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平面向量1



授课主题

平面向量 1 1、了解关于向量的知识点并熟记 2、能用向量的方法解决一般问题 3、了解数形结合的方法,训练思维 向量的运算及相关关系、向量基的熟练运用

教学目的

教学重点

教学内容

知识梳理

1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小,又有方

向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: 求两个向量和的 加法 运算 三角形法则

a+b=b+a;
(2)结合律:

平行四边形法则

(a+b)+c=

a+(b+c)
求 a 与 b 的相反 向量-b 的和的 减法 运算叫做 a 与 b 的差 (1)|λa|=|λ||a|; (2)当λ>0 时, λa 的方向 求实数λ与向量 a 与 a 的方向相同; 当λ< 数乘 的积的运算 0 时,λa 的方向与 a 的 方向相反; 当λ=0 时, λ 三角形法则

a-b=a+(-b)

λ(μ a)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;

λ(a+b)=λa+λb

a=0

3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得 b=λa.

1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0” ,否则λ可能不存在,也可能有无数个; 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系. [试一试] 1.若向量 a 与 b 不相等,则 a 与 b 一定( A.有不相等的模 ) B.不共线

C.不可能都是零向量 答案:C

D.不可能都是单位向量

2.若菱形 ABCD 的边长为 2,则| AB - CB + CD |=________. 解析:| AB - CB + CD |=| AB + BC + CD |=| AD |=2. 答案:2

1.向量的中线公式 1 若 P 为线段 AB 的中点,O 为平面内一点,则 OP = ( OA + OB ). 2 2.三点共线等价关系

A,P,B 三点共线? AP =λ AB (λ≠0)? OP =(1-t)· OA +t OB (O 为平面内异于 A,P,B
的任一点,t∈R)? OP =x OA +y OB (O 为平面内异于 A,P,B 的任一点,x∈R,y∈R,x+y= 1). [练一练] 1.D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD 等于( 1 A.- BC + BA 2 1 C. BC - BA 2 )

1 B.- BC - BA 2 1 D. BC + BA 2 答案:A

2.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λb 与-(b-3a)共线,则λ=________. 解析:由题意知 a+λb=k[-(b-3a)],

? ?λ=-k, 所以? ? ?1=3k,

1 ? k= , ? 3 解得? 1 λ =- ? ? 3.

答案:-

1 3

考点一

向量的有关概念

1.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条 件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是( A.②③ C.③④ 解析:选 A ) B.①② D.④⑤ ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点,

∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形, 则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |,因此, AB = DC . ③正确.∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a =b 的充要条件,而是必要不充分条件. ⑤不正确.考虑 b=0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A. 2.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a =|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:选 D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故① 是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=- |a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是 3. [类题通法] 平面向量中常用的几个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图像的平移 混为一谈.

(3) 是与 a 同向的单位向量, 是与 a 反向的单位向量. |a| -|a|

a

a

考点二

向量的线性运算

[典例] A.0 C. AD

(1)如图,在正六边形 ABCDEF 中, BA + CD + EF = B. BE D. CF

(

)

1 2 (2)(2013·江苏高考)设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC.若 DE 2 3 =λ1 AB +λ2 AC (λ1,λ2 为实数),则λ1+λ2 的值为________. [解析] (1)如图,∵在正六边形 ABCDEF 中, CD = AF , BF = CE ,

∴ BA + CD + EF = BA + AF + EF = BF + EF = CE + EF = CF . 1 2 1 2 1 2 (2)由题意 DE = DB + BE = AB + BC = AB + ( BA + AC )=- AB + AC , 2 3 2 3 6 3 1 2 1 所以λ1=- ,λ2= ,即λ1+λ2= . 6 3 2 [答案] (1)D (2) 1 2

1 若 (2) 条件变为:若 AD = 2 DB , CD = CA + λ 3

CB ,则λ=________.

解析:∵ CD = CA + AD , CD = CB + BD , ∴2 CD = CA + CB + AD + BD . 又∵ AD =2 DB , 1 ∴2 CD = CA + CB + AB 3 1 = CA + CB + ( CB - CA ) 3 2 4 = CA + CB . 3 3 1 2 2 ∴ CD = CA + CB ,即λ= . 3 3 3 2 答案: 3 [类题通法] 在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角 形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为 与已知向量有直接关系的向量来求解. [针对训练] 若 A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下列式子: ① AB + CD = BC + DA ;② AC + BD = BC + AD ; ③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 )

解析: 选 C ①式的等价式是 AB - BC = DA - CD , 左边= AB + CB , 右边= DA + DC ,

不一定相等;②式的等价式是 AC - BC = AD - BD , AC + CB = AD + DB = AB 成立;③ 式的等价式是 AC - DC = AB + BD , AD = AD 成立.

考点三

共线向量定理的应用

[典例]

设两个非零向量 a 与 b 不共线,

(1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线. (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. [解] (1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b),

∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ∴ AB , BD 共线, 又∵它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. (2)∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb. ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk-1=0, ∴k2-1=0.∴k=±1.

[类题通法] 1.共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值. (2)若 a,b 不共线,则λa+μb=0 的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非 常广泛. 2.证明三点共线的方法 若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线. [针对训练] 已知 a,b 不共线, OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, OE =e,设 t∈R,如果 3a=c,2b =d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值, 若不存在,请说明理由. 解:由题设知, CD =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb,C,D,E 三点在一条直线 上的充要条件是存在实数 k,使得 CE =k CD ,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. ? ?t-3+3k=0, 因为 a,b 不共线,所以有? ? ?t-2k=0, 6 解之得 t= . 5 6 故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上. 5

[课堂练通考点] 1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③λa=0(λ为实数),则λ必为零. ④λ,μ为实数,若λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误的命题的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 C ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点. ②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故 可以比较大小. ③错误,当 a=0 时,不论λ为何值,λa=0. ④错误,当λ=μ=0 时,λa=μb=0,此时,a 与 b 可以是任意向量.故选 C. 2.如图,已知 AB =a, AC =b, BD =3 DC ,用 a,b
AD =(

表 示 AD , 则

) 1 3 B. a+ b 4 4 3 1 D. a+ b 4 4 ∵ CB = AB - AC =a-b,又 BD =3 DC ,

3 A.a+ b 4 1 1 C. a+ b 4 4 解析:选 B

1 1 1 1 3 ∴ CD = CB = (a-b),∴ AD = AC + CD =b+ (a-b)= a+ b. 4 4 4 4 4 3.(2013·贵阳监测考试)已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,但 a+b 与 c 共线,且 b +c 与 a 共线,则向量 a+b+c=( A.a C.c ) B.b D.0

解析:选 D 依题意,设 a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即 a-c =mc-na.又 a 与 c 不共线,于是有 m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0,选 D. 4.(2013· “江南十校”联考)如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠A 的平分线交 为( )

BC 于 D,若 AB=4,且 AD = AC +λ AB (λ∈R),则 AD 的长
4 A.2 C.4 3 3 B.3 D.5 3 3

1

解析:选 B

1 因为 B,D,C 三点共线,所以有 +λ=1,解得 4

λ= ,如
4 1 = AC , 4

3

图, 过点 D 分别作 AC, AB 的平行线交 AB, AC 于点 M, N, 则 AN 3 AM = AB ,经计算得 AN=AM=3,AD=3 4

3.

课堂小结

课下提升

1.设 a、b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

)

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得 b=λa D.若存在实数λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 解析:选 C 对于 A,可得 cos

a,b a,b

1,因此 a⊥b 不成立;对于 B,满足 a⊥b 时 1,因此成立,而 D 显然不一定成立.

|a+b|=|a|-|b|不成立;对于 C,可得 cos

2.设 D,E,F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC =2 BD , CE =2 EA ,
AF =2 FB ,则 AD + BE + CF 与 BC (

)

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

解析:选 A

1 由题意得 AD = AB + BD = AB + BC , 3

1 BE = BA + AE = BA + AC , 3 1 CF = CB + BF = CB + BA , 3 1 因此 AD + BE + CF = CB + ( BC + AC - AB ) 3 2 1 = CB + BC =- BC , 3 3 故 AD + BE + CF 与 BC 反向平行. 1 3.(2014·哈尔滨四校联考)在△ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 AN = NC ,P 是 BN 上的 2 2 一点,若 AP =m AB + AC ,则实数 m 的值为( 9 1 A. 9 C.1 解析:选 B 1 B. 3 D.3 1 1 如图,因为 AN = NC ,所以 AN = AC , 2 3
AP = m AB

)

2 2 2 + AC =m AB + AN ,因为 B、P、N 三点共线,所以 m+ 9 3 3 1 = . 3

=1,所以 m

4.(2014·山师大附中模拟)已知平面内一点 P 及△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则点 P

与△ABC 的位置关系是(

)

A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 BC 上 C.点 P 在线段 AC 上 D.点 P 在△ABC 外部

解析: 选 C 由 PA + PB + PC = AB 得 PA + PC = AB - PB = AP , 即 PC = AP - PA = 2 AP ,所以点 P 在线段 AC 上,选 C. 5.(2014·大连高三双基测试)设 O 在△ABC 的内部,且有 OA +2 OB +3 OC =0,则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( A.3 ) . 5 3 3 2

C.2 解析: 选A

.

设 AC, BC 的中点分别为 M, N, 则已知条件可化为( OA + OC )+2( OB + OC )

=0,即 OM +2 ON =0,所以 OM =-2 ON ,说明 M,O,N 共线,即 O 为中位线 MN 上的

2 21 1 靠近 N 的三等分点,S△AOC= S△ANC= · S△ABC= S△ABC,所以 3 32 3

S△ABC
=3.

S△AOC

6. (2013·淮阴模拟)已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使得 AB +

AC =m AM 成立,则 m=________.
2 解析:由题目条件可知,M 为△ABC 的重心,连接 AM 并延长交 BC 于 D,则 AM = AD , 3 因为 AD 为中线,则 AB + AC =2 AD =3 AM ,所以 m=3. 答案:3

7.(2013·大庆模拟)已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点,且向量 OA ,OB ,OC ,OD 满足等式 OA + OC = OB + OD ,则四边形 ABCD 的形状为________. 解析:∵ OA + OC = OB + OD ,∴ OA - OB = OD - OC , ∴ BA = CD ,BA 綊 CD,∴四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 8.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =a, CA =b,给出下 1 1 1 1 列命题:① AD = a-b;② BE =a+ b;③ CF =- a+ b;④ AD + BE + CF =0. 2 2 2 2 其中正确命题的个数为________. 1 1 解析: BC =a, CA =b, AD = CB + AC =- a-b,故①错; 2 2 1 1 BE = BC + CA =a+ b,故②错; 2 2 1 1 CF = ( CB + CA )= (-a+b) 2 2 1 1 =- a+ b,故③正确; 2 2 1 1 1 1 ∴ AD + BE + CF =-b- a+a+ b+ b- a=0. 2 2 2 2 ∴正确命题为②③④. 答案:3 9.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2, 求证:A、C、D 三点共线;

(2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2,CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. 解:(1)证明:∵ AB =e1-e2, BC =3e1+2e2,

CD =-8e1-2e2,
∴ AC = AB + BC =4e1+e2 1 1 =- (-8e1-2e2)=- CD , 2 2 ∴ AC 与 CD 共线. 又∵ AC 与 CD 有公共点 C,∴A、C、D 三点共线. (2) AC = AB + BC =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, ∵A、C、D 三点共线,∴ AC 与 CD 共线,从而存在实数λ使得 AC =λ CD ,即 3e1-2e2=λ ? ?3=2λ, (2e1-ke2),得? ? ?-2=-λk, 3 4 解得λ= ,k= . 2 3 2 10.如图所示, 在△ABC 中, D, F 分别是 BC, AC 的中点,AE = AD , 3
AB =a, AC =b.

(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线. 解:(1)延长 AD 到 G, 1 使 AD = AG , 2 连接 BG,CG,得到?ABGC,

所以 AG =a+b, 1 1 AD = AG = (a+b), 2 2 2 1 AE = AD = (a+b), 3 3 1 1 AF = AC = b, 2 2 1 1 BE = AE - AB = (a+b)-a= (b-2a), 3 3 1 1 BF = AF - AB = b-a= (b-2a). 2 2 2 (2)证明:由(1)可知 BE = BF ,又因为 3
BE , BF 有公共点 B,

所以 B,E,F 三点共线.



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