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高中数学必修2知识点



高中数学必修 2 知识点
第一章
1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图
1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于

x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

空间几何体

1.3 空间几何体的表面积与体积
(一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r
2

4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2

2

5 球的表面积 S ? 4?R

2

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 2 锥体的体积 3 台体的体积 4 球体的体积

V ? S底 ? h
V ? 1 S底 ? h 3 1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3 4 V ? ?R 3 3

第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1) 平面的画法: 水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 0 D C 锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平 α 面β 等, 也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对 A B 的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B · α · C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 · L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;

⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

β ∥α

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记 作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β β

3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

第三章
3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率

直线与方程

1、直线的倾斜角的概念:当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向 上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. 2、 倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表 示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率:

斜率公式:

3.1.2 两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们 的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提, 结论 并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们 的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ,且斜率为 k 0 ( x0 , y0 )

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b)

y ? kx ? b
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:已知两点 P 其中 ( x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )

2、直线的截距式方程:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 其中 a ? 0, b ? 0

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1

? x2 , y1 ? y2 )
y 轴的交点为 B (0, b) ,

3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax 2、各种直线方程之间的互化。

? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的交点坐标
1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0

解:解方程组

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

PP 1 2 ?

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

3.3.3 点到直线的距离公式
1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

第四章

圆与方程

1、设圆心为 C (a, b) ,半径为 r ,则标准方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ; 当圆心在原点时,圆的方程为 x ? y ? r ;
2 2 2

2、点与圆的位置关系 (1) x0 ? y0 ? r 2 , ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ,点 P( x0 , y0 ) 在圆内 (2) x0 ? y0 ? r 2 , ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ,点 P( x0 , y0 ) 在圆上 (3) x02 ? y02 ? r 2 , ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ,点 P( x0 , y0 ) 在圆外 3、圆的一般方程
2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 叫做圆的一般方程.它表示
2 2

2

2

2

2

圆心在 ( ?

D E 1 ,? ) ,半径为 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆. 2 2 2

4、二元二次方程表示圆的充要条件

A?C ?0 ? ? B?0 , Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的方程 ? ? ?D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 ?
2 2

而 A ? C ? 0 , B ? 0 仅是二元二次方程表示圆的必要不充分条件.

5、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) (1)几何法:圆心 ( a, b) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2



d ? r ? 直线与圆相交 ? 2 个公共点; d ? r ? 直线与圆相切 ? 1 个公共点; d ? r ? 直线与圆相离 ? 0 个公共点.
(2)代数法:由 ?

Ax ? By ? C ? 0 ? 消元,得到的一元二次方程的判别式为 ? ,则 2 2 2 ?( x ? a) ? ( y ? b) ? r

? ? 0 ? 直线与圆相交; ? ? 0 ? 直线与圆相切; ? ? 0 ? 直线与圆相离.
6、圆与圆的位置关系 圆 C1 : ( x ? a1 ) 2 ? ( y ? b1 ) 2 ? r1 (r1 ? 0) 与圆 C 2 : ( x ? a2 ) 2 ? ( y ? b2 ) 2 ? r2 (r2 ? 0) . (1)几何法:圆心距为 d 1、 d ? r1 ? r2 ? 两圆外离 ? 4 条公切线;0 个公共点 2、 d ? r1 ? r2 ? 两圆外切 ? 3 条公切线;1 个公共点 3、 | r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2 ? 两圆相交 ? 2 条公切线;2 个公共点 4、 d ?| r1 ? r2 |? 两圆内切 ? 1 条公切线;1 个公共点 5、 d ?| r1 ? r2 |? 两圆内含( d ? 0 时为同心圆) ? 四条公切线;0 个公共点 (2)代数法:方程组 ?
2 2

? x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 2 2 ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

有两组不同的实数解 ? 两圆相交; 有两组相同的实数解 ? 两圆相切; 无实数解 ? 两圆相离 7、直线被圆切得的弦长 运用弦心距、半径及弦的一半构成直角三角形,计算弦长 | AB |? 2 r 2 ? d 2 过圆内一点作圆的弦, 最大的弦是过该点的直径, 最小的弦是过该点且与过该点的直径垂直 的弦. 8、结合图象理解,过圆内一点 M 直线 l 被圆 O 截得到的弦长为 2 m ,圆心到直线 l 的距离 为d ?

r 2 ? m 2 ,有如下结论

| OM |? d ,直线 l 有 2 条; | OM |? d ,直线 l 有 1 条; | OM |? d ,直线 l 有 0 条;

9 、过圆外一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线有 2 条,设切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即

kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 .由圆心到直线的距离等于半径,可求得 k ,切线方程即可求出.
若答案只有一个,即直线只有一条,则加上直线 x ? x0 ? 0 10、空间直角坐标系中 点的坐标;点 P( x, y, z ) 关于原点的对称点为 (? x,? y,? z ) ,关于 y 轴的对称点为 (? x, y,? z ) ,关于面 yOz 的对称点为 (? x, y, z ) . 11、空间两点 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z 2 ) 的距离为:

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2
2 2 2 12、 ( x ? x1 ) ? ( y ? y1 ) ? ( z ? z1 ) ? r 或 ( x ? x1 ) 2 ? ( y ? y1 ) 2 ? ( z ? z1 ) 2 ? r 2 表示以

点 ( x1 , y1 , z1 ) 为球心, r 为半径的球



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