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集合与函数概念复习



《集合与函数概 念》复习

知识要点
? ? ? ? ? ? 1、集合的含义; 2、集合间的基本关系; 3、集合的基本运算; 4、函数的概念; 5、函数的基本性质; 6、映射的概念。

列举法 集合的含义 描述法

Venn图
集合 集合基本关系 包含 相等 交集 集合间的基本关系 并集 全集 补



知识梳理
1、集合中元素的性 质
(1)确定性:即集合中的元素必须是 确定 的, 任何一个对象都能明确判断它“是”或者“不 是”某个集合的元素,二者必居其一。 (2)互异性:集合中任意两个元素都是 互不相 同 的,换言之,同一个集合里不能重复出现。

(3)无序性:集合与它的元素顺序无关的。

知识梳理 2、集合的表示方法
(1)列举法:把集合中的元素 一一列举 出来, 写在 花括号 内表示集合的方法。列举法表示 集合的特点是清晰、直观。常适用于集合中 元素较少时。 (2)描述法:把集合中的元素的 共同特征 描 述出来,写在 花括号 内表示集合的方法。一 般形式是{x| p},其中竖线前面的x叫做此 集合的元素,p指出元素x所具有的公共属性。 描述法便于从整体把握一个集合,常适用于 集合中元素的公共属性较为明显时。

(3)韦恩图:为了形象的表示集合,有时常 用一些封闭 曲线的内部 表示一个集合,这样 的图形称为韦恩图,在解题时,利用韦恩图 “数”和“形”结合,使得解答十分直观。

3、元素与集合的关系 如果一个元素a是集合A的元素, 称元素a 属于 集合A,记为 a∈A , 否则称元素a 不属于集合A,记为 a?A 。

4、子集、交集、并集、补集
(1)子集的定义:对于集合A和B,如果集合A的任意 一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A 包含于 集合B,或集合B 包含 集合A,也可以说集合A是集 合B 的子集。记作 A ? B 或 B ? A 规定:空集是任何集合的子集。 如果A是B的子集,且A≠B,称集合A是集合B的 真 子集 ,记作 。

(2)交集的定义:一般地,由属于集合A 且 属于 集合B的元素所组成的集合,叫做A、B的交集。 记作 A∩B 。即A∩B={x|x∈A且x∈B}。
(3)并集的定义:一般地,由属于集合A 或 属于 集合B的元素所组成的集合,叫做A、B的并集。 记作 A∪B 。即A∪B={x|x∈A或∈B}。 (4)补集的定义:一般地,设U是一个集合,A是U 的一个子集,由U中所有 不属于 A的元素组成 的集合,叫做A相对于全集U的补集,记作 CUA 。 即CUA={x|x∈U,且x∈A}

1.选择适当的符号填空

0 ∈φ

0∈ {0}

? Φ {0}

A∩φ = φ A∪φ = A A∩B ? A∪B

2.已知 M ? {x | y ? x 2 ? 1}, N ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} 那么 M N = (c )

( A) ?

( B)

M

(C ) N

( D) R

3.已知全集I={1,2,3,4,5,6,7,8} A ∩CIB ={1,2} CIA ∩B={7,8} CIA ∩CIB={4,5} 求集合A , B
4 1 A2 3 3 66 5 7 B 8

解: A ={1,2,3,6}

B ={3,6,7,8}

例1.已知集合A ? { x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, B ? { x | mx ? 1 ? 0},
求m,使B A

1 1 m ? 或m ? ? 或m ? 0 3 2

例2 : 已知集合 : A ? x | x 2 ? mx ? n ? 0? , B ? t | (t ? m ? 6)2 ? n ? 0? ,
若A ? ? 3?, 求集合B.

?

?

m = -6,n = -9, ∴B = {3,-3}.

例3 : 已知集合A ? ? x | ax 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , x ? R, a ? R? .

(1)若A是空集, 求a的取值范围 ;
(2)若A中只含有一个元素求 a的值, 并求出这个元素 ;

(3)若A中至多只含有一个元素 , 求a的取值范围 .
解:(1)A为空集,即方程

ax ? 3x ? 2 ? 0无实数解,
2

当a = 0 时,方程有解; 当a≠0 时,欲使方程无解,则要使 ? ? 9 ? 8a ? 0,
9 ? a ? 时, A为空集 . 8

例3 : 已知集合A ? ? x | ax 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , x ? R, a ? R? .

(1)若A是空集, 求a的取值范围 ;
(2)若A中只含有一个元素求 a的值, 并求出这个元素 ;

(3)若A中至多只含有一个元素 , 求a的取值范围 .
2 ax ? 3x ? 2 ? 0 有一个解, (2)A是单元素集,即方程

2 当a = 0 时,方程有一解 x ? ; 3 9 当a ≠0 时, 即△=9-8a = 0 时, a ? 8 4 这时A中只有一个元素,为 x ? . 3

?2? ?4? 9 ∴a = 0或 a ? 8 时, A为单元素集,分别为 ? ? 或 ? ?. ?3? ?3?

例3 : 已知集合A ? ? x | ax 2 ? 3 x ? 2 ? 0 , x ? R, a ? R? .

(1)若A是空集, 求a的取值范围 ;
(2)若A中只含有一个元素求 a的值, 并求出这个元素 ;

(3)若A中至多只含有一个元素 , 求a的取值范围 .
(3)A中至多只有一个元素,包括A为空集或A中只有 一个元素2种情形
9 根据(1)、(2)结果,得a = 0 或a ? 时,A中至多只有一个元素. 8

4. 已知集合 集合

, M ? ? 12, a?

P ? ?x -1 ? x ? 2, x ? Z? ,

M∩P={ 0 },若M∪P=S. 则集合S的真子集个数是( ( A) 8 (B) 7 (C) 16 (D) 15
D



5.已知全集为R, A={y|y=x2+2x+2}, B={x|y=x2+2x-8}, 求:(1)A∩B; (2)A∪CRB; (3)(CRA)∩(CRB) 【解题指导】本题涉及集合的不同表示 方法,准确认识集合A、B是解答本题的 关键;对(3)也可计算CR(A∪B)。

6、已知集合A={x|x2-x-6<0}, B={x|0<x-m<9} (1) 若A∪B=B,求实数m的取值范围; (2) 若A∩B≠φ,求实数m的取值范围.

(1)【-6≤m≤-2】
(2)【-11<m<3】

7.设集合M={(x,y)|y=√16-x2,y≠0}, N={(x,y)|y=x+a}, 若M∩N= ? ,求实数a的取值范围.
【解题指导】 (1)本题将两集合之间的关系转化为两曲线之 间的关系,然后用数形结合的思想求出a的范 围,既快又准确.准确作出集合对应的图形 是解答本题的关键.. (2)讨论两曲线的位置关系,最常见的解法还 有讨论其所对应的方程组的解的情况.该题若 用此法,涉及解无理方程与无理不等式,较 繁,不再赘述.

函数及其性质复习课
定义域 函数的概念 值域 对应法则 解析法

映射

函数

函数的表示法

列表法
图象法

函数的基本性质

函数的单调性 函数的奇偶性

知识梳理 函数的概念
(1)函数定义:给定两个非空数集A和B,如 果按照某个对应关系f ,对于A中的 任意一 个数x ,在集合B中都有 唯一确定 的数 f (x) 与之对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B 的一个函数,记作y= f (x),x∈A. 其中,x叫做自变量, x的取值范围A叫做 定 义域 , 与x的值对应的y值叫做函数值,函数 值y的集合叫做 值域 .

(2)函数的三要素: 定义域 , 值域 , 对应法则 。 (3)区间的概念。 (4)函数的表示法: 解析法 , 图像法 , 列表法 。 (5)两个函数相同必须是它们的 定义域 和 对应法则分别完全相同 (6)映射的定义:设A、B是两个非空集合,如 果按照某个对应关系f ,对于A中的 任意一个元 素x , 在集合B中都有 唯一确定 的元素 f (x) 与之对应, 那么就称f: A→B为集合A到集合B的 一个映射。

函数的单调性
对于定义域I内某个区间D上的任意两个自 变量的值x1,x2当x1<x2时,如果都有f(x1) < f(x2),那么就说f(x)在区间D上是 增 函数, 这个区间D就叫做这个函数的 单调递增 区间;如果都有f(x1) > f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是 减函数 函数,这个区间D就叫 做这个函数的 单调递减 区间;

函数的奇偶性
函数的奇偶性:对于函数f(x),如果对于 定义域内任意一个x 都有f(-x)= - f(x) , 那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内 任意一个x 都有f(-x)= f(x) ,那么f(x)就 叫做偶函数。 奇函数的图象是关于 原点 对称;偶 函数的图象关于 y 对称。反之也成立。

主要方法:
1.对映射有两个关键点:一是有象,二是象唯 一,缺一不可; 2.对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解, 这是处理函数问题的关键; 3.理解函数和映射的关系,函数式和方程式的 关系. 4.定义域是函数的基础,考虑函数问题必须先 求函数的定义域。 5.图像法可以有效处理许多函数问题,必须掌 握函数图像的作图方法:描点法和图像变换法。

1.下列各组函数中,表示同一函数的是( C )

x A. y ? 1, y ? x
B. y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1
3

C. y ? x, y ?

x

3

D. y ?| x |, y ? ( x )
0

2

2.函数 y ?

( x ? 1)

x ?x

?? , 0 ? ? 的定义域是____________

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3.函数

f(x)=

?

x ? 2, x2 ,

x ??1 x ??1 ,则

f ( f (?2)) ? 0 ; f ( x) ? 3, 则 x=

3



? x ? 2( x ? ?1) ? 2 练习:已知 f ( x) ? ? x ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 , ?2 x( x ? 2) ?
则 x 的值是( A. 1

D )
3 C. 1 , 或 ? 3 2
D.

3 B. 1 或 2

3

4、下列图象中不能作为函数图象的是( B



1.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1? 上是增函数,则下列关 系式中成立的是(

3 A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) 2 3 B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2) 2 3 C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) 2 3 D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2

D )

2. 由函数 f ( x) ? x ? 4x ( x ?[0,5]) 的最大值与 最小值可以得其值域为( C ) A. [?4,??) B. [0,5] C. [?4,5] D. [?4,0]
2

3.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间 ?? 7,?3? 上是(A ) -5 ?5 A.增函数且最小值是 ? 5 B.增函数且最大值是 -5 ?5 C. 减函数且最大值是 ? 5 D. 减函数且最小值是

4. 已 知 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在 区 间 (4, ??) 上 是
2

增函数,则 a 的范围是( B ) A. a ? ?2 B. a ? ?2 C. a ? ?6

D. a ? ?6

x ??0, ??? f ( x ) R 5. 设 是 上的奇函数,且当
3 f ( x ) ? x (1 ? x ) , 则 当 x ? (??,0) 时 时 ,

x(1 ? x ) f ( x) ? _____________________
3

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2 6.用单调性定义证明:函数 f ( x) ? ? x 在 (0, ??) x
上为减函数.

7.已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条 件:

(1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在定义域上单调递减; 增 (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0,
2

求 a 的取值范围

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ax + b 8. 已知函数 f ( x) = 是定义在 (- 1,1) 上的奇 2 1+ x
1 2 函数,且 f ( ) = , 2 5
(1) 确定函数 f ( x ) 的解析式; (2) 用定义证明 f ( x ) 在 (- 1,1) 上是增函数; (3) 解不等式 f (t - 1) + f (t ) < 0

9、根据下列条件分别求出函数 f ( x) 的解析式

1 1 2 (1) f ( x ? ) ? x ? 2 x x 1 (2) f ( x) ? 2 f ( ) ? 3x x
(3) f ( x ? 2) ? x ? 3x ? 1
2

观察法 方程组法

换元法

(4)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); 待定系数法
2 g ( x) ? x ? 1 , (5) 已知 f ( x) ? x ? 1 , 求 f [ g ( x)] ]

和 g[ f ( x)] 的解析式

(复合函数的解析式)---代入法



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