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上海市十三校2015届高三12月联考数学理试题



上海市十三校 2014 年高三调研考数学试卷(理科)
2014.12
一、填空题(本大题满分 56 分,每小题 4 分) 1.函数 f ? x ? ?

4 ? x2 的定义域是___________. | x?2|
1 2

2.幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (4, ) ,则 f ( ) 的值为



1 4

.

cos(? ? ) ? 2sin(? ? ? ) 2 =______________. ? 2 tan(? ? ? ) ? cot( ? ? ) 2 1 1 2 2 ? )] =_________. 4.计算: lim [n ( ? n ??? n n ?1 n ? 2
4 3.已知 cos ? ? ,则 5
5.已知二元一次方程组的增广矩阵是 ?

?

? m 4 m ? 2? ? ,若该方程组无解,则实数 m 的值 m ? ?1 m
. (填

为___________. 6.已知流程图如图所示,为使输出的 b 值为 16,则判断框内①处可以填数字 入一个满足要求的数字即可)

7.已知 x、y ? R? ,且 4 x ? y ? 1 ,求

1 9 ? 的最小值.某同学做如下解答: x y

因为 x、y ? R ,所以 1 ? 4x ? y ? 2 4xy ┄①,

?

1 9 9 ┄②, ? ?2 x y xy

① ? ②得

1 9 1 9 9 ? ? 2 4 xy ? 2 ? 24 ,所以 ? 的最小值为 24。 x y x y xy

判断该同学解答是否正确,若不正确,请在以下空格内填写正确的最小值;若正确, 请在以下空格内填写取得最小值时 x 、 y 的值. . 8. 等差数列 ?an ? 中,a1 ? 2, S10 ? 15 , 记 Bn ?a 2?a 4?a 8? 取得最大值.

?a

2n

, 则当 n ? ____时,Bn

?2x? 的值域是 9.函数 y ? arcsin?1 ? x ? ? arccos

.

10.设正数数列 ?an ? 的前 n 项和是 S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,则

第 1 页 共 8 页

a1 ? d ? __

_.

2 ? ? x ? 3tx ? 18, x ? 3 * 11.已知函数 f ? x ? ? ? ,记 an ? f ? n ? ? n ? N ? ,若 ?an ? 是递减数 ? ?? t ? 13? x ? 3, x ? 3 列,则实数 t 的取值范围是______________. 5? b 为常数) 12. 已知 f ? x ? ? a sin 2x ? b cos 2x (a, , 若对于任意 x ? R 都有 f ? x ? ? f ( ) , 12

则方程 f ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ? ? 内的解为 13.函数 g ( x) ? x ? R ? 的图像如图所示,关于 x 的方程

.

[g ( x)]2 ? m ? g ( x) ? 2m ? 3 ? 0 有三个不同的实数解,
则 m 的取值范围是_______________. 14.已知无穷数列 ?an ? 具有如下性质:① a1 为正整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数 时, an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n .在数列 ?an ? 中,若当 n ? k 时, an ? 1 ,当 2 2
(用 k 表示)

1 ? n ? k 时, an ? 1 ( k ? 2 , k ? N * ) ,则首项 a1 可取数值的个数为
二、选择题(本大题满分 20 分,每小题 5 分) 15.函数 y ? 2x ? log2 x 的零点在区间( (A) ( , ) )内 (C) ( , )

2 1 1 2 (D) ( , ) 5 2 2 3 1 1 2 16.已知 a、 b 为实数,命题甲: ab ? b ,命题乙: ? ? 0 ,则甲是乙的( b a
(B) ( , ) (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要

1 1 4 3

1 2 3 5

)条件

(D)非充分非必要

17.如图,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动, M 是 CD 的中点,

D

M

C P B

y 的函数 y ? f ? x ? 的图像的形状大致是下图中的(
y

则当 P 沿 A ? B ? C ? M 运动时,点 P 经过的路程 x 与 ?APM 的面积 ) .

y

A
y

y

O

1

2 2.5

x

O

1

2 2.5

x

O

2 2.5

x

O

1

2 2.5

x

(A)

(B)

(C)

(D)

* 18.集合 S ? {? x, y , z ? x、y、z ? N ,且 x ? y ? z 、 y ? z ? x 、 z ? x ? y 恰有一个成

立 } ,若 ? x, y, z ? ? S 且 ? z, w, x ? ? S ,则下列选项正确的是( 第 2 页 共 8 页

)

(A) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S (C) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

(B) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S (D) ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

三、解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,第一小题满分 4 分,第二小题满分 8 分) 已知集合 A ? ? x | (1)求集合 A ; (2)若 B

? ?

2x ?1 ? ? 1, x ? R ? ,集合 B ? ? x x ? a ? 1, x ? R? . x ?1 ?

?R A ? B ,求实数 a 的取值范围.

20. (本题满分 14 分,第一小题满分 7 分,第二小题满分 7 分)

3
行列式 ?2

A cos x A sin x 1

A 2 0 cos x

? A ? 0? 按第一列展开得

3M11 ? 2M21 ? M31 ,记函数

1

f ? x ? ? M11 ? M 21 ,且 f ? x ? 的最大值是 4 .
(1)求 A ; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再将所得图像上各点的横坐标扩大为原 12
? ? 11? , ? 12 12 ? ? 上的值域. ?

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 ? ?

21. (本题满分 14 分,第一小题满分 6 分,第二小题满分 8 分) 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,如图:点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄 尾屿,点 C 在点 A 的北偏东 47°方向,点 B 在点 C 的南偏西 36°方向,点 B 在点 A 的南偏 东 79°方向,且 A、B 两点的距离约为 3 海里。 (1)求 A、C 两点间的距离; (精确到 0.01) (2)某一时刻,我国一渔船在 A 点处因故障抛锚发出求救 信号。 一艘 R 国舰艇正从点 C 正东 10 海里的点 P 处以 18 海里/小时的速度接近渔船,其航线为 P ? C ?A(直线 行进) ,而我东海某渔政船正位于点 A 南偏西 60°方向
M Q 北 A B 北 C P

第 3 页 共 8 页

20 海里的点 Q 处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北航行 8 海里至点 M 处,再折 向点 A 直线航行, 航速为 22 海里/小时。 渔政船能否先于 R 国舰艇赶到进行救助?说明理 由. 22. (本题满分 16 分,第一小题满分 4 分,第二小题满分 5 分,第三小题满分 7 分)
2 已知无穷数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Aan ? Ban ? C ,其中 A 、 B 、C 是

常数. (1)若 A ? 0 , B ? 3 , C ? ?2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 A ? 1 , B ?

1 1 ,C ? ,且 an ? 0 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; 16 2

(3)试探究 A 、 B 、 C 满足什么条件时,数列 ?an ? 是公比不为 ?1 的等比数列.

23.(本题满分 18 分,第一小题满分 4 分,第二小题满分 6 分,第三小题满分 8 分) 已知函数 f ? x ? ? log2 ? x ? a ? . (1)若 0 ? f ?1 ? 2 x ? ? f ? x ? ?

1 ,当 a ? 1 时,求 x 的取值范围; 2

(2)若定义在 R 上奇函数 g ( x) 满足 g ? x ? 2? ? ? g ? x ? ,且当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? f ( x) , 求 g ? x ? 在 ??3, ?1? 上的反函数 h ? x ? ; (3)对于(2)中的 g ? x ? ,若关于 x 的不等式 g ( 实数 t 的取值范围。

t ? 2x ) ? 1 ? log 2 3 在 R 上恒成立,求 8 ? 2 x ?3

第 4 页 共 8 页

2014 年高三调研考数学试卷答题纸(理科)
2014.12
题号 得分 一 二 19 20 21 22 23 总分

一、填空题(每小题 4 分,共 56 分) 题 1.

? ?2, 2?
3

2.

_2

3.

12 5

4. 答

5.

?2
8. 4

6. 3 (注:?3, 4 ? 内任意值皆 9.

准考证号

可)

7.

25

?? ? ,? ? ?6 ? ?
2? 3

10. 要

3 4

_

11.

?5 ? ? ,4? ?3 ?
2k ? 2

12.

x?

?
6

或x ?

13.

? 3 4? ?? ,? ? ? 2 3?

14.

不 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

姓名

15. 内

C

16.

B

17.

A

18.

B

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.解: (1)由

2x ?1 x?2 ? 1 ,得 ?0 x ?1 x ?1

………… 2 分 …………2 分

线

所以 A ? ? ?1, 2? (2) ?R A ? ? ??, ?1?

班级

? 2, ???

………… 2 分 ………… 2 分 ………… 2 分

B ? ?a ?1, a ?1?
封 由B

?R A ? B ,得 B ? ?R A

所以 a ? 1 ? ?1 或 a ? 1 ? 2 密 所以 a 的范围为 ? ??, ?2?

?3, ???

………… 2 分

学校

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效

第 5 页 共 8 页

20.解(1) M11 ?

A sin x 0 ? A sin x cos x 1 cos x
A cos x 1 A A 2 2 ? ? A cos x ? 2 cos x

………1 分

M 21 ? ?

………2 分

f ? x? ?

A A 2A ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 4 2A ? 4 ,所以 A ? 4 2 2

………3 分

f max ?

………1 分

? ? 得 y ? 4sin(2 x ? ) ,………2 分 12 12 ? 横坐标变为原来 2 倍得 g ? x ? ? 4sin( x ? ) ………1 分 12 ? 11? ? ? 5? ) ,所以 x ? ? (? , ) ………1 分 因为 x ? (? , 12 12 12 6 6 ? 所以 g ? x ? ? 4sin( x ? ) ? ? ?2, 4? ………3 分 12
(2)向左移

21.解: (1)求得 ?CAB ? 11?, ?ABC ? 115? ,……2 分

AB AC ? ? AC ? 14.25 海里。 ……4 分 sin11? sin115? 14.25 ? 10 ? 1.35 小时。……1 分 (2)R 国舰艇的到达时间为: 18
由 在 V AQM 中, cos 60? ? 得 AM ? 17.44 海里, 所以渔政船的到达时间为:

AQ2 ? MQ2 ? AM 2 400 ? 64 ? AM 2 ? 2 ? AQ ? MQ 320
……4 分

17.44 ? 8 ? 1.16 小时。……1 分 22

因为 1.16 ? 1.35 ,所以渔政船先到。 ……1 分 答:渔政船能先于 R 国舰艇赶到进行救助。 ……1 分

北 C 北 A M Q
第 6 页 共 8 页

P

B

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22.解: (1)由 Sn ? 3an ? 2 ,得 a1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3an ? 3an?1 ,即 所以 an ? ( ) …………1 分

an 3 ? …………2 分 an ?1 2

3 2

n ?1



…………1 分

1 1 1 1 1 an ? ,得 a1 ? a12 ? a1 ? ,进而 a1 ? ,……1 分 4 2 16 2 16 1 1 2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 2 2 1 得 ? an ? an ?1 ? (an ? an ?1 ? ) ? 0 , 2 1 因为 an ? 0 ,所以 an ? an ?1 ? , …………2 分 2
(2)由 S n ? an ?
2

进而 Sn ?

n n ? n ? 1? n 2 ? ? 4 4 4

…………2 分

(3)若数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, ①当 q ? 1 时, an ? a1 , Sn ? na1
2 由 Sn ? Aan ? Ban ? C ,得 na1 ? Aa12 ? Ba1 ? C 恒成立.

所以 a1 ? 0 ,与数列 ?an ? 是等比数列矛盾; ②当 q ? ?1 , q ? 0 时, an ? a1q n?1 , Sn ?
2 由 Sn ? Aan ? Ban ? C 恒成立,

…………1 分

a1 n a q ? 1 ,…………1 分 q ?1 q ?1

得 A?

a12 a a a ? q 2 n ? ( B ? 1 ? 1 ) ? q n ? C ? 1 ? 0 对于一切正整数 n 都成立 2 q q q ?1 q ?1
1 q ? 1或 或 0 , C ? 0 2 q ?1
…………3 分

所以 A ? 0 , B ?

事实上,当 A ? 0 , B ? 1 或

1 或 0 , C ? 0 时, Sn ? Ban ? C 2

a1 ?

C a B ? 0 , n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? Ban ? Ban?1 ,得 n ? ? 0 或 ?1 1? B an ?1 B ? 1 C B 为首项,以 为公比的等比数列 1? B B ?1
第 7 页 共 8 页 …………2 分

所以数列 ?an ? 是以

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23.解: (1)原不等式可化为 0 ? log 2 ? 2 ? 2 x ? ? log 2 ? x ? 1? ?

2 ? 2x ? 2 , 2 ? 2x ? 0 , x ?1 ? 0 x ?1 1 得3? 2 2 ? x ? ………2 分 3
所以 1 ? (2)因为 g ? x ? 是奇函数,所以 g ? 0 ? ? 0 ,得 a ? 1 ①当 x ???3, ?2? 时, ? x ? 2 ??0,1?

1 ………1 分 2

………1 分

……1 分

g ? x ? ? ?g ? x ? 2? ? g ? ?x ? 2? ? log2 ? ?x ?1?
此时 g ? x ? ??0,1? , x ? ?2
g ? x?

………1 分 ………1 分

?1 ,所以 h ? x ? ? ?2x ?1 ? x ? ? 0,1??

②当 x ???2, ?1? 时, x ? 2 ??0,1? , g ? x ? ? ?g ? x ? 2? ? ? log2 ? x ? 3? ………1 分 此时 g ? x ? ?? ?1,0? , x ? 2
? g ? x?

? 3 ,所以 h ? x ? ? 2? x ? 3 ? x ? ? ?1, 0?? ………1 分

综上, g ? x ? 在 ??3, ?1? 上的反函数为 h ? x ? ? ?

??2 x ? 1, x ? ? 0,1? ?x ? 2 ? 3 , x ? ? ?1, 0?

………1 分

(3)由题意,当 x ??0,1? 时, g ? x ? ? log2 ? x ?1? ,在 ?0,1? 上是增函数, 当 x ?? ?1,0? , g ? x ? ? ?g ? ?x ? ? ? log2 ?1 ? x ? ,在 ? ?1,0? 上也是增函数, 所以 g ? x ? 在 ??1,1? 上是增函数, 设 1 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 ?1 ? x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? 1 由 g ? x1 ? 2? ? g ? x2 ? 2? ,得 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 所以 g ? x ? 在 ?1,3? 上是减函数, ……2 分 …………2 分

由 g ? x ? 的解析式知 g (? ) ? g ( ) ? 1 ? log 2 3 设u ?

1 2

5 2

……1 分

t ? 2x t ?1 1 ? ? x ?3 x 8? 2 8 ?1 ? 2 ? 8

t 5 1 t 5 ? ,即 ?1 ? t ? 20 ; 8 2 8 8 2 1 ②当 t ? ?1 时, u ? ? ,满足题意; 8 t 1 t 1 1 ③当 t ? ?1 时, u ? ( , ? ) ,因为 g ? u ? ? g (? ) ,所以 ? ? ,即 ?4 ? t ? ?1 8 2 8 8 第 8 页 共 82 页
①当 t ? ?1 时, u ? (? , ) ,因为 g ? u ? ? g ( ) ,所以 综上,实数 t 的取值范围为 ??4,20? ………………3 分



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