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厦门市2010-2011、2011-2012、2012-2013、2013-2014高一下数学质检试卷含答案



厦门市 2010-2011 学年(下)高一质量检测 数 学 试 卷

A 卷(共 100 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,在答题卷上相应的答题区域内作答。
1. sin ? ? 0, 且 tan ? ? 0,则角?是 ------------( A. 第一象限角

C. 第三象限角 )

B. 第二象限角 D. 第四象限角 )

2.正方体ABCD ? A1B1C1D1中,直线AC与BC1所成的角为---(
A. 30
0

B. 45

0

C. 60

0

D. 90

0

3.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 垂直的直线方程是------------(

)

A.x-2 y-1=0

B.x-2 y+1=0

C. 2 x +y - 1 = 0 D. 2x +y - 2 = 0
)

4.若 A、B 是三角形 ABC 的内角,并且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B等于 ------------(

A.

? 4

3 B. ? 4

C.

? 2

5 D. ? 4
)

5. 圆x 2 +y 2 +2x-6 y+1=0上两点P、Q关于直线x+my+4=0对称,则m的值等于 ---- -(

A.

5 3

B.1

C.0
)

D. ? 1

6.下列说法正确的是------------(

A.向量 AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在同一直线上; B.向量a与b满足a ? b=0,则a=0或b=0; C.向量 AB的长度与向量BA的长度相等; D.单位向量相等.
7. 函数f(x) ? Asin(? x ? ?)(A>0,? ? 0, 0<? <? )

在一个周期内的图象如图,此函数的解析式为(  )

8 设直线 ax+by+c=0的倾斜角为?,且sin? +cos? =0,则a,b满足 ------------(

)

A. a-b=1 B. a-b=0 C. a+b=0
1

D. a+b=1

9 设?,?是两个不同的平面,L是一条直线,以下结论正确的是 ------------(

)

A.若L ? ? ,? ? ? , 则L ? ?
C. 若 L ? ? ,?

? , 则L ? ?

D.若l ? ,? ? ?则 , ? l ?

=2cos(? x+?) +b的图像关于直线x= 10 f(x)
A. ?1 B. ? 3 C.-1或3

?

对称,且f( ) =-1,则实数b的值为 8 8

?

D. -3或 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。在答题卷上相应的答题区域内作答。 9.已知 P(

3 ,M )(M ? 0)是圆O:x2 +y 2 =1上的定点,则过点P的圆O的切线方程是 2
.

10.已知向量 a=( 1, , 3 ),b=( -1,0),设a与b的夹角为?,则? =

(0,?),cos(? +?) = ,则 sin ? = 11.若 ? ?
12.圆柱形容器内部盛有高度为 3cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半 径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示) ,则球的半径是 cm.

3 5

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,在 答题卷上相应的答题区域内作答。 15.(本题满分 10 分)已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如图所示,根据三视图,请写出关于四棱 柱 P-ABCD 的三条正确的结论,并据此结论 (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)点 E 在侧棱 PC 上,证明:BD ? AE

2

16.(本题满分 12 分)

1 ? 2 sin(? ? ? ) cos(?2? ? ? ) 1 5? sin 2 (?? ) ? sin 2 ( ? ? ) 2 已知 f( ? )= ,并且 tan ? = 2 ,化简并求 f( ? )的值

17.(本题满分 12 分)已知圆 C: (x-1)2+y2=9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 L 交圆 C 与 A、B 两点, (1)当 L 经过圆 C 的圆心时,求直线 L 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 L 的方程; (3)当直线 L 的倾斜角为 45o 时,求弦 AB 的长。

B 卷(共 50 分) 甲卷(二、三级达标学校学生作答) 四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。

1 ? 3 ? ? (0, ) sin ? ? ? ? ( 0 , ? ) 2 , 则 sin(? ? ? ) ? 2 , 18.已知 cos ? =- 2 , ,

AP ?
19.已知 0、A、B 三点的坐标为(0,0) 、 (3,0) 、 (0,3) ,且
3

1 AB 2 则 OA? OP ?

20.若直线 x ? 3 y ? m ? 0 与圆 x2+y2=1 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是

f ( x) ? sin( 2 x ? ) 3 的图像为 C,给出以下结论: 21.函数
x?
①图像为 C 关于直线

?

5? 12 对称;

2? ②图像为 C 关于点( 3 ,0)对称;

③函数 f(x)在区间( 12 12 )上是增函数;

?

? 5?
,

? ④将函数 y=sin2x 图像上的所有点向右平移 3 个单位可以得到图像 C
其中所有正确的结论的序号是 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,在 答题卷上相应的答题区域内作答。 22(本题满分 12 分)梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ADC=90O,PD⊥面 ABCD,点 M 是 PD 的中 点,经过 A,B,M 三点的平面与 PC 交于 N 点, (1)求证:点 N 是 PC 中点; (2)若 PD=10,AD=3,DC=6,求三棱锥 P-AMN 的体积。

4

? 3), OC ? (5 ? m, -3-m) 23.(本题满分 12 分)已知向量 OA ? (3,-4), OB ? (6,
(Ⅰ)若 A、B、C 三点连线不能构成三角形,求实数 m 满足的条件; (Ⅱ)若△ABC 是直角三角形,且∠ACB ? 90o,求实数 m 的值。

24.(本题满分 12 分)已知直线 l1//l2,A 是直线 l1、l2 之间的一定点,点 A 到直线 l1、l2 的距 离分别为 AD=1,AE=2,点 B 在直线 l1 上,点 C 在直线 l2 上, (Ⅰ)若 AB 与直线 l1 的夹角为 30°,且 AB=AC,求 cos∠BAC; (Ⅱ)若∠BAC=60°,求 AB ? AC 的最小值。

乙卷(一级达标校学生作答) 四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。在答题卷上的相应题目的答题区域内作答。
? =1 3 3? ?? ( 0,?),sin? =- ,? ? ( , 2?) sin(? ? ? ) 2, 2 2 ,,则 =

18、已知 cos



19、 已知 O、 A、 B 三点的坐标分别为 (0,0) , (3,0) , (0,3) , 且 AP ? t AB ( 0 ? t ? 1 ), 则 OA ? OP 的最大值为
5



2 2 20、若直线 x ? 3 y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 1 在第一象限内有两个不同的交点,则实数 m 的取值范

围是



? ? ? ? ? ( ,) f( )? f( ) 3 ,且 f(x)在区间 6 3 上有最小值,但没有 21、已知 f(x)=sin( ? x+ 3 )( ? >0),满足 6

最大值,则 ? =



五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,在 答题卷上相应的答题区域内作答。 22. (本题满分 10 分) 已知△ABC 中, ∠BCD=90o, BC=CD=1, AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60o,

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1) AD E、F 分别是 AC、AD 上的中点,且 AC
(1)求证:不论 ? 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (2)若平面 BEF⊥平面 ACD,求实数 ? 的值。

? 3), OC ? (5 ? m, -3-m) 23.(本题满分 12 分)已知向量 OA ? (3,-4), OB ? (6,
(Ⅰ)若 A、B、C 三点连线不能构成三角形,求实数 m 满足的条件; (Ⅱ)若△ABC 是直角三角形,求实数 m 的值。

24、 (本题满分 12 分)如图,已知直线 l1//l2,A 是直线 l1、 l2 之间的一定点,点 A 到直线 l1.
6

l2 的距离分别为 AD=d,AE=2d,点 B 在直线 l1 上,点 C 在直线 l2 上, (Ⅰ)若 AB 与直线 l1 的夹角为 30°,且 AB ? BC ? 0 ,求 cos∠BAC; (Ⅱ)若∠BAC=120°,求 AB ? AC 的 取值范围。

7

厦门市 2011—2012 学年(下)高一质量检测
一.选择题 1.若 AB ? ?2,3? , BC ? ?-1,4? ,则 AC 等于

A.?1,7?

B.?? 1, ? 7?

C.?3,?1?

D.?? 3,1?

2.一个球的体积和表面积在数值上相等,则该求的半径的数值为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如果 cos ?? ? ? ? ? -

1 ?? ? ,那么 sin ? ? ? ? 的值是 2 ?2 ? B. 1 2

A. ?

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

4.圆心在直线 2 x - y - 7 ? 0 上的圆与 y 轴交于两点 A.?0, ? 4? , B.?0, ? 2? ,则该圆的方程为

A.?x ? 2? ? ? y - 3? ? 5
2 2

B.?x - 2? ? ? y ? 3? ? 5
2 2

C.?x ? 2? ? ? y - 3? ? 5
2 2

D.?x - 2? ? ? y ? 3? ? 5
2 2

5.关于 x 的方程 sin ?x ? A.1 B.2

x ?x ? 0? 的实根的个数是 4
C.3 D.4

6.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a , b 的关系式

A.a ? b ? 1

B.a ? b ? 1

C .a ? b ? 0

D.a ? b ? 0

7.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交 于点 F,若 AB ? a, AD ? b, 则AF ? F E

1 A. a ? b 3 1 3 C. a ? b 4 4

1 B.a ? b 3 3 1 C. a ? b 4 4
A

D

C

O

B

8.已知 m,n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,下列四个命题 ?若 m//? , n//? , 则m//n ? 若? ? ? , m ? ? , 则m ? ? 其中不正确的命题个数为 A.1 B.2
8

? 若m ? ? , n ? ? , m//? , n//? , 则?//? ④ 若? ? ?,m ? ? , m ?? , 则m//?

C.3

D.4

9.若圆 ?x - 2? ? y 2 ? 9 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2,则直线 l 的
2

斜率的取值范围是

? ? 3? ? 3 A.? ? ?? ? ? ?,? 3 ? ? ? 3 , ? ? ? ? ? ? 3 ,3 ? C.?? , ? ? 3 3 ?

B. ? ?,? 3 ? 3, ??

?

? ?

?

D. ? 3,3

?

?

10.平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 的始边是 x 轴的非负半轴,终边与单位元交于点 A。已 知点 A 的横坐标为 的横坐标为

? 2 ,若点 B 为单位圆上的另一点,且向量 OB与OA 的夹角为 。则点 B 4 10
3 3 B. 或 5 5 3 4 C. 或 5 5 3 4 C. - 或 5 5

4 4 A. 或 5 5

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,在答题卷上的相应题目的答题区域内 作答. 11.过点(-1,0) ,且与直线 x+2y-2=0 平行的直线的方程是___________________. D 12.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 BC、 CC1 的中点, 则异面直线 B1D1 与 EF 所成角的大小事____________________. A
1 1

C B
1 1

D A B

C

1 13.若 cosα -sinα = ,则 sin2α 的值是_____________. 2

14.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(单位:厘米) 和时间 t(单位:秒)的函数关系为 s=6sin(2π ? t + 的时间为______秒. 15.过点 P(

π ). 那么,单摆来回摆动一次所需 6
S O

1 ,1)的直线 l 将圆(x-1)2+y2=4 分成两段弧,使得这两段弧的弧长 2
y

之差最大,则直线 l 的方程为___________. C 16.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴 上移动,则 OB ? OC 的最大值是___________________.
9

D B

O

A

x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在 答题卷上相应题目的答题区域内作答 17.(本题满分 12 分) 四棱锥 A-BCDE 的直观图、正视图如图所示,侧视图是一个等腰直角三角形. (I)在给出的网格中,按网格尺寸和画三视图的要求,画出四棱锥 A-BCDE 的侧视图和俯 视图; (II)若 M、N 分别是 AB、AD 的中点,判断直线 MN 和平面 BCDE 的位置关系,并说明理 由. D E D E

N

C(A)

正视图

B

侧视图

C A M

B

俯视图

18.(本题满分 12 分) 已知向量 a =(sinθ ,sinθ +2cosθ ) , b =(2,-1),且 a ⊥ b . (I)求 tanθ 的值; (II)求

sin 2? ? cos2 ? 1 ? cos2?

10

19.(本题满分 12 分)

CN ? 如图所示, 四边形 ABCD 为平行四边形,AB ? m, AD ? n, 点 M 是 BC 的中点,
(I) 证明:D、N、M 三点共线. (II) 若 DN ? BN ,试比较 m 和 n 的大小. D

1 CA . 3
C

N M

A

B

20.(本题满分 12 分) 如图, 地面上有一正方体型的石凳 ABCD-A1B1C1D1 ,棱长为 1 米, 棱 AB 的中点 E 处是蚂蚁窝,蚂蚁在棱 C1D1 中的中点 F 处发现食物.一只蚂蚁 从 E 点出发在正方体表面上依次经过棱 BB1 上的点 M,B1C1 上的点 N, 到达 C1D1 中点 F 处取食后原路爬回 E 点. (I) 如果蚂蚁的爬行速度是 1 厘米/秒, 求蚂蚁取一次食物 (一个来回) 所需的时间. (II)在(I)的条件下,求证:A1C⊥ 平面 EMN.

D1 A
1

F

C
1

B
1

D A B

C E

21.(本题满分 14 分) 已知圆 C: (x-3)2+(y+2)2=9,直线 l 过点 P(2,0). (I) 若直线 l 与圆心的距离为 1,求直线 l 的方程. (II) 若直线 l 与圆 C 相交于 M、N 两点,且 4,求以 MN 为直径的圆的方程. (III) 设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点.是否存在实数 a,使得直线 l 垂直平分 弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

D y B O P C x

11

22.(本题满分 14 分)

π ). 2 π π (I)若函数 f(x)的图像过点 E(- ,1) ,F( , 3 ) ,求 f(x)的解析式; 12 6
已知函数 f(x)=Asin(2x+θ ),其中 A>0,θ ∈ (0, (II)如图,点 M、N 分别是函数 y=f(x)的图像在 y 轴两侧与 x 轴的两个相邻交点,函数图像 上的一点 P(t,

π2 3 π ) ,若满足 PN ? MN = ,求函数 f(x)的最大值. 16 8

y P

M O

N x

厦门市 2011—2012 学年(下)高一质量检测

数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: ACBBD; 6-10:DACCD 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. x ? 2 y ? 1 ? 0 14. 1 12. 60 15. 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 13. 16.2

D

E

3 4

C(A)

B 正视图 侧视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)多面体 ABCDE 的俯视图如图所示.┄4 分 (Ⅱ)直线 MN ?? 平面 BCDE. ┄┄┄┄┄6 分 BD 证明如下:连结 , M、N 分别是 AB 、 AD 的中点, ? MN ??BD ,┄┄┄┄10 分 又 MN ? 平面 BCDE , BD ? 平面 BCDE
12

俯视图

(第 17 题)

? MN ?? 平面 BCDE .
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

a ? b ,? a ? b ? 0 ,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

即 2sin ? ? (?1) ? (sin ? ? 2cos ? ) ? 0 ,

sin ? ? 2 cos ? , ? tan ? ? 2 .
(Ⅱ)原式=

2sin ? ? cos ? ? cos 2 ? 2 cos 2 ?

2 sin ? ? cos ? 2 cos ? 1 1 3 ? tan ? ? ? 2 ? ? . 2 2 2 ?
19. (本题满分 12 分)

┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

(Ⅰ)证明:四边形 ABCD 为平行四边形,记 AB ? a, AD ? b, ∵ DN ? DA ? AN = ? b+ = ? b+

2 AC 3

D N M A (第 19 题) B

C

2 2 1 (a+b)= a ? b, ┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 3 3 3 1 ∵ DM ? DC ? CN =a ? b, ┄┄┄┄┄┄┄3 分 2 2 ∴ DN ? DM ,且 DM 与 DN 有公共点 D,┄5 分 3
∴D、N、M 三点共线. (Ⅱ)解:ABCD 为平行四边形,记 ?BAD ? ? . 由(Ⅰ)知 DN ?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

2 1 a ? b, 3 3 2 1 4 1 4 4 1 4 ∴ | DN |2 ? ( a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? m2 ? n2 ? mn cos? ┄8 分 3 3 9 9 9 9 9 9 2 2 1 2 ∵ BN ? BA ? AN ? ?a + AC ? ? ?a + (a ? b) ? ? a + b , ┄┄┄9 分 3 3 3 3 1 2 1 4 4 1 4 4 ∴ | BN |2 ? (? a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? m2 ? n2 ? mn cos? ┄10 分 3 3 9 9 9 9 9 9 4 1 1 4 若 | DN |?| BN | ,则 m2 ? n2 ? m2 ? n2 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 9 9 9 9 ∴ m2 ? n2 即 m ? n . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
(备注:利用坐标法或几何或三角函数的方法来证明的相应得分) 20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)首先求蚂蚁爬行整个路程的最小值. 沿棱 BB1、B1C1 将正方体的三个面展开成平面图形,如图.图中从 E 到 F 两点间线 段最短,且依次经过棱 BB1、B1C1 的中点,
13
A E B C (A1) D1 F A1 B1 C1

易求得 | EF |?

3 2, 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

所以蚂蚁取一次食物(一个来回)所爬行路程的最小值是 3 2 米,所需的最短时间为

300 2 秒.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

(Ⅱ)证明:在(Ⅰ)的条件下,点 M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点. ┄7 分 连接 MN,则 MN∥BC1, ∵在正方体 AC1 中,A1B1⊥平面 B1C1CB, 而 BC1 ? 平面 B1C1CB,∴A1B1⊥BC1,则 A1B1⊥MN, ┄ ┄┄┄┄┄9 分 又,在正方形 B1C1CB 中,BC1⊥B1C,则 B1C⊥MN, 又 A1 B1

B1C ? B1 ,∴MN⊥平面 A1B1C,而 AC ? 平面 A1B1C, 1
┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

∴MN⊥A1C. 同理 EM⊥A1C, EM

MN ? M ,
┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

? 平面 EMN . ∴ AC 1
21. (本题满分 14 分)

解:(Ⅰ)当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 ,



3k ? 2 ? 2k k 2 ?1

3 ? 1 ,解得 k ? ? . 4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

3 ( x ? 2) ,即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . ┄┄┄┄┄4 分 4 当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件. ┄6 分
所以直线 l 的方程为 y ? ? 所以直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 或 x ? 2 .

(Ⅱ)由于 CP ? 5 ,而弦心距 d ?

r2 ? (

MN 2

)2 ? 5 ,

所以 d ? CP ? 5 ,所以 P 为弦 MN 的中点. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 .┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
2 2

(Ⅲ)直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,

则弦心距小于圆的半径,即

| 3a ? 2 ? 1| a2 ? 1

? 3 ,化简得 a ? 0 . ┄┄┄┄12 分

设符合条件的实数 a 存在,由于 l 垂直平分弦 AB ,故直线 l 过圆心 C (3, ? 2) .

14

所以 l 的斜率 kPC ? ?2 ,而 a ? k AB ? ?

1 1 ,所以 a ? .┄┄┄┄┄13 分 2 k PC

由于

1 ? ( ? ?, 0 , ) 故 不 存 在 实 数 a , 使 得 过 点 P( 2 , 0 的 ) 直线 l 垂直平分弦 2

AB .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分
22. (本题满分 14 分)

? ? A sin( ? ??) ?1 ? ? 6 解: (Ⅰ)依题意得: ? ? A sin( ? ? ? ) ? 3 ? ? 3 ? ? ? sin( ? ? ) ? 3s in( ? ? ? ) ,
3 6
展开得

┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

(Ⅱ)过点 P 作 PC ? Ox 于点 C, 令 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 0 ,? 2 x ? ? ? k? ,(k ? z ) , 又点 M、N 分别位于 y 轴两侧, 则可得 M ? ? 则

? ? ?? ? 3 cos? ? sin ? ,∴tan ? ? 3 , ? ? ? 0, ? ,?? ? , ┄┄4 分 3 ? 2? ? ? f ( x) ? A sin(2 x ? ) , 3 ?? ? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 f ? ? ? 3 ,? A ? 2 , ?6? ? ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 3
y P

? 1 ? 1 3 cos ? ? sin ? ? 3 ? ? cos ? ? sin ? ? , 2 2 2 ? 2 ?
3

? ? ? ?? ? ? ,0? , N ? ? ,0? ? 2 ? ?2 2 ? ?? ? ,0? ?2 ?


M

N O C

MN ? ?

PN ? ?

?? ?2

?

?
2

? t, ?

3? ? 8 ?

?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

? PN ? MN ?
∴ ?t ?

3? , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 2 8 3? ?? ? 2t ? ,┈┈① 4 ? 3? ? 3? 又点 P ? t , ? 在函数的图像上,即 A sin ? 2t ? ? ? ? 8 ┈┈② , ┄12 分 ? 8 ?
联立①②式得 A ?
6? 8

?

? ?? ? ? ?2 , ? ? ?t? ? 2 ? 2 2 ? 16


6? 8

┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 13 分 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

所以函数的 f ( x ) 最大值
15

厦门市 2012~2013 学年(下)高一质量检测

数学试卷
参考公式: S圆柱侧 ? 2?rl

S圆锥侧 ? ?rl

S圆台侧 ? ? (r ? r ?)l

S 球表 ? 4?R 2

V柱体 ? Sh

1 V锥体 ? Sh 3

1 V台体 ? h( S ? SS ? ? S ?) 3

4 V球 ? ?R 3 3

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的.在答题卷上相应题目的答题区域内作答. 1.已知 ? ? x ? 2? , cos x ? A. ?

1 ,则 sin x ? ( 2



1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. )

3 2

2.过点 (3,?1) 且与直线x?2y?平 0 行的直线方程是( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0

C. 2 x ? y ? 5 ? 0

D. x ? 2 y ? 1 ? 0

3.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体 积是( ) A. 1cm
3

B. 2cm

3

C. 3cm

3

D. 6cm )

3

3

4.已知 a ? (2,1), b ? (?1,?3) ,则 | a ? b | 等于( A. 5 B. 7 C.5 D.25

1
正视图 侧视图

5.对于 a ? R ,直线 ( x ? y ? 1) ? a ( x ? 1) ? 0 恒过定点 P ,则以 P 为 圆心, 5 为半径的圆的方程是( A. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

2
) B. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

俯视图

C. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0
2 2

6.设 A 为 ?ABC 的一个内角且 sin( A ? A.

?
6

) ? cos A ,则 A ? (
D.



?
6

B.

?
4

C.

?
3

?
2


7.已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?
16

?
4

) ,则下列命题正确的是(

A.函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ? 增函数 C.函数 y ? f ( x ? 函数 y ? f ( x) 的图象

?
4

,0) 对称

B.函数 y ? f ( x) 在区间 ( ?

?
2

,0) 上是

?
8

) 是偶函数

D.将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移

?
4

个单位得到

8. 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 9 , 直线 l 与圆 O 交于 M , N 两点, 且 | MN |? 4 , 则 MN ? MO ?( A.2 B.3 C.4 D.8



19.设 m, n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题:



? // ? ? ? ??? m ??? ? ? ? // ? ② ?? m ?? ③ ?? m? n ? // ? ? m ? ?? n // ? ?
C.②③
2



m // ? ? ? ? m // n n ???

其中错误的是( ) A.①② B.①③
2 2

D.②④
2

10. 若圆 x ? y ? ax ? by ? c ? 0 与圆 x ? y ? 1 关于直线 y ? 2 x ? 1 对称, 则a ?b ? ( A. ? 1 B. ?



12 5

C.1

D.

12 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.在答题卷上的相应题目的答题区域内 作答. 11.已知圆锥的母线长尾 5,底面圆的半径为 3,则此圆锥的体积为 (结果保留 ? ) 12.已知 cos( x ?

?
2

)?

1 ,则 cos 2 x ? 2
2 2

13.直线 l : y ? x 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相交于 A, B 两点,则 | AB |? 14.已知 sin x ? 2 cos x ,则

1 x 1 ? tan 2

?

1 x 1 ? tan 2
2 2

?

15. 若圆 O1 : x ? y ? 5 与圆 O2 : ( x ? m) ? y ? 20(m ? R ) 相交于 A, B 两点, 且两圆在点 A
2 2

处的切线互相垂直,则线段 AB 的长是 16.已知 a, b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边且 a ? 5, b ? 12, c ? 13 ,点 I 是 ?ABC 的 内心,若 AI ? ? (

AB

| AB | | AC |

?

AC

) ,则 ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在
17

答题卷上相应题目的答题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分)如图,已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是正方形, EA ? 底面 ABCD , FD // EA ,且 EA ? 2 FD . (Ⅰ)求证: CB ? 平面 ABE ; E (Ⅱ)连接 AC , BD 交于点 O ,取 EC 中点 G ,证明:

FG // 平面 ABCD .
G A O B

F D

C

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 1 .
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 sin ? ? cos ? ?

1 5? ,求 f (? ? ) 的值. 2 12

18

19(本小题满分 12 分)已知动圆 C 的经过点 A(2,?3) 和 B (?2,?5) . (Ⅰ)当圆 C 面积最小时,求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 圆心在直线 3 x ? y ? 5 ? 0 上,求圆 C 的方程.

20. (本小题满分 12 分) 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 定义一种运算:a ? b ? ( x1 x2 , y1 y2 ) . 已 知p?(

1 ? 1 ,2), m ? ( ,1), n ? ( ,? ) . ? 2 4 2 8

(Ⅰ)证明: ( p ? m) ? n ; (Ⅱ)点 P ( x0 , y0 ) 在函数 g ( x) ? sin x 的图象上运动,点 Q( x, y ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上 运动,且满足 OQ ? m ? OP ? n(其中 O 为坐标原点) ,求函数 f ( x) 的单调递减区间.

19

21. (本小题满分 14 分)如图,设计一个小型正四棱锥形冷水塔,其中顶点 P 在底面的摄影 为正方形 ABCD 的中心 O ,返水口 E 为 BC 的中点,冷水塔的四条钢梁(侧棱)设计长 度均为 10 米.冷水塔的侧面选用钢板,基于安全与冷凝速度的考量,要求钢梁(侧棱) 与地面的夹角 ? 落在区间 [ 求?

? ?

, ] 内,如何设计可使得侧面钢板用料最省且符合施工要 6 3
P

D

C O

E B

A

22. (本小题满分 14 分)如图,已知 P 是单位圆(圆心在坐标原点)上一点, ?xOP ? 作 PM ? x 轴于 M , PN ? y 轴于 N . (Ⅰ)比较 | OM | 与

?
3



?
6

的大小,并说明理由;

(Ⅱ) ?AOB 的两边交矩形 OMPN 的边于 A, B 两点,且 ?AOB ? 围.

?
4

,求 OA ? OB 的取值范

y N P

O

M

x

20

厦门市 2012-2013 学年(下)高一质量检测

数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: BAACB 6-10: CCDDB 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. 12? 12.

1 2

13. 3 2

14. ?2

15 4

16.

26 5
E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 证明: (Ⅰ )

EA ? 底面 ABCD ,且 BC ? 面ABCD ,
--------------------------------------------2 分 ---------------------3 分
A O B C G

F

∴ EA ? BC .

正方形 ABCD 中, AB ? BC ,

D

EA

AB ? A ,

? CB ? 平面 ABE . -----------------------------------------5 分

E ?O G 2 (Ⅱ ) 连接线段 OG . 在三角形 AEC 中, 中位线 OG / / AE , 且A
分 已知 EA ? 2 FD , ? OG / / DF 且 OG ? DF ,

------------------------7

---------------------9 分

即平面四边形 DOGF 为平行四边形, ----------------------------------10 分

? FG / / OD ,又? FG ? ABCD, OD ? ABCD , --------------------------11 分

? FG / / 面ABCD . ----------------------------------------------------------12 分
18. (本题满分 12 分) 解: ( Ⅰ)

f ( x) ? 2 3sin x ? cos x ? 2cos2 x ?1 ? 3sin 2x ? cos 2x ----------------------2

? 2sin(2 x ? ) --------------------------------------4 分 6 2? ? ? -----------------------6 分 ? f ( x) 的最小正周期为 T ? 2 1 1 3 Ⅱ sin ? ? cos ? ? , ? sin 2? ? ? 1 ? ? -------------------------------------------------------9 2 4 4


?

? f (? ?

5? 3 ) ? 2sin(2? ? ? ) ? ?2sin 2? ? ---------------------------------------12 分 12 2

19. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)要使圆 C 的面积最小,则 AB 为圆 C 的直径, ------2 分
21

圆心 C ? 0, ?4 ? ,半径 r ?

1 AB ? 5 ---------------------4 分 2
2

2 所以所求圆 C 的方程为: x ? ? y ? 4 ? ? 5 . ---------6 分

(Ⅱ)法一:因为 k AB ?

1 , AB 中点为 ? 0, ?4 ? , 2
-----------------8 分

所以 AB 中垂线方程为 y ? 4 ? ?2 x ,即 2 x ? y ? 4 ? 0 解方程组 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? x ? ?1 得: ? ,所以圆心 C 为 (?1, ?2) .-----------------10 分 ?3x ? y ? 5 ? 0 ? y ? ?2

根据两点间的距离公式,得半径 r ? 10 ,------------------11 分 因此,所求的圆 C 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 . --------------12 分 法二:设所求圆 C 的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 根据已知条件得

?(2 ? a)2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(?2 ? a) ? (?5 ? b) ? r --------------------------------------6 分 ?3a ? b ? 5 ? 0 ?
?a ? ?1 ? ? ?b ? ?2 --------------------------------------------11 分 ?r 2 ? 10 ?
所以所求圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 10 . ---------------------12 分
2 2

20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ ) p ? ( ,2) , m ? ( ,1) ,依题意得 p ? m ? ( ,2) ,又 n ? ( , ? ) ,

8

?

1 2

4

?

?

4

1 2

∴( p ? m) ? n ?

4 ? 1 ? ? 2 ? (? ) ? 0 , ---------------------------2 分 ? 4 2

∴( p ? m) ? n .---------------------------------------------------------------------4 分 (Ⅱ ) OP ? ( x0 ,sin x0 ) , OQ ? ( x, y) , 由 OQ ? m ? OP ? n 得 ( x, y ) ? ( x0 ?

1 2

?

1 ,sin x0 ? ) , -----------6 分 4 2

1 ? ? x ? x0? ? ? 2 4 即? , -------------------------------------------------------7 分 ? y ? sin x ? 1 0 ? ? 2 ? 1 1 1 消去 x0 ,得 y ? sin(2 x ? ) ? ? ? cos 2 x ? ,即 f ( x) ? ? cos 2 x ? ----------10 分 2 2 2 2 ? 令 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? (k ? Z ) 得 k? ? ? x ? k? (k ? Z ) ----------------11 分 2
22

? 函数 f ( x) 的单调递减区间是: [k? ?

?
2

, k? ](k ? Z ) ----------------12 分

21. (本题满分 14 分) 解:依题意,钢梁(侧棱)与底面的夹角 ?PBO ? ? . ∴OP ? 10sin ? , -----------------------------------2 分

P

2 则 OE ? OB ? 5 2 cos ? , BC ? 10 2 cos ? -------4 2
分 在

RT ?POE
2


2



D

C

P ?

E

5 ?

,---6 分 O ?2 ?P

1

2

O? s
A

E i
O

∴ S侧面 ? 4 ? ? ----8 分

?1 ? PE BC ? ? 200cos ? 1 ? sin 2 ? --------?2 ?

?
B

E

n

? 200 1 ? sin4 ? ------------------------------------------10 分 1 3 ?? ? ? 又 ? ? ? , ? ,则 ? sin ? ? ,----------------------------11 分 2 2 ?6 3?
3 3 4 时, S侧面 取最小值是 200 1 ? ( ) ? 50 7 --------13 分 2 2 1 此时相应 cos ? ? ,AB ? 5 2 , 即冷水塔的底面边长应设计为 AB ? 5 2 OP ? 5 3 . 2 米,高 OP ? 5 3 米时,侧面钢板用料最省- --------------------------------------14 分
当且仅当 sin ? ? 22. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ )法一:记 C (0,1) ,连接 PC ,则 PC ?

?
2

?

?
3

?

?
6

----------------------------2 分

依题意 OM ? PN ? cos 60? ? PC ? PC -----------------------------------------3 分

? OM ?

?
6

-

---------------------------------------------------------4 分

法二:∵?xOP ? 显然 ? ? 3 即 则 OM ?

?
3

,∴ OM ?| OP | cos

?
3

?

1 3 ? ,--------------------------2 分 2 6

?
6

3 ? ? , --------------------------3 分 6 6
.--------------------------------------------------------------------------4 分

(Ⅱ )设∠AOx ? ? , ? ? [0, 记 f (? ) ? OA ? OB

?

1 3 ] , P( , ), 4 2 2

y N P B

1 1 1 1 ? ⑴ 当 ? ? [0, ] 时, A( , tan ? ), B( , tan(? ? )) -----------5 分 12 2 2 2 2 4 1 1 ? ? f (? ) ? OA ? OB ? ? tan ? ? tan(? ? ) -----------------------6 分 4 4 4

?

A O M x

23

1 1 ? tan ? 1 1 ? tan 2 ? ? (1 ? tan ? )? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ? 1 1 ? ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? )
? 1 1 1 1 ? ? ? 2 4 cos ? ? cos ? sin ? 2 1 ? cos 2? ? sin 2? 1
y N B P

A O M x

?

2(1 ? 2 cos(2? ? ) 4

?

-------------------------8 分

⑵ 当? ? (

1 1 3 3 , ] 时, A( , tan ? ), B( , ) ---------------9 分 ? 12 4 2 2 2 tan(? ? ) 2 4

? ?

? f (? ) ? OA ? OB ?

3 1 ( ? tan ? ) -------------------------------10 分 4 tan(? ? ? ) 4

?

3 1 ? tan ? 3 1 ? tan 2 ? ( ? tan ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 4 1 ? tan ?

?

3 1 3 1 ? ? ? 4 cos ? (cos ? ? sin ? ) 2 1 ? cos 2? ? sin 2?
3 1 ? --------------------------------------------------------12 分 2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4

?

? ? ? ? 综上, f (? ) ? OA ? OB ? ? ? ? ? ?
f (? ) 在 ? ? [0,


1 1 ? 2 1 ? 2 cos(2? ? ? ) 4 3 1 ? 2 1 ? 2 sin(2? ? ? ) 4

(? ? [0,

?
12

])

(? ? ( , ]) 12 4

? ?

] 增函数, 在 ? ? ( , ] 是减函数, 在 ? ? ( , ] 是增函数, ---------13 12 12 8 8 4

?

? ?

? ?

1 ? 3 ?1 ? 6? 3 ? 3 f (0) ? , f ( ) ? , f( )? , f( )? 4 12 2 8 2 4 4 1 3 ? f (? ) ? OA ? OB ? [ , ] -----------------------------------------------14 分 4 4
24

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数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.
1 参考公式:锥体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高. 3

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 1.直线 3x ? y ?1 ? 0 的倾斜角是 A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知 sin ? ? ? ,? 是第四象限角,则 tan ? 等于

4 5

3 4 3 C. ? D. ? 3 4 4 1 3.经过点 A(8, ?2) ,斜率为 ? 的直线方程为 2 A.x ? 2 y ? 4 ? 0 B.x ? 2 y ? 12 ? 0 C.2 x ? y ? 14 ? 0 D.x ? 2 y ? 4 ? 0 4.如图 , 在平行四边形 ABCD 中, O 是对角线 AC , BD 的交点 , N 是线段 OD 的中点, AN 的延长线与 CD 交于点 E ,则下列关系错误的是 D .... E C
A. ?

4 3

B.

A. AC ? AB ? AD

B. BD ? AD ? AB

1 1 C. AO ? AB ? AD 2 2
5.为了得到 y ? 2 sin( 2 x ? A.向右平移

?
6

1 D. AE ? AB ? AD 4 A

N O B

) 的图象,只需将 y ? 2 sin 2 x 图象上所有的点

? ? 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 12 12 ? ? C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 6 6.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A . 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?
7.在下列向量组中,可以把向量 a ? (3,4) 表示出来的是 A. i ? (0,0), j ? (2,1) C. i ? (1,2), j ? (2,4) 8.函数 f ( x) ?

?

?

?

B. i ? (?1,2), j ? (5,?4) D. i ? (?3,6), j ? (3,?6)

?

?

?

?

?

?

3 3 cos x ? sin x 图象的一条对称轴为 2 2

25

A. x ? ?

?
3

B. x ? ?

?
6

C. x ?

?
6

D. x ?

?
3

9.如图,⑴,⑵,⑶,⑷为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次为

正视图

侧视图

正视图 ·

侧视图

俯视图

俯视图 (1)

(2)

正视图

侧视图

正视图

侧视图

俯视图 (3) A.三棱台,四棱锥,圆锥,圆台 C.三棱柱,四棱锥,圆锥,圆台

俯视图 (4) B.三棱台,三棱锥,圆锥,圆柱 D.三棱柱,三棱锥,圆锥与圆柱的组合体,圆台

10.设 S 是平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : S ? S , a ? S ,记 a 的象为 f (a) .若映 射 f : S ? S 满足:对任意 a, b ? S ,当 a ? b 时,恒有 f (a) ? f (b) ,则称映射 f 是
a, b ? S

平面 M 上的“保序向量函数”.下列映射 f : ① f (a) ? ? a, 其中 ? ? R 且 ? ? 0 ; ② f (a) ? a ? e ,其中 e 是一个单位向量; ③ f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,其中 x, y ? R ; ④ f : ( x, y) ? (? x, ? y) ,其中 x, y ? R , ? , ? 是满足 ? ? ? ? 1 的实常数.
2 2

其中一定是平面 M 上的“保序向量函数”的映射 f 的个数为 C.3 D.4 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 11.已知 tan ? ? 3 ,则 tan(? ? A.1 B.2

?

4

)?

. .
A1

D1 B1

C1

12.若 a ? 3, b ? 5, a ? b ? ?3 ,则 a ? b ?

13.如图,已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, BC ? 3, AA 1 ?5,
26
A D B C

则该长方体截去三棱锥 A1 ? AB1 D1 后,剩余部分几何体的体积为
0

. .

14.过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 所截得的弦长为

15.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 )的图象与直线

y ? b(0 ? b ? A) 的三个相邻交点的横坐标分别是 2, 4, 8, 则 f ( x ) 的单调递增区间是___.
16.某同学在研究函数 f ( x) ?

x2 ? 4x ? 8 ? x2 ? 8x ? 20 的性质时,受到两点间距离公

式的启发,将 f ( x) 变形为 f ( x) ? 下列关于函数 f ( x) 的结论: ① f ( x) 的图象是中心对称图形; ③函数 f ( x) 的值域为 ? 0, 6 ? ;

( x ? 2)2 ? (0 ? 2)2 ? ( x ? 4)2 ? (0 ? 2)2 ,并得出
② f ( x) 的图象是轴对称图形; ④方程 f ? f ( x)? ? 2 5 ? 2 2 至少有 3 个解.

其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,在答 题卷上相应题目的答题区域内作答. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值,并求使函数取得最大值时 x 的集合.

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, O 是底面正方形 ABCD 的中心, PO ? 平面 ABCD ,

E 是棱 PC 上的点.
(Ⅰ)若 E 是 PC 的中点,求证: PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D O A B

C

27

19. (本小题满分 12 分) 已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,曲线 C 上的任意一点 P 满足 PA ? 2 PB . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 D(4,6) 且与曲线 C 相切,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 12 分) 已知 AB ? (6,1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3) ,且 BC ∥ AD . (Ⅰ)若 AC ? BD ,求 BC 的坐标; (Ⅱ)求 BD 的最小值.

21. (本小题满分 14 分) 如图,某市在长为 6 千米的道路 EF 一侧修建了一条健身跑道,健身跑道为曲线段 EGF , 曲线段是函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0)(x ? [? 3,3])的图象.市政府规划在道路与跑道之间的 区域内建一个矩形公园 ABCD ,公园的两个出入口 A, B 在道路 EF 上,相距 2 千米,且 线段 AB 的中点恰为坐标原点 O ,另两个出入口 C , D 在健身跑道 EGF 上. (Ⅰ)求该公园的面积; (Ⅱ)若在公园 ABCD 内铺设三条小路 OP, OQ, PQ ,点 P , Q 分别在边 AD , BC 上, 且 ?POQ ? 90 . (i)设 ?BOQ ? ? ,试将 △POQ 的周长 l 表示成 ? 的函数,并指出函数的定义域; (ii)经测算, 铺设三条小路的费用均为每千米 60 万元,如何设计才能使铺路的总费用最 低?并求出最低总费用.

28

22. (本小题满分 14 分) 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 ,动直线 l1 : x ? ky ? 2k ? 0 和 l 2 : kx ? y ? 4k ? 0(k ? R) . (Ⅰ)试判断直线 l1 和圆 O 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ)已知直线 l 2 与圆 O 相交,直线 l1 被圆 O 截得的弦的中点为 M ,求动点 M 的轨迹的 长度.

厦门市 2013~2014 学年(下)高一质量检测

数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1—5:CAADB 6—10:DBBCB 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.
29

11. ?2

15. ?6k ,6k ? 3? (k ? Z )

12. 2 7

13. 25 16. ②③④

14. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ,???????????????2 分

? 2 sin(2 x ? ) ? 2 , ???????????????4 分 4 2? ? ? . ??????????6 分 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? 2 (Ⅱ) f ( x) 的最大值为 2 ? 2 ,??????????????????8 分
当 2x ?

?

?
4

?

?

即 x ? k? ?

?

2

? 2k? ,

???????????????????10 分

8

, k ? Z 时, f ( x) 取得最大值,???????????11 分

所以, f ( x ) 取最大值时 x 的集合为 ? x x ? k? ?

? ?

?

? , k ? Z? .????12 分 8 ?
P

18.(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 OE .??????????????1 分 ∵ O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, ∴ OE ∥ AP ,???????????????3 分 又∵ OE ? 平面 BDE , PA ?平面 BDE ,???5 分
D

E

∴ PA ∥平面 BDE . ????????????6 分 O (Ⅱ)∵ PO ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , A ∴ PO ⊥ BD ,???????????????8 分 又∵ AC ⊥ BD , PO ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC ,且 AC ∩ PO ? O ,?????9 分 ∴ BD ⊥平面 PAC . ?????????????????????10 分 ∵ BD ? 平面 BDE ,?????????????????????11 分 ∴平面 PAC ? 平面 BDE . ??????????????????12 分 19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 P( x, y) ,由 PA ? 2 PB , 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , ??????????????2 分 化简得曲线 C 的方程 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 . ????????????5 分 (Ⅱ)①当直线 l 斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 4 ,与曲线 C 相切;?6 分 ②当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ? 6 , ???7 分 因为直线 l 与曲线 C 相切,所以圆心 ? 2, 0 ? 到直线 l 的距离等于半径 2,

C

B

? 2 , ??????????????????????9 分 k 2 ?1 4 解得 k ? ,????????????????????????10 分 3 4 2 所以直线 l 的方程为 y ? x ? ,即 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,??????11 分 3 3

30

6 ? 2k

综上可知,直线 l 的方程为 x ? 4 或 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 . ??????12 分 20.(本小题满分 12 分)

?AB ?BC 解: (Ⅰ) AD ? CD ? ( x ? 4 ,y ? 2 ) , ??????????2 分

BC / / AD ,∴ x( y ? 2) ? y( x ? 4) ? 0 , ???????????4 分 ∴ x ? 2 y ? 0 , ???????????????????????5 分
AC ? ( x? 6 ,y? 1 ), BD ? ( x ? 2 ,y? 3 ), ???????????6 分

AC ?BD ? 0 ? AC ? BD ,? ,
又∵ x ? 2 y ? 0 ,解得 ?

∴ ( x ? 6)( x ? 2) ? ( y ? 1)( y ? 3) ? 0

?????????????7 分

? x ? ?6, ? x ? 2, 或? ? y ? 3, ? y ? ?1,

即 BC?(?6,3 ) 或 (2, ?1) .??????????????????8 分 (Ⅱ) BD ? BC ? CD ? ( x ? 2, y ? 3) , ?????????????9分 ∴ BD ? ( x ? 2) ? ( y ? 3) ,???????????????10分
2 2

又∵ x ? 2 y ? 0 , ∴ BD ? ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5 y ? 2 y ? 13 ,????????11分
2 2 2

当y??

1 8 5 . ?????????????12 分 时, BD 有最小值 5 5

21.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 依题意,函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 的周期为 12 , 因为 ? ? 0 ,所以

2?

?

? 12 , ? ?

?
6

,??????????????1 分

又因为 AB 中点恰为坐标原点 O ,由矩形和三角函数图象的对称性知, y ? 2sin(? x ? ? ) 关于 y 轴对称,当 x ? 0 时, y ? 2sin(? x ? ? ) 取到最大值, 所以 ? ? 2k? ?

?

2 AB 2 又由 长为 ,可知 B(1, 0) ,
令 x ? 1 ,得 y ? 2sin(

? k ? Z ? , y ? 2sin(? x ? 2k? ? ? ) ? 2sin(? x ? ? ) ,?2 分
6 2 6 2

? 2? ? ) ? 2sin ? 3 ,??????????3 分 6 2 3 即 BC ? 3 ,所以该矩形公园的面积 S ? 2 3 (平方千米) .???4 分
(Ⅱ)(i)在 Rt△BOQ 中, OB ? 1 ,?OBQ ? 90 ,?BOQ ? ? ,所以 OQ ? 在 Rt△OPA 中, AO ? 1 ,?PAO ? 90 , ?OPA ? ? ,所以 OP ? 所以 PQ ? OP 2 ? OQ 2 ? (

?

1 , cos?

1 , sin ?

1 2 1 2 1 ) ?( ) ? , ???7 分 cos ? sin ? cos ? sin ? 1 1 1 ∴ l ? OQ ? OP ? PQ ? , ? ? cos? sin ? cos? sin ? sin ? ? cos? ? 1 即l ? , ???????????????????8 分 cos? sin ? π 当点 P 在 D 点时,这时角 ? 最小,求得此时 ? = ; 6

31

当点 Q 在 C 点时,这时角 ? 最大,求得此时 ? =

π . 3

∴此函数的定义域为 [ , ] , ????????????????9 分 (ii)由题意知,要使铺路总费用最低,只需 △POQ 的周长 l 最小即可,

π π 6 3

sin ? ? cos? ? 1 π π , ? ?[ , ] cos? sin ? 6 3 2 ? t ?1 设 sin ? ? cos? ? t ,则 sin ? ? cos? ? , t ? 2 sin(? ? ) ?10 分 2 4 sin ? ? cos ? ? 1 t ? 1 2 所以 l ? , ???????????11 分 ? 2 ? t ?1 t ?1 cos ? sin ? 2 3 ?1 π π 5π π 7π ? t ? 2 ,????12 分 由 ? ?[ , ] ,得 ,所以 ?? ? ? 2 6 3 12 4 12 π 当 t ? 2 , ? ? ,即 BQ ? 1 千米时, lmin ? 2( 2 ? 1) ,?????13 分 4 ∴当 BQ ? 1 千米时,铺路总费用最低,总费用为 120( 2 ? 1) 万元.?14 分
由(i)得, l ? 22.(本题满分 14 分) 解法一: (Ⅰ)直线 l1 和圆 O 相交, ????????????????????1 分 直线 l1 过定点 B(0,2) ,且点 B 在圆 O 上, 故直线 l1 与圆 O 相交或相切, ??????????3 分 ??????????????? 4 分

又仅当直线 l1 平行于 x 轴时,直线 l1 与圆 O 相切,显然不可能, ∴直线 l1 与圆 O 相交. ???????????????????5 分 (Ⅱ)? 直线 l 2 与圆 O 有两个交点 ∴
y B G

| ?4k | 1? k 2

? 2 ,????????? 6 分

E F 3 3 ?k? ,???????7 分 x O 3 3 记直线 l1 的倾斜角和斜率分别为 ? , k ' , ? k ? 0 时, ? ? , ???????8 分 2 1 k ? 0 时, k ' ? ? ( 3 ,?? ) ? (?? ,? 3 ) ,??????????9 分 k ? 2? ?? ? ∴ , ????????????????????? 10 分 3 3 动点 M 的轨迹是以 OB 为直径的一段圆弧 EOF ,如图所示,???13 分 ? 2? 圆周角 ?EBF ? ,圆心角 ?EGF ? , 3 3 2? ∴动点 M 轨迹的长度为 ,?????????????????14 分 3

解得 ?

解法二: (Ⅰ)直线 l1 和圆 O 相交, ????????????????????1 分
32

当 k ? 0 时,显然相交, ???????????????????2 分 当 k ? 0 时,圆心 O 到直线 l1 的距离为

| 2k | 1? k 2

?

2 1 ?1 k2

? 2 ,??4 分

所以直线 l1 与圆 O 相交, 综上,直线 l1 与圆 O 相交. ??????????????????5 分 (Ⅱ)∵直线 l 2 与圆 O 有两个交点 ∴

| ?4k | 1? k 2

? 2 ,???????????????????????6 分

解得 ?

3 3 , ????????????????????7 分 ?k? 3 3

设 M ( x, y ) ,弦 PQ 的垂直平分线方程为 kx ? y ? 0 ,与 x ? ky ? 2k ? 0 联立,

?2k ? x? , ? ? 1? k 2 得? ??????????????????9 分 2 ? y ? 2k ? 2 ? 2 , ? 1? k 2 1? k 2 ?
消去参数 k ,得 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2(2 ? y) ,即 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1,??11 分 ∵?

1 3 3 ,∴ 0 ? y ? , ??????????????12 分 ?k? 2 3 3

所以动点 M 的轨迹是以 OB 为直径的一段圆弧 EOF , ??????13 分

E (?

2? 3 1 3 1 , , ), F ( , ) ,从而圆心角 ?EGF ? 3 2 2 2 2 2? . ????????????????????14 分 3

? 轨迹的长度为

33



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