 项都是正数,以后各项都是负数,故 61 3 3
B.

S n 取最大值时,n 的值为 21,选
二、填空题

错误!未指定书签。(广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) 在等差数列 {an } 中, . )

有 a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为__________ .
【答案】 【解析】等差数列

?an? 中,有 a 6 ? a 7 ? a 8 ? 3a 7 ,? a 7 ? 4,? S 13 ? 13a 7 ? 52

,故此数列的

前 13 项之和为 52 .
错误!未指定书签。(广东省广州市 2013 届高三调研测试数学(理)试题)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 .

S n ,若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为________.
【答案】 28

分析:方法一、(基本量法)由 a3 + a4 + a5 = 12 得 a1 + 2d + a1 +3d + a1 + 4d = 12 ,即 3a1 ? 9d ? 12 , 化简得 a1 + 3d

= 4 ,故 S7 = 7a1 +

7? 6 d = 7(a1 + 3d ) = 7 ? 3 28 2
2

方法二、等差数列中由 a1 + a7 = a3 + a5 = 2a4 可将 a3 + a4 + a5 = 12 化为 (a1 + a7 ) = 12 , 即 a1 + a7

3 2

= 8 ,故 S 7 =

7(a1 + a7 ) = 28 2

错误!未指定书签。(广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知等差数列 .

?an ? 的首项

a1 ? 1 ,前三项之和 S 3 ? 9 ,则 ?an ? 的通项 an ? ____.
【答案】 2n ? 1 . 错误! 未指定书签。 . (2012 年广东理) 11. 已知递增 的等差数列 {an } 满足 a1 【答 案】 【解析】 an
2 2 2 ? 1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _____

? _____ 2n ? 1 ? 1 , ak ? a4 ? 0 ,

a1 ? 1, a3 ? a ? 4 ? 1 ? 2d ? (1 ? d )2 ? 4 ? d ? 2 ? an ? 2n ?1
错误! 未指定书签。 2011 年高考 ( . (广东理)等差数列 {an } 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 )

则 k ? _______________. 【答案】10. 方法 1:由 S9 ? S4 得 9 ? 36d ? 4 ? 6d ,求得 d ? ? 解得 k ? 10 方法 2:由 S9 ? S4 得 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 ,即 5a7 ? 0 , a7 ? 0 ,即 a10 ? a4 ? 2a7 ? 0 ,即 k ? 10
错误!未指定书签。(广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题(word 版) )已知等差数列 .

1 1 1 ,则 ak ? a4 ? 1 ? (k ? 1) ? (? ) ? 1 ? 3 ? (? ) ? 0 , 6 6 6

{ a n },满足 a3 ? 1, a8 ? 6 ,则此数列的前 10 项的和 S10 ? _________.
【答案】 【解析】 S10 ?

(a1 ? a10 ) ?10 (a3 ? a8 ) ?10 7 ?10 ? ? ? 35 . 2 2 2

错误!未指定书签。(2013 广东高考数学(理) 在等差数列 . ) 【答案】 20 ;依题意

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____.

2a1 ? 9d ? 10 ,所以 3a5 ? a7 ? 3? a1 ? 4d ? ? a1 ? 6d ? 4a1 ? 18d ? 20 .

或:

3a5 ? a7 ? 2 ? a3 ? a8 ? ? 20

三、解答题 错误!未指定书签。(广东省珠海一中等六校 2013 届高三第二次联考数学(理)试题)设 .

?an ? 的公比不为 1

的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,
【答案】

Sk , Sk ?1 成等差数列.

解:(1)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0,q ? 1 ).
3

由 a5,a3,a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q2 ? a1q4 ? a1q3 由 a1 ? 0,q ? 0 得 q2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2 , q2 ? 1(舍去),所以 q ? ?2 (2)证法一:对任意 k ? N ? ,

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? ? Sk ?2 ? Sk ? ? ? Sk ?1 ? Sk ?

? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1

? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ? ?2? ? 0 ,
所以,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列

证法二:对任意 k ? N ? , 2Sk ?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q ?

,

Sk ?2 ? Sk ?1 ?

a1 ?1 ? qk ?2 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q k ?1 ? 1? q ?

a1 ? 2 ? qk ?2 ? q k ?1 ? 1? q

,

2Sk ? ? Sk ? 2 ? Sk ?1 ? ?
?

2a1 ?1 ? q k ? 1? q

a1 ? 2 ? qk ?2 ? qk ?1 ? 1? q

a1 ? 2 ?1 ? q k ? ? ? 2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ?? ? 1? q ?

?

a1q k 2 ? q ? q ? 2? ? 0 , 1? q

因此,对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列
求数列 ?an ? 的通项

错误!未指定书签。(广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题(word 版) )已知等差数列 .

?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 sn ,若 s5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成等比数列.(1)
公式;(2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? sn ?

【答案】解:(1)? 数列

?an ? 是等差数列且 s5 ? 70 ,

? 5a1 ? 10d ? 70 . ①
2 ? a2 , a7 , a22 成等比数列,? a7 ? a2a22 即 (a1 ? 6d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ). ②

由①,②解得 a1 ? 6, d ? 4 或 a1 ? 14, d ? 0(舍去)

4

? an ? 4n ? 2
(2)证明;由(1)可得 sn ? 2n2 ? 4n , 所以 1 ?
sn 1 1 1 1 ? ( ? ) 2n2 ? 4n 4 n n ? 2

所以 Tn ?
?
?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? s1 s2 s3 sn ?1 sn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ( ? ) 4 1 3 4 2 4 4 3 5 4 n ?1 n ? 1 4 n n ? 2
3 1 1 1 ? ( ? ) 8 4 n ?1 n ? 2

? Tn ? 3 ? ? 1 (
8

1 1 ? ) ? 0 ,? Tn 4 n ?1 n ? 2

?

3 8

? Tn?1 ? Tn ? 1 ( ? 1 ?T
6
n

1 1 ? ) ? 0 ,? 数列 4 n ?1 n ? 3

?Tn ? 是递增数列,? Tn ? T1 ? 6

1

?

3 8

错误! 未指定书签。 广东省汕头一中 2013 年高三 4 月模拟考试数学理试题 ) ( . 已知数列
? 点 ? n, S n ? n ? N 均在函数 y ? 3x 2 ? 2 x 的图像上.

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)设 bn ?

m 3 ? , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 20 a n a n ?1

m.
Sn ? 3n2 ? 2n









(1)







:

-----------------------------当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 6n ? 5 ∴ an ? 6n ? 5 (2)∵ bn ? -----------------------------

1? 1 1 ? ? ? ? ? 6n ? 5?? 6n ? 1? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ? ? 3

----------------------------

∴ Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ??1 ? 7 ? ? ? 7 ? 13 ? ? ? ? ? 6n ? 5 ? 6n ? 1 ?? ? 2 ?1 ? 6n ? 1 ? -------------------2 ?? ? ? ? ? ?? ? ?

5

依题意: ?n ? N ? , Tn ?

m 1 ? ? ,即: ?n ? N ? , m ? 10 ?1 ? ? 20 ? 6n ? 1 ?
-----------------------------

∴ m ? 10 ,即:最小的正整数 m ? 10

错误!未指定书签。(广东省湛江一中等“十校”2013 届高三下学期联考数学(理)试题)已知数列 ?an ? 、 .

{ bn }满足: a = 1 , an + bn 1

4

=1, bn+1 =

bn . (1- an )(1+ an )

(1)求 b1 , b2 , b3 ; (2)设 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn ? 1

(3)设 S n ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ... ? an an ?1 ,不等式 4aS n ? bn 恒成立时,求实数 a 的取值范围.
【答案】 解:(1) bn ?1 ?

bn bn 1 ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴ b2 ?

∵ a1 ?

1 3 , b1 ? , 4 4

4 5 , b3 ? 5 6

(2)解法一. ∵ bn ?1 ? 1 ?

2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ ? ? ?1 ? 2 ? bn bn ?1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

∴数列{ cn }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列 ∴ cn ? ?4 ? (n ? 1) ? (?1) ? ? n ? 3 解法二:
[来源:学科网 ZXXK]

n?2 ,下面用数学归纳法证明 n?3 3 1? 2 ①当 n ? 1 时, b1 ? ? ,? n ? 1 时成立; 4 1? 3 k ?2 ②假设 n ? k 时, bk ? , k ?3 bn bn 1 1 则 n ? k ? 1 时, bn ?1 ? ? ? ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn 2 ? k ? 2 k ?3
猜想: bn ?

?

k ? 3 (k ? 1) ? 2 ? k ? 4 (k ? 1) ? 3

? n ? k ? 1时也成立.
故对任意 n ? N * , bn ?

n?2 成立 n?3
6

∴ cn ?

1 ? ?n ? 3 bn ? 1

(3)由于 cn ?

n?2 1 1 从而 an ? 1 ? bn ? ? ? n ? 3 ,所以 bn ? n?3, n?3 bn ? 1

S n ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ?
∴?

1 1 1 ? ? ??? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4)

1 1 n ? ? 4 n ? 4 4(n ? 4)

an n ? 2 (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? ? ∴ 4aS n ? bn ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4)
由条件可知 (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件,设
2

f (n) ? (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8
当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立 当 a ? 1 时,由二次函数的性质知不可能 成立 当 a ? 1 时,对称轴 n ? ?

3 a?2 3 1 ? ? ? (1 ? ) ? 0 , f (n) 在 (1, ??) 为单调递减函数. 2 a ?1 2 a ?1

f (1) ? (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ? 1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ? 15 ? 0 ,
∴a ?

15 4

∴ a ? 1 时 4aS n ? bn 恒成立

综上知: a ? 1 时, 4aS n ? bn 恒成立 解法二..由于 cn ?

n?2 1 1 从而 an ? 1 ? bn ? ? ? n ? 3 ,所以 bn ? n?3, n?3 bn ? 1

S n ? a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an ?1 ?
∴?

1 1 1 ? ? ??? 4? 5 5? 6 (n ? 3)(n ? 4)

1 1 n ? ? 4 n ? 4 4(n ? 4)
(n ? 4)(n ? 2) 3n ? 8 ? 1? 2 n(n ? 3) n ? 3n

? 4aS n ? bn , ? a ?
设 g ( n) ?

3n ? 8 , (n ? N * ) n 2 ? 3n

8 8 3(n ? ) 2 ? 3 3 ,由于 n ? N * ,所以 g ' (n) ? 0 恒成立, g ' ( n) ? ? (n 2 ? 3n) 2
7

所以 g (n) 递减,所以 g (n) ? 0 ,? a ? 1

8


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