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第2课时 余弦定理



第2课时 余弦定理

隧道工程设计,经常要测
算山脚的长度,工程技术 人员先在地面上选一适当 的位置A,量出A到山脚B,
C B

C的距离,再利用经纬仪测

出A对山脚BC(即线段BC)
A

的张角,那么如何求出山 脚的长度BC呢?

已知AB

,AC,角A (两条边及夹角)
山 C B

A

显然,用正弦定理很难解决这个问题,为此我们
来学习——余弦定理

1.了解推导余弦定理的过程. 2.掌握余弦定理的内容及余弦定理的公式 变形;初步对余弦定理进行应用.(重点) 3.能够应用正、余弦定理解决综合问题.

探究点1:余弦定理
在△ABC中,已知边a,b及∠C(为了方便起见,假设∠C 为最大的角),求边c的长. 如果∠C=90°,那么可以用勾股定理求c的长; 如果∠C ≠ 90°,那么是否仍可以用勾股定理来解呢?

下面我们通过构造直角三角形,应用勾股定理 来进行计算.
当∠C为锐角时(图(1)),高AD把Δ ABC分成 两个直角三角形ADB和ADC; 当∠C为钝角时(图(2)),作高AD,则构造了 两个直角三角形ADB和ADC,算出c的关键是先 算出AD和BD(或DC).

A c B D a (1) b C B c

A

b D

a C (2)

考察向量AC在向量BC方向上的正射影数量: 当∠C分别为锐角和钝角时,得到的两个数 量符号相反;当∠C为直角时,其向量AC在 直角边上的正射影的数量为零. 因此,不论∠C是锐角、钝角还是直角,都 有AD=bsinC,BD=a - bcosC.

在Rt△ADB中,运用勾股定理,得 c2 = AD2 + BD2 = b2sin2 C +(a - bcosC)2 = a + b - 2abcosC.
2 2

同理可得 b ? a ? c - 2ac cos B,
2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 - 2bc cos A.

于是,我们得到三角形中边角关系的又一重要定 理: 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边 的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍.



c ? a ? b ? 2ab cos C ,
2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B,
2 2 2

a ? b ? c ? 2bc cos A.
2 2 2

探究点2:余弦定理的推广、运用
显然,余弦定理表述了任意一个三角形中三边长与 三个内角余弦之间的数量关系. 那么应用余弦定理,我们能不能由三角形的三边计 算出三角形的三个角呢?

由a 2 ? b 2 ? c 2 - 2bc cos A可得 b2 ? c 2 - a 2 cos A ? , 2bc
同理可得 c 2 ? a 2 - b2 a 2 ? b2 - c 2 cos B ? , cos C= . 2ca 2ab

综上,我们可以得到余弦定理的另一种形式:

b2 ? c2 - a 2 cos A ? , 2bc 2 2 2 c ? a -b cos B ? , 2ca a 2 ? b2 - c2 cos C= . 2ab
应用以上结果,由三角形的三边长,可以求出
三角形的三个内角.

余弦定理及其推论可以解决怎样的解三角形问题?

1.已知两边及其夹角求第三边及其他两角;
2.已知三边求三角.

例1.如图, 在△ABC中,已知a ? 5, b ? 4, ?C ? 120?, 求c.

解 :由余弦定理,得 c 2 ? a 2 ? b2 - 2ab cos120?,
1 因此c ? 5 ? 4 -2 ? 5 ? 4 ? (- ) ? 61. 2
2 2

注意计算!

例2.如图, 在△ABC中,已知a ? 3, b ? 2, c ? 19, 求此三角形各个角的大小及其面积(精确到0.1).

解 :由余弦定理,得 a 2 ? b2 - c2 cos C ? ? 2ab 32 ? 22 - ( 19) 2 2 ? 3? 2 9 ? 4 -19 1 ? ?- . 12 2
A

c ? 19

b?2
B

a?3

C

因此?C ? 120?.

再由正弦定理,得 3 3× asinC 3 3 2 sinA = = = ? 0.596 0, c 19 2 19
因此∠A ? 36.6°,或∠A ? 143.4°(不合题意,舍去). 因此∠B = 180° -∠A -∠C ? 23.4°.
设BC边上的高为AD,则 AD = csinB = 19sin23.4° ? 1.73.
B 1 所以ΔABC的面积 = × 3×1.73 ? 2.6. 2 A

c ? 19

b?2
a?3
C D

例3.如图,△ABC的顶点为A(6,5),B(-2,8)和 C(4,1),求∠A(精确到0.1°).

解法一:

因为AB = [6 ? ( ? 2)] ? (5 ? 8) ? 73,
2 2

BC = AC =

( ? 2 ? 4) ? (8 ? 1) ? 85,
2 2

(6 ? 4) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 2 5,

在△ABC中,由余弦定理,得

2 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? ? 0.104 7, cos A ? 365 2AB ? AC
所以 ∠A≈84.0°.

解法二:因为 AB =(–8,3), AC =(–2,–4).

(-8) × (-2)+3× (-4) 所以cosA= = 73×2 5 AB ? AC 2 = ? 0.104 7. 365
AB ? AC
所以 ∠A≈84.0°.

1.(2013·安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所对边
的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则

∠C=( B )
π A. 3

B.

2π 3

C.

3π 4

5π D. 6

2.在△ABC中,bcosA=acosB,则三角形为( C ) A.直角三角形 C.等腰三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形

解法一:利用余弦定理将角化为边. b 2 +c2 -a 2 a 2 +c2 -b 2 因为bcosA=acosB,所以b ? =a ? . 2bc 2ac 所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,所以a2=b2,所以a=b,

故此三角形是等腰三角形.

解法二:利用正弦定理将边转化为角.
因为bcosA=acosB,

又b=2RsinB,a=2RsinA,所以2RsinBcosA=
2RsinAcosB,

所以sinAcosB-cosAsinB=0,所以sin(A-B)=0.
因为0<∠A<π,0<∠B<π,

所以-π<∠A-∠B<π,
所以∠A-∠B=0.即∠A=∠B.

故此三角形是等腰三角形.

3.(2012·湖南高考)在△ABC中,AC= B=60°,则BC边上的高等于(
3 A. 2
3 3 B. 2

7 ,BC=2,

)
3+ 39 D. 4

3+ 6 C. 2

解:选B.在△ABC中,由余弦定理可知: AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 即7=AB2+4-2×AB×2× 整理得AB2-2AB-3=0.
1 , 2

解得AB=-1(舍去)或AB=3.
3 3 . 故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°= 2

故选B.

4.在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC

为 钝角三角形 ;
若a2=b2+c2,则△ABC为 直角三角形 ; 若a2<b2+c2且b2<a2+c2且c2<a2+b2, 则△ABC为 锐角三角形 .

1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,

勾股定理是余弦定理的特例.
2.余弦定理的应用范围: ①已知三边求三角; ②已知两边及其夹角,求第三边.

星星——只能白了青年人的发,不能
灰了青年人的心.

——冰心



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