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二项式定理公开课



执教者:陈纪惠

7.4 二项式定理

问题:以色列在2004年3月22日暗杀了巴勒
斯坦哈马斯的精神领袖亚辛。今天是3月26日 (星期三),巴勒斯坦情报部截取了以色列 准备暗杀阿拉法特的绝密计划,得知:从今 天起过 86天暗杀阿拉法特,你知道那天是星 期几吗?

8 ? (7 ? 1 ) ? ?

6 6

7.4 二项式定理

观察思考:
(a+b)1 =a+b (a+b)2=(a+b)(a+b) 2 2 ? a +2ab ? b (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
3 2

? a ? 3a b ? 3ab ? b
2

3

(a+b)4 =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
=?a4+?a3b+?a2b2+?ab3+?b4
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7.4 二项式定理

观察思考:
0 1 (a+b)1 =a+b ? C1 ? C a 1b 2 (a+b)2=(a+b)(a+b) ? a 2 ? b +2ab
0 2 1 2 2 ? C2 a ? C2 ab? C 2 b (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

? a ? 3a b ? 3ab ? b 0 3 1 2 2 2 3 3 ? C3 a ? C 3 a b ? C 3 ab ? C 3 b
3 2 2 3

(a+b)4 =?a4+?a3b+?a2b2+?ab3+?b4
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7.4 二项式定理

思考:

0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 C a ? C a b ? C a b ? C ab ? C (a+b) = ?4 4 4 4 4b

a b

a b

a b

a b

取0个 b(全取a): 取1个 b (1b3a) : 取2个 b (2b2a): 取3个 b (3b1a) : 取4个 b (无 a) :

C C C C C

0 4 1 4 2 4 3 4 4 4

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7.4 二项式定理

归纳猜想:

?a ? b?
?C a
2 n n ?2

n

0 n 1 n?1 1 ? ? Cn a ? Cna b


b ?
2

?n ? N ?
?

?C a
r n

n ?r

b ?
r



?C b

n n n

二项式定理

7.4 二项式定理

公式特征:
(1)项数: 共有n+1项。 (2)指数: a的指数从n逐项递减到0, 是降幂排列;b的指数从0逐项递增到n, n ?r r 是升幂排列, a b 指数和为n。

(3)二项式系数: 0 1 2 r … n … 依次为 Cn , Cn , Cn , , Cn , , C, n r 这里 Cn ( r ? 0 ,1 ,2 , … , n )称为二项式系数

? (4).在二项式中与首末两端等距离的 两项的二项式系数相等. ? (5).如果二项式的幂指数是偶数,中 间一项的二项式系数最大;如二项式的 幂指数为奇数,中间两项二项式系数最 大。

7.4 二项式定理

系列展开:
(a ?b) ?C a
n 0 n n

?C a
1 n

n ?1

b ?C a
1 2 n

n ?2

b

2

?



r n ?r r ? Cn a b ?

… ? C n bn
n

?  (n N )

( 1 ? x )n ? ?

( 1 ? x )n ? ?

?a ? b?
1 ? ? ?3 x ? ? ? ? x? ?
4

n

??
1 4 (1? ) ? ? x

7.4 二项式定理

解决问题:以色列在2004年3月22日暗杀了
巴勒斯坦哈马斯的精神领袖亚辛。今天是3月 26日(星期三),巴勒斯坦情报部截取了以 色列准备暗杀阿拉法特的绝密计划,得知: 从今天起过 86天暗杀阿拉法特,你知道那天 是星期几吗?

8 ? (7 ? 1 ) ? ?
6 6

7.4 二项式定理
9 例二(1):计算 的展开式中第5项的系 数和二项式系数

( x ? 2 y)
9

(2)计算

(2 y ? x)

的展开式中第5项的系数 和二项式系数

注意:二项式系数与项的系数的区别,
公式中a与b不能随便调换

7.4 二项式定理

研究性问题:
平潭县政府在描绘未来五年的蓝图 中指出:年人均收入在今后五年都要以 10%的速度增长,使每个家庭开开心心奔 小康。若今年人均收入为8000元,则5年 后人均收入是多少万元?(精确到0.01万 元)。

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小结:
n 0 n 1 n ?1 1 2 n ?2 2 ? ? ? ? (a b) Cn a Cn a b Cn a b

1.二项式定理:
?C a
r n n ?r

?



b ?
r

… ? C n bn
n

(n ∈N )

?

2.二项展开式的通项:

Tr ?1 ? C a
r n

n? r

b

r

3.二项展开式的特征 4.数学思维:正逆向的转化。 5.科学态度:养成善于观察、归纳、大胆猜想, 利用从特殊到一般从而得出结论的学习态度。

7.4 二项式定理

作业:P35页1.2.5.6 下题选做

2 ?C 2
n 1 n

n ?1 n

?C 2
2 n n ?1 n

n ?2

?C 2
3 n

n ?3

?



? ( ?1 ) C

n ? ? 2 ( 1)

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