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黑龙江省大庆实验中学2011年高考(数学理)考前得分训练五



大庆实验中学 2011 年数学科考前得分训练(五)
命题:杜山 审校:姜本超 谢莉莎 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 II 卷第 22--24 题为选考题, 其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? A. 4
1? i 1? i

, z 是 z 的共轭复数,则 z 等于( B.2 )
2

) D.
1 2

C.1

2.下列命题中正确的是(
2

(A) 命题“ ? x∈R , x ? x ≤0”的否定是“ ? x∈R , x ? x ≥0”; (B)命题“p∧q 为真”是命题“p∨q 为真”的必要不充分 条件; (C)若“ a m ? b m ,则 a ? b”的否命题为真;
2 2

(D)若实数 x,y∈[-1,1],则满足 x ? y ? 1 的概率为
2 2

?
4

.
?
4 ) 等于(

3. 已知向量 a ? (c o s ? , ? 2 ), b ? (s in ? ,1), 且 a / / b, 则 ta n (? ? A. 3 B. ? 3 C.
1 3

?

?

?

?



D. ?

1 3

4.如果运行如右图的 程序框图,那么输出的结果是( ) (A) 1,8,16 (B) 1,7,15 (C) 2,10,18 (D)1,9,17 5.已知 ta n (? ?
?
4 )? 1 2

,且 ?

?
2

?? ? 0

,则

2 s in ? ? s in 2 ?
2

c o s (? ?
3 10 10

?
4

?





)

A. ?

2 5 5

B. ?

3 5 10

C. ?

D.

2 5 5

2 6.右图是一个几何体的三视图,根 据图中数据,可得该几何体的表面积 是( ) 3 A. 9 π B. 1 0 π C. 1 1π 2 2 7.数列{an}的前 n 项和 Sn = n2 + n + 1;bn = (-1)n an(n∈N*) ;则数列{bn}的前 50 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 项和为( ) 49 B 50 C 99 D 100 8.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 A 产品过程中记录 的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应 数据.根据右表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 为 y ? 0 .7 x ? 0 .3 5 ,那么表中 t 的值为
?

A

A.3

( ) B.3.15

C.3.5

D.4.5

9. 设函数 f ? x ? ? x sin x ? c o s x 的图像在点 ? t , f ? t ? ? 处切线的斜率为 k , 则函数 k ? g ? t ? 的 部分图像为( )

27, 10.等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 S 2 n ? 4( a1 ? a3 ?... ? a n1?), 1a 2a 3a ? 2

则6 a ? (



(A)27

(B)81

(C) 243

(D) 729

11.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,在[0,2]上 f ( x ) 是增函 数,则下列结论:①若 0 ? x1 ? x 2 ? 4 且 x 1 ? x 2 ? 4 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ;②若
0 ? x1 ? x 2 ? 4 , 且 x1 ? x 2 ? 5, 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ③若方程 f ( x ) ? m 在[-8, 8]内恰有四个不

同的角 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,则 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? 8 ,其中正确的有 ( A.0 个 B.1 个 C.2 个



D.3 个

??? ? ??? ? ???? 12.已知点 G 是 ? A B C 的重心,点 P 是 ? G B C 内一点,若 A P ? ? A B ? ? A C , 则 ? ? ? 的取值

范围是 A. ( ,1)
2 1




2 3

B. ( ,1)

C. (1, )
2

3

D. (1,2)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
?x ? y ? 5 ? 0 ? 13.实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,那么目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最小 值是______. ?x ? 3 ?

14. 某 班 有 50 名 学 生 , 一 次 考 试 的 成 绩 ? ( ? ? N ) 服 从 正 态 分 布 N (1 0 0,1 0 ) . 已 知
2

P ( 9 0? ? ? 1 0 0 ) ?

0,估计该班数学成绩在 110 分以上的人数为______________. .3

15.函数 y ? sin x , y ? cos x 在区间 (

?
4

,

5? 4

) 内围成图形的面积为

16.给出下列命题: ①若 a,b,c 分别是方程 x + log3x = 3,x + log4x = 3 和 x + log3x = 1 的解,则 a>b>c; ②定义域为 R 的奇函数 f(x)满足 f(3 + x)+ f(1 - x)= 2,则 f(2010)= 2010; ③方程 2sinθ = cosθ 在 [0,2π)上有 2 个根;

④已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,若 S7>S5,则 S9>S3; 其中真命题的序号是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多
2

分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
5

p (p ?

1 2

) ,且各局胜负相互独立.已知

第二局比赛结束时比赛停止的概率为 .
9

(1)求 p 的值; (2)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E ? . 18. (本小题共 12 分) 在如图的多面体中, E F ⊥平面 A E B , A E ? E B , A D // E F , E F // B C , A
BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 ,
G 是 B C 的 中点.
D

(Ⅰ) 求证: A B // 平面 D E G ; (Ⅱ) 求证: B D ? E G ; (Ⅲ) 求二面角 C ? D F ? E 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)
? 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 4 , a n ? 1 ? 3 a n ? 2 n ? 1 ? 4 n . ( n B N * )

E

F

G
n ?1

C

(1) 李四同学欲求 { a n } 的通项公式, 他想, 如能找到一个函数 f ( n ) ? A ? 2

? B ?n ? C ,

( A、 B 、 C 是常数)把递推关系变成 a n ? 1 ? f ( n ? 1) ? 3[ a n ? f ( n )] 后,就容易求出
{ a n } 的通项了.请问:他设想的 f ( n ) 存在吗? { a n } 的通项公式是什么?
* (2)记 S n ? a 1 ? a2 ? a ? ? ? a n ,若不等式 S n ? n 2 ? p ? 3 n 对任意 n ? N 都成立,求实 3

数 p 的取值范围. 20. (本小题 12 分) 过 x 轴上动点 A ( a , 0 ) 引抛物线 y ? x ? 1 的两条切线 A P 、 A Q , P 、 Q 为切点.
2

(1)若切线 A P , A Q 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,求证: k 1 ? k 2 为定值,并求出定值; (2)求证:直线 P Q 恒过定点,并求出定点坐标;
???? ??? ? S ?APQ (3)当 ???? 最小时,求 A Q ? A P 的值. | PQ |
y

Q A O

20.过 x 轴上动点 A ( a , 0 ) 引抛物线 y ? x ? 1 的两条切线 A P 、 A Q , P 、 Q 为切
2

P
x

点. (1)若切线 A P , A Q 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,求证: k 1 ? k 2 为定值,并求出定值; (3)当 ???? 最小时,求 A Q ? A P 的值.
| PQ | S ?APQ
???? ??? ?

21. (本小题满分 12 分)

已知定义在(0,+∞)上的三个函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? x ? a f ( x ), h ( x ) ? x ? a x ,
2

且 g ( x ) 在 x ? 1 处取得极值。 (1)求 a 的值及函数 h ( x ) 的单凋区间;
4 2 ? f (x)

(2)求证:当 1 ? x ? e 时 , 恒 有 x ? 1 ?
2

成立;

(3)把 h ( x ) 对应的曲线 C1 向上平移 6 个单位后得到曲线 C2 ,求 C2 与 g ( x ) 对应曲线 C3 的交 点个数,并说明理由。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中 点, AE 的延长线交 BC 于 F . (Ⅰ)求
BF FC

A

的值;
D E

(Ⅱ)若△ BEF 的面积为 S 1 ,四边形 CDEF 的面积为
S 2 ,求 S 1 : S 2 的值.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 x 以直角坐标系的原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴, 且两个坐标系取相等的单位长度. 已 知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 a ?
?
6

B

F

C



(I)写出直线 l 的参数方程; (II)设 l 与圆 ? ? 2 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数
f ( x ) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | .

(I)求不等式 f ( x ) ? 6 的解集; (II)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案: 题号 答案 13
?6

1 C 14

2 C 10 15
2

3 B
2

4 D

5 C

6 D

7 A

8 A

9 B

10 C

11 D

12 B

16 ③④
2 3
2 3

17.解: (Ⅰ)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束.
?



p ? (1 ? p ) ?
2 2

5 9

. .

解得 p

?

或p

?

1 3



? p ?

1 2



? p ?

………………………………5 分

(Ⅱ)依题意知,依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.………………6 分 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 .若该轮结束时比赛还将继续,
9 5

则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 从而有 P (?
? 2) ? 5 9



P ( ? ? 4 ) ? (1 ?

5 20 )( ) ? 9 9 81

5



P ( ? ? 6 ) ? (1 ?

5 9

)(1 ?

5 9

) ?1 ?

16 81



………………………………………………10 分 ? 随机变量 ? 的分布列为:
?

2
5 9

4
20 81

6
16 81

P 则 E? ? 2 ?
5 9 ? 4? 20 81 ? 6? 16 81 ?

266 81

.

……………………12 分

18. (共 14 分) 解:(Ⅰ)证明:∵ A D / / E F , E F / / B C , ∴ AD / / BC . 又∵ B C ? 2 A D , G 是 B C 的中点, ∴ A D / /B G , ∴四边形 A D G B 是平行四边形,

∴ AB / / DG . ……………2 分 ∵ A B ? 平面 D E G , D G ? 平面 D E G , ∴ A B / / 平面 D E G .

…………………4 分

∴四边形 B G H E 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 B H D , D H ? 平面
B H D,

………………………7 分

z
A D

∴ E G ⊥平面 B H D . ………………8 分 ∵ B D ? 平面 B H D , ∴ BD ? EG . ………………………9 分 解法 2 ∵ E F ? 平面 A E B , A E ? 平面 A E B , B E ? 平 面 A E B ,∴ E F ? A E , E F ? B E , 又 AE ? EB , ∴ E B , E F , E A 两两垂直. ……………………5 分

E

F

y

x

B

G

C

以点 E 为坐标原点, E B , E F , E A 分别为 x , y , z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , , C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2) , , , G (2,2,0). …………………………6 分 ∴ E G ? ( 2 , 2 , 0 ) , B D ? ( ? 2, 2, 2 ) ,………7 分 ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ∴ BD ? EG .
???? ????
???? ????

………8 分

…………………………9 分

17 . (共 13 分) 19.解(1)? a n ? 1 所以只需
? f ( n ? 1) ? 3[ a n ? f ( n )]
n ?1

? a n ?1 ? 3 a n ? f ( ? n

1?) f 3n ,(

)

f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ? 2
n ?1

? 4n

, , 存在,
n ?1

? f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ? ? A ? 2

? 2 B n ? ( B ? 2 C ) ,? ? A ? 1, ? 2 B ? ? 4, B ? 2 C ? 0 f (n) ? ?2
n ?1

? A ? ? 1, B ? 2, C ? 1 .故李四设想的 f ( n )

? 2n ? 1 .

? an ? f (n) ? 3 ? an ? 2 ? 3
n ?1

n ?1

[ a 1 ? f (1)] ? 3
n ?1

n ?1

(4 ? 2) ? 2 ? 3
n ?1

, 分
n n

? f (n) ? 2 ? 3
2

?2

? 2 n ? 1 . …………………5
n ?1

(2) S n

? 2 (1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
n

n ?1

) ? (1 ? 2 ? ? ? 2
2

)
2

? [3 ? 5 ? ? ? ( 2 n ? 1)] ? 3 ? 2 ? n ? 2 n . ? S n ? n ? 3 ? 2 ? 2 n
n

,………7 分

由 Sn 设 bn
b
n ?1

?n ? p?3
2
n n

n

,得 ,则
n ?1

p ?

3 ? 2 ?
n n

n 2

n

3 ? 3 ? 2 ? 2n 3
n n ?1

n

?1?

2 ? 3
n

n2

.

? bn ? 1 ?
? 4

2

? 2 ( n ? 1) 3
0

?1?

2 ? 2n
n

3
1 2

n

?

2 ? 4n ? 2
n

3
n?2

n ?1

?

2 ? 2 ( 2 n ? 1)
n

3

n ?1

,………9 分

当n
2
n ?1


n ?1

? (1 ? 1)

? C n ? 1 ? C n ? 1 ? C n ? 1 ? ? ? C n ? 1 ? C n ? 1 ? 2 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n ? 2 n ? 1
73 81

n ?1

(也可用数学归纳法证明)
?n? 4

时,

bn ?1 ? bn

. 容易验证 ,当 1 ?
)

n ? 3 时, b n | ? 1 ? b n ,? p ? ( b n ) m in ? b 4 ?

,

? p

的取值范围为

(?? ,

73 81

.

………………………… 12 分

20.解(1) y ' ? 2 x , l A P : y ? 2 x p ( x ? a ) , 即 y p ? 2 x p ( x p ? a ) ,即 y p ? 2 x p a ? 2 , 同理 y Q ? 2 x Q a ? 2 , 所以 l Q P : y ? 2 x a ? 2 。 联立 PQ 的直线方程和抛物线方程可得:
x ? 2 xa ? 1 ? 0 , 所以 x p x Q ? ? 1, x p ? x Q ? 2 a , 所以 k 1 ? k 2 ? 2 x p ? 2 x Q ? ? 4 ……
2

y

Q A O

P
x

5分 (2) 因为 l Q P : y ? 2 x a ? 2 ,所以直线 P Q 恒过定点 ( 0 , 2 ) …………9 分 (3) S ? A P Q ? P Q ?
d 2

,所以 ???? ?
| PQ |

S ?APQ

d 2

? 2

2a ? 2
2

?

a ?1
2

,设 t ?

4 a ? 1 ? 1 ,所
2

4a ? 1
2

4a ? 1
2

2 S ?APQ t ?3 3 ???? ? ? 以 ,当且仅当 t ? 4t 2 | PQ |

3 取等号,即 a ? ?

2 2



因为 A Q ? A P ? ( x p ? a , y p ) ? ( x Q ? a , y Q ) ? x p x Q ? a ( x p ? x Q ) ? a ? y p y Q
2

???? ??? ?

因为 y p y Q ? ( 2 x p a ? 2 )( 2 x Q a ? 2 ) ? 4 a x p x Q ? 4 ? 4 a ( x p ? x Q ) ? 4 a ? 4
2 2
2 所以 A Q ? A P ? 3 a ? 3 ?

???? ??? ?

9 2

…………15 分

(22)证明: (Ⅰ)过 D 点作 DG∥BC,并交 AF 于 G 点, ∵E 是 BD 的中点,∴BE=DE, 又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DE G, ∴△BEF≌△DEG,则 BF=DG, ∴BF:FC=DG:FC, 又∵D 是 AC 的中点,则 DG:FC=1:2, 则 BF:FC=1:2; 即
BF FC ? 1 2
B F C

A

G E

D

----------(5 分)

(Ⅱ)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底, 则由(1)知 BF:BC=1:3,

又由 BE:BD=1:2 可知 h 1 : h 2 =1:2,其中 h 1 、 h 2 分别为△BEF 和△BDC 的高, 则
S ? BEF S ? BDC ? 1 3 ? 1 2 ? 1 6

,则 S 1 : S 2 =1:5. -- ---------------------(10 分)

? 3 t, ?x ? 1? ? 2 (23)解: (I)直线的参数方程是 ? ? y ? 1 ? 1 t. ? ? 2

? t是 参 数 ? .

-----------------(5

分) (II)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为
A (1 ? 3 2 t 1 ,1 ? 1 2 t 1 ), B (1 ? 3 2 t 2 ,1 ? 1 2 t2 )

. . 整理得到

圆 ? ? 2 化为直角坐标系的方程 x ? y
2 2

2

? 4
2

以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x ? y
t
2

? 4

? ( 3 ? 1) t ? 2 ? 0



因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2. -----------------(12 分) (24)解: (I)原不等式等价于
3 ? ?x ? 或 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? 3 ? 1 ? x ? ?? 2 ? 2 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?
1 2

或?

1 ? ?x ? ? 2 ? ? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3 ) ? 6 ?

解得

3 2

? x ? 2或 ?

1 2

? x ?

3 2

或 ?1 ? x ? ?

即不等式的解集为 { x | ? 1 ? x ? 2 }
?a ? 4

---------------------

(5 分) (II)?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |? | ( 2 x ? 1) ? ( 2 x ? 3 ) |? 4 (10 分)



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