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宁夏银川市第二中学2016届高三上学期统练(五)数学(文)



银川二中 2016 届高三年级第五次月考 数 学 试 卷(文)
第Ⅰ卷 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)
2 1.已知集合 A ? x x ? 4 x ? 3 ? 0

?

?,

B ? x 2 ? x ? 4 ?则 A ? B ? (
D. (2,4) )

?

)

A. (1,3)
0

B. (1,4)
0

C. (2,3)

2.cos80 cos 130°—sin80 sin130°等于( A. -

3 2

B. -

1 2

C.

1 2

D.

3 2

3.设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ,则 a9 的值为( A.15 B.17 C.49



D.64 )

4.曲线 y ? e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.2 B.1 C.e D.

1 e

5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试 成 绩 分 为 6 组 : ?40,50? ,

?50,60? , ?60,70?

,

?70,80?

,

?80,90?

, ?90,100? 加以统计 , 得到如图所示的频率分布直方

图,已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不 少于 60 分的学生人数为( A. 588 B. 480 ) D. 120

C. 450

6.已知直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 2) x ? ay ? 2 ? 0 平行,则 a 的值是( ) A.

3 2

B.

3 或0 2

C.-

2 3

D. ?

2 或0 3

7.平面向量 a 与向量 b 满足 a ? (a ? b) ? 3 ,且 a ? 2, b ? 1 ,则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
·1·

8.如图, F 1、F 2 是双曲线

x2 y 2 - =1(a >0,b>0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的右左两支分 a 2 b2

别交于点 A、B 两点.若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为( ) B. 7

A.4

C.

2 3 3

D. 3

9.用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, ? 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ; ③若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b ; 其中的正确命题是( A.①② ) C.②③ D.③④ ②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ④若 a ⊥ ? , b ⊥ ? ,则 a ∥ b

B.①④

?x ? y ? 4 ? 10.已知点 P ( x, y )满足? y ? x ,过点 P 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 14 相交于 A, B 两点,则 AB 的最 ?x ? 1 ?
小值为( A. 2 11.若椭圆 ) B. 2 6 C. 2 5 D.4

b x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 x 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 , (c 为椭圆的半焦距),有四个不同的交 2 2 a b
) C. (

点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. (

5 3 , ) 5 5

B. (
x

2 5 , ) 5 5
2

2 3 , ) 5 5

D. (0,

5 ) 5


12.若函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a ? m ? 2( a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则 m 的取值范围是( A. (?1,3) B. (?3,1) C. (3,??) D. (??,?1) 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答 题卡中横线上)
·2·

13.对某同学的 6 次数学测试成绩(满分 100 分)进行统计, 作出的茎叶图如图所示,给出关于该同学数学成绩的以下说法: ①中位数为 84; ②众数为 85;③平均数为 85; ④极差为 12; 其中,正确说法的序号是__________ 14. 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 8 ,则焦点到准线的距离为
2

___________ 15. 函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为_______. 16.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观 图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原 直三棱柱的体积的______________

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x ? sin( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 [0,

?
2

) (? ? 0 ) .

2? ] 上的取值范围. 3

18.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC =90°.

·3·

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

19.(本小题满分 12 分) 已知 S n 为等比数列的前 n 项和,且 a1 ? a3 ? 5 , a2 ? a4 ? 10 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a7 +7, a 2 k ,- S k 成等差数列,求正整数 k 的值

20. (本题满分 12 分)

x2 y2 3 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 直线 y ? x 被椭圆 C 截 2 a b
得的弦长为 4 10 。
5

(1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点 ( A, B 不是椭圆 C 的顶点 ) 。点 D 在椭圆 C 上,且

AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点。求 ?OMN 面积的最大值。
2 21.本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2a ? 1) x ,其中 a 为常数,且 a ? 0.

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且在 (0, e] 的最大值为 1,求 a 的值.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

·4·

如图, 在 ?ABC 中, ?B ? 90 , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于 D ,
0

过点 D 作圆 O 的切线交 BC 于 E , AE 交圆 O 于点 F . (1)证明: E 是 BC 的中点; (2)证明: AD ? AC ? AE ? AF .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单位相同; 曲线 C 的方程是 ? ? 2 2 sin(? ?

?

? x ? 1 ? t cos? 0?? ?? ) ), 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, , 4 ? y ? 2 ? t sin ?

设 P(1,2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点. (1)当 ? ? 0 时,求 AB 的长度; (2)求 PA
2

? PB 的取值范围.

2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 , g ( x) ? ? x ? 3 ? m . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0(a ? R) ; (2)若函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

·5·

银川二中 2016 届高三年级第五次月考数学(文)答案 一.选择题: 1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.D 11A 12.A 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分: 13--①③--14 ---4---15 -----1--16---1/2----

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 试题解析: (1) f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 2 3 sin x ? cos x

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1
? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
所以 f ( x) 的最小正周期为

?

T?

2? ?? 2

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 (2)解: x ? [0,
因为

?

2? ? ? 7? ] 2 x ? ? [? , ] 3 , 所以 6 6 6 ,

2sin(2 x ? ) ? [?1, 2] 6 所以 [0,

?

所以 f ( x) ? [0,3]

即 f ( x) 在区间

2? ] 3 上的取值范围是 [0,3] .

18.[解析] (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高. ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D,∴AD⊥平面 BDC, ∵AD?平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1, ∴AB=BC=CA= 2,
·6·

1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= , 2 2 1 3 S△ABC= × 2× 2×sin60°= , 2 2 1 3 3+ 3 ∴三棱锥 D-ABC 的表面积 S= ×3+ = . 2 2 2

19. (本小题满分 12 分) 20.(本小题满分 12 分) 解析: (1)由题意知,

(1)

2 n ?1

(2)

3

c ? a

a2 ? b2 3 2 2 ,可得 a ? 4b ? a 2
5 a 5

联立 ?

?x 2 ? 4 y 2 ? a 2 ?y ? x

得x ??

所以 AB ? 1 ? 1

2 5a 4 10 ,解得 a ? 2 ? 5 5

所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1。 4

(2)设 A( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则 B(? x1 ,? y1 ) 所以 k AB ?

y1 x ,且 AB ? AD ,所以 k AD ? ? 1 x1 y1

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0, m ? 0

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4m ? 4 ? 0 ?x 2 ? ? y ?1 ?4
所以 x1 ? x 2 ? ? 所以

8mk 2m , y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

k BD ?

y1 ? y 2 y 1 ?? ? 1 x1 ? x2 4k 4 x1 y1 ( x ? x1 ) 4 x1
·7·

所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

令 y ? 0 得 x ? 3x1 ,即 M (3x1 ,0) 。令 x ? 0 得 y ? ? 所以 S ?OMN ?

3 3 y1 ,即 N (0,? y1 ) 4 4

1 3 9 ? 3 x1 ? y1 ? x1 y1 2 4 8

2 x1 x1 2 2 又因为 x1 y1 ? 时,等号成立。 ? y1 ? 1 ,当且仅当 ? y1 ? 4 2 2

所以 ?OMN 面积的最大值为

9 。 8

21(本小题满分 12 分)

f ( x) ? mx ? 2 x 2 ? 5 x, f ?( x) ?
试题解析: (1) 或 1,则

1 (4 x ? 1)( x ? 1) 1 ? 4x ? 5 ? x ? ? x x 4 ,令 f ( x) ? 0 ,得

x
f ?( x )

1 (0, ) 4
+ 增

1 4
0 极大值

1 ( ,1) 4


1
0 极小值

(1, ??)
+ 增

f ( x)

所以 f ( x ) 在

1 1 (0, ) [ ,1] (1, ?? ) 4 和 上单调递增,在 4 上单调递减.

? f( ? x) ?
(2)

? 2ax ? 1?? x ? 1?
x
,令

f( ? x) ? 0,x1 ? 1,x2 ?

1 f x) 2a ,因为 ( 在 x ? 1 处取得极值,

所以

x2 ?

1 ? x1 ? 1, 2a

1 ?0 f x) (, 1 e] 上单调递减,所以 ( f x) (, 1 e] 上的最大值 (0, 1) ① 2a 时, ( 在 上单调递增,在 在区间
f 1 ), f 1 ? 1 ,解得 a ? ?2 ; 为( 令 ()

②当

a ? 0,x2 ?

1 ?0 2a ;

·8·

1 1 1 ?1 (0, ) ( , 1) ( f x ) ( 1,e) 2 a 上单调递增, 2 a 上单调递减, (i)当 2 a 时, 在 上单调递增 x?
所以最大值 1 可能在

1 2 a 或 x=e 处取得,

( f


1 1 1 2 1 1 1 ) ? ln ?( a )? (2a ? 1) ? ? ln ? ?1 ? 0 2a 2a 2a 2a 2a 4a , 1 e?2 ,

?( f e) ? lne ? ae 2 ? (2a ? 1)e ? 1, ?a ?

1?
(ii)当

1 1 1 (1, ) ( , e) ?e f x) 2a 时, ( 在区间(0,1)上单调递增; 2 a 上单调递减, 2 a 上单调

递增,所以最大值 1 可能在 x=1 或 x=e 处取得



() f 1 ? ln1 ? a ? ? 2a ?1? ? 0
1 ?e 2a 矛盾; x2 ?

f e) ? lne ? ae ? (2a ? 1 )e ? 1 ,解得 ,所以 (
2

a?

1 e ? 2 ,与

1 ? x2 ?

(iii)当

1 ?e 2a 时,f(X)在区间(0,1)上单调递增,在(1,e)单调递减,

所以最大值 1 可能在 x=1 处取得,而

() f 1 ? ln1 ? a ? ? 2a ?1? ? 0

,矛盾,

a?
综上所述,

1 e ? 2 或 a ? ?2 .

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BD ,因为 AB 为⊙O 的直径,
? 所以 BD ? AC ,又 ?B ? 90 ,所以 CB 切⊙O 于点 B ,

且 ED 切于⊙O 于点 E ,因此 EB ? ED ,

?EBD ? ?EDB



?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C ,
所以 ?CDE ? ?C ,得 ED ? EC ,因此 EB ? EC ,
·9·

即 E 是 BC 的中点 (Ⅱ)证明:连接 BF ,显然 BF 是 Rt ?ABE 斜边上的高,

AFB ,于是有 可得 ?ABE ∽ ?A
即 AB ? AE ? AF ,
2

AB AE ? , AF AB

2 同理可得 AB ? AD ? AC ,所以 AD ? AC ? AE ? AF

23. (本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)曲线 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 当 ? ? 0 时,直线 l : y ? 2 , | AB |? 2 (Ⅱ)设 t1 , t 2 为相应参数值, t 2 ? (4 cos? ? 2 sin ? )t ? 3 ? 0 , 由 ? ? 0 ,得

3 ? sin 2 (? ? ? ) ? 1 5

?t1 ? t 2 ? ?(4 cos? ? 2 sin ? ) ? ?t1t 2 ? 3
| PA |2 ? | PB |2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 2t1t 2 ? (4 cos? ? 2 sin ? ) 2 ? 8 ? 20sin 2 (? ? ? ) ? 6 | PA |2 ? | PB | 2 ? (6,14]
24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时,解集为 x ? 2 ,即 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? 1 时,解集为全体实数 R , 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1) ? (3 ? a, ??) (Ⅱ) f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成立, 即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立, 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,

·10·

于是得 m ? 5 ,即 m 的取值范围是 ( ??,5)

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·11·



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