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2014年湖北高考理科数学试卷(word版本)



2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理科) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。

1.为虚数单位,则 ( A. ? 1

1? i 2 ) ?( 1? i
C. ? i



B.<

br />
D. )

2. 若二项式 ( 2 x ?

a 7 1 ) 的展开式中 3 的系数是 84,则实数 a ? ( x x

A.2

B.

5

4

C. 1

D.

2 4


3. 设 U 为全集, A, B 是集合,则“存在集合 C 使得 A ? C , B ? CU C 是“ A ? B ? ? ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 4.根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5
? 0 .5

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6 0.5

7
? 2 .0

8
? 3 .0

? ? bx ? a ,则( 得到的回归方程为 y
A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0

) C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0.b ? 0

5.在如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2) , (2,2,0) , (1,2,1) , (2,2,2) ,给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

第1页

A. ①和②

B.③和①

C. ④和③

D.④和②

6.若函数 f ( x), g ( x)满足 ① f ( x) ? sin

?

1 ?1

f ( x) g ( x)dx ? 0, 则称f ( x), g ( x)为区间?? 1,1? 上的一组正交函数,给出三组函数:

1 1 x, g ( x) ? cos x ;② f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ? 1 ;③ f ( x) ? x, g ( x) ? x 2 2 2


其中为区间 [ ?1,1] 的正交函数的组数是( A.0 B.1 C.2 D.3

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 7.由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? ,确定的平面区域记为 ? 2 ,在 ?1 中随 ? x ? y ? ?2 ?y ? x ? 2 ? 0 ?
机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为( A. )

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中 记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算其体积 V 的近似公式 v ? 式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? A.

1 2 L h. 它实际上是将圆锥体积公 36


2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中的 ? 近似取为( 75

22 7

B.

25 8

C.

157 50

D.

355 113

9.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点,且 ?F1PF2 ? 倒数之和的最大值为( A. ) C.3 D.2

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的

4 3 3

B.

2 3 3

第2页

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案天灾答题卡对应题号的位 置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.设向量 a ? (3,3) , b ? (1, ?1) ,若 a ? ? b ? a ? ? b ,则实数 ? ? ________. 12.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C : x 2 ? y 2 ? 1 分成长度相等的四段弧,则 a 2 ? b 2 ? ________. 13.设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为

?

? ?

?

I ? a ? ,按从大到小排成的三位数记为 D ? a ? (例如 a ? 815 ,则 I ? a ? ? 158 , D ? a ? ? 851 ).阅读如图所示的
程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 a ,输出的结果 b ? ________.

14.设 f ? x ? 是定义在 ?0,?? ? 上的函数,且 f ? x ? ? 0 ,对任意 a ? 0, b ? 0 ,若经过点 ?a, f ?a ??, ?b, f ?b ?? 的直线与

x 轴的交点为 ?c,0? ,则称 c 为 a, b 关于函数 f ? x ? 的平均数,记为 M f (a, b) ,例如,当 f ? x ? ? 1( x ? 0) 时,可
得 M f ( a, b) ? c ?

a?b ,即 M f (a, b) 为 a, b 的算术平均数. 2

(1)当 f ? x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a, b 的几何平均数; (2)当当 f ? x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a, b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

2ab ; a?b

(二)选考题 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,P 为⊙ O 的两条切线, 切点分别为 A, B , 过 PA 的中点 Q 作割线交⊙ O 于 C , D 两点, 若 QC ? 1, CD ? 3, 则 PB ? _____

第3页

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)

?x ? t ? x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 以坐标原点为极点, 曲线 C2 3t ?t为参数 ? , y ? ? 3 ?
的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________

17、 (本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位:

) 随 时 间 ( 单 位 ;h ) 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ;

(1) 求实验室这一天的最大温差; (2) 若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?

18(本小题满分 12 分) 已知等差数列 满足: =2,且 , (1) 求数列 的通项公式.

成等比数列.

(2) 记 为数列 的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 在,说明理由.

若存在,求 n 的最小值;若不存

第4页

19(本小题满分12分) 如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F , M , N 分别是棱 AB, AD, A1 B1 , A1 D1 的中点,点
P, Q 分别在棱 DD1 , BB1 上移动,且 DP ? BQ ? ? ?0 ? ? ? 2 ? .

(1)当 ? ? 1 时,证明:直线 BC1 平面 EFPQ ; (2)是否存在 ? ,使平面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说 明理由.

20.(本小题满分 12 分) 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X (年入流量: 一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年 的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系;

若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年 总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

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21.(满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F ?1, 0 ? 的距离比它到 y 轴的距离多 1,记点 M 的轨迹 为 C. (1)求轨迹为 C 的方程 (2)设斜率为 k 的直线过定点 p ? ?2,1? ,求直线与轨迹 C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时 k 的相 应取值范围。

第6页



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