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10、2.1.3 & 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系



2.1.3 & 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

数学来源于生活,服务于生活,立体几何中的问题要注意联系现实生活的实物模型,这样可 以把抽象的问题具体化、形象化.比如 观察教室,教室墙面、地面、天花板均可抽象成平面,把日光灯所在的线段抽象成一条直线. 问题 1:上述问题中日光灯管所在直线与墙面、地面、天花板有何位置关系? 提示:

平行或相交(垂直). 问题 2:假如不小心一支铅笔掉在地面上,那么铅笔所在的直线与地面有何关系? 提示:直线在平面内. 问题 3:上述问题 1、2 中直线与平面的公共点个数如何? 提示:直线与平面平行,无公共点,直线与平面相交只有 1 个公共点,直线在平面内有无数 个公共点.

直线与平面的位置关系

位置关系

直线 a 在 平面 α 内 无数个 公共点 a?α

直线 a 在平面 α 外 直线 a 与平 面 α 相交 一个 公共点 a∩α=A 直线 a 与 平面 α 平行 没有公共点 a∥α

公共点 符号表示

图形表示

-1-

观察拿在手中的两本书,我们可以想象两本书为两个平面. 问题 1:两本书所在的平面可以平行吗?公共点的个数是多少? 提示:可以,无公共点. 问题 2:两本书所在的平面可以相交吗?公共点的个数是多少? 提示:可以,有无数个.

两个平面的位置关系

位置关系 两平面平行

图示

表示法 α∥β

公共点个数 没有公共点 有无数个

两平面相交

α∩β=l

公共点 (在一条 直线上)

1.利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系. (1)当直线与平面无公共点时,直线与平面平行. (2)当直线与平面有一个公共点时,直线与平面相交. (3)当直线与平面有两个公共点时,它们就有无数个公共点,这时直线在平面内. 2.对于平面与平面的位置关系,一般不考虑平面重合.

[例 1] 下列命题: ①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; ③若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线.
-2-

其中真命题是________. [思路点拨] 可按直线与平面位置关系的不同定义逐一判断. [精解详析] 对于①,直线 l 虽然与平面 α 内的无数条直线平行,但 l 有可能在平面 α 内,∴ l 不一定平行于 α,①是假命题.对于②,∵直线 a 在平面 α 外,包括两种情况:a∥α 和 a 与 α 相交,∴a 和 α 不一定平行,②是假命题.对于③,∵直线 a∥b,b?α,则只能说明 a 和 b 无公 共点,但 a 可能在平面 α 内,∴a 不一定平行于 α,③是假命题.对于④,∵a∥b,b?α,那么 a?α 或 a∥α,∴a 与平面 α 内的无数条直线平行,④是真命题. [答案] ④ [一点通] 空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与 平面平行. 在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可 以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出 判断,避免凭空臆断.

1.圆台的母线与圆台的底面的位置关系是( A.相交 C.母线在底面内 B.平行 D.异面

)

解析:圆台的母线与圆台的底面只有一个交点,故其位置关系为相交. 答案:A 2.如图所示,A′B 与长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所 平面有什么位置关系? 解:∵直线 A′B 与平面 ABB′A′有无数个公共点, ∴直线 A′B 在平面 ABB′A′内. ∵直线 A′B 与平面 ABCD, BCC′B′都有且只有一个公共点 B, ∴直线 A′B 与平面 ABCD, BCC′B′相交.∵直线 A′B 与平面 ADD′A′,A′B′C′D′都有且只有一个公共点 A′, ∴直线 A′B 与平面 ADD′A′,A′B′C′D′相交. ∵直线 A′B 与平面 DCC′D′没有公共点, ∴直线 A′B 与平面 DCC′D′平行. 在 的

[例 2] (1)平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行,问 α∥β 是否正确,为什么? (2)平面 α 内的所有直线与平面 β 都平行,问 α∥β 是否正确,为什么? [思路点拨] (1)无数条直线不能代表所有直线, 结合平面与平面平行的定义, 举出反例即可;
-3-

(2)平面 α 内的所有直线与平面 β 都平行,结合平面与平面平行的定义即可判断. [精解详析] (1)不正确.

如图所示,设 α∩β=l,则在平面 α 内与 l 平行的直线可以有无数条:a1,a2,…,an,…, 它们是一组平行线,这时 a1,a2,…,an,…与平面 β 都平行(因为 a1,a2,…,an,…与平面 β 无交点),但此时 α 与 β 不平行,α∩β=l. (2)正确. 平面 α 内所有直线与平面 β 平行,则平面 α 与平面 β 无交点,符合平面与平面平行的定义. [一点通] 两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似, 可以从有无公共点区分: 如果两个平面有一个公共点,那么由公理 3 可知,这两个平面相交于过这个点的一条直线;如果 两个平面没有公共点,那么就说这两个平面互相平行.这样我们可以得出两个平面的位置关系: ①平行——没有公共点;②相交——有且只有一条公共直线.若平面 α 与 β 平行,记作 α∥β;若 平面 α 与 β 相交,且交线为 l,记作 α∩β=l.

3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一 定是( ) B.相交 D.不能确定 交 或 画 两 线 ,

A.平行 C.平行或相交

解析:由分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相 平行.解答本题可逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内 条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行 再作出选择(如图所示). 答案:C

4.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有________组互相平行的 面.与其中一个侧面相交的面共有________个. 解析:六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有 4 组互相平 行的面.六棱柱共有 8 个面围成,在其余的 7 个面中,与某个侧面平行的面有 1 个,其余 6 个面 与该侧面均为相交的关系. 答案:4 6

-4-

[例 3] (12 分)已知:直线 a∥b,a∩平面 α=P.求证:直线 b 与平面 α 相交. [思路点拨] 直接证不易推出时,可考虑尝试反证法,找出矛盾即可. [精解详析] 如图, ∵a∥b,∴a 和 b 确定平面 β, ∵a∩α=P,∴平面 α 和平面 β 相交于过 P 点的直线 l. (4 分)

∵在平面 β 内 l 和两条平行直线 a,b 中的一条直线 a 相交, ∴l 必和 b 相交于 Q, 即 b∩l=Q, (8 分)

又因为 b 不在平面 α 内(若 b 在 α 内,则 α 和 β 都过两相交直线 b 和 l,因此 α 和 β 重合,a 在 α 内,与已知矛盾),故直线 b 和平面 α 相交. (12 分)

[一点通] 对于直线与平面位置关系的判定及应用,当不易直接推证时,可用反证法.

5.如图所示,A∈l,A∈α,B?α,B∈l,求证:直线 l 和平面 α 相 证明:由已知直线 l 和 α 有公共点 A,∴直线 l 不平行于平面 α, ∴假设直线 l 和 α 不相交,则 l?α. ∵B∈l,∴B∈α.这与已知 B?α 矛盾. ∴直线 l 和平面 α 相交.

交.

1.直线在平面外包括(1)直线与平面相交,(2)直线与平面平行. 2.画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行,画两相交平面时 注意被遮挡部分画成虚线.

1.M∈l,N∈l,N?α,M∈α,则有( A.l∥α C.l 与 α 相交 B.l?α

)

D.以上都有可能

解析:由符号语言知,直线 l 上有一点在平面 α 内,另一点在 α 外,故 l 与 α 相交. 答案:C 2.如图所示,用符号语言可表示为( A.α∩β=l
-5-

)

B.α∥β,l∈α C.l∥β,l?α D.α∥β,l?α 解析:显然图中 α∥β,且 l?α. 答案:D 3.下列说法中,正确的有( )

①如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的任意一条直线平行; ②如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内无数条直线垂直; ③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行; ④一条直线上有两点到平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面. A.0 个 C.2 个 B .1 个 D.3 个

解析: 如果一条直线与一个平面平行, 那么这条直线与平面内的直线平行或异面, 所以①错; 如果一条直线与一个平面相交,在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线,那么在这个平面 内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直,有无数条,所以②正确;对于③显然错误;而④, 也有可能相交,所以也错误. 答案:B 4.(2011· 浙江高考)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 解析:若在平面 α 内存在与直线 l 平行的直线,因 l?α,故 l∥α,这与题意矛盾. 答案:B 5 .若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是 ________. 解析:若直线与两平行平面中的一个平行,则直线可能与另一平面平行,也可能在另一个平 面内. 答案:平行或在面内 6.下列命题正确的有________. ①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内; ②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α;
-6-

)

③若直线 l 与平面 α 相交,则 l 与平面 α 内的任意直线都是异面直线; ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交; ⑤若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的直线平行或异面; ⑥若平面 α∥平面 β,直线 a?α,直线 b?β,则直线 a∥b.解析:对②,直线 l 也可能与平面 相交;对③,直线 l 与平面内不过交点的直线是异面直线,而与过交点的直线相交;对④,另一 条直线可能在平面内, 也可能与平面平行; 对⑥, 两平行平面内的直线可能平行, 也可能异面. 故 ①⑤正确. 答案:①⑤ 7.三个平面 α、β、γ,如果 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线 c?β,c∥b. (1)判断 c 与 α 的位置关系,并说明理由; (2)判断 c 与 a 的位置关系,并说明理由. 解:(1)c∥α.因为 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,又 c?β,所以 c 与 α 无公共点,则 c∥α. (2)c∥a.因为 α∥β,所以 α 与 β 没有公共点,又 γ∩α=a,γ∩β=b,则 a?α,b?β,且 a, b?γ,所以 a,b 没有公共点.由于 a、b 都在平面 γ 内,因此 a∥b,又 c∥b,所以 c∥a. 8.如图,已知平面 α∩β=l,点 A∈α,点 B∈α,点 C∈β,且 A?l,B 线 AB 与 l 不平行,那么平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 有什么关系?证明 结论. 解:平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交. 证明:∵AB 与 l 不平行,且 AB?α,l?α,∴AB 与 l 一定相交,设 AB∩l=P,则 P∈AB,P ∈l. 又∵AB?平面 ABC,l?β,∴P∈平面 ABC,P∈β. ∴点 P 是平面 ABC 与 β 的一个公共点,而点 C 也是平面 ABC 与 β 的一个公共点,且 P,C 是不同的两点,∴直线 PC 就是平面 ABC 与 β 的交线. 即平面 ABC∩β=PC,而 PC∩l=P, ∴平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交. ?l, 直 你 的

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