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简单的三角恒等变换(一)



3.2 简单的三角恒等变换(一)

1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角正 弦、余弦、正切公式; 2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换; 3.通过三角恒等变换的训练,培养转化与化归的数学思想.

复习巩固
1.两角和差的正弦、余弦、正切公式

2.二倍角正弦、余弦、正切公式
sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan? 1 ? tan 2 ?

1 1 0 sin 30 ? 【预习自测】 2 4 0 0 1、求值: (1) sin 15 cos 15 =_______; ? 2 cos ? 2 ? 2 ? (2) cos — sin =__________ 4 ;2 8 81 1 0 0 tan 45 ? tan 22.5 ( 3) =_________ ; 2 2 2 0 1 ? tan 22.5 2 0 0 2 cos 45 ? (4)2 cos 22.5 —1=__________ 。 2
5

3 7 25 5 , cos 2 ? =______. 2、若 sin(? ? ? ) = 3 ,则 sin ? =_______
7 1 3、若 tan ? = ,则 tan 2 ? =______. 7 24

? ? ? 与 有什么关系?那么cos ?能用 的三角函数 2 2 表示出来吗?
反之,能用cos ? 表示 sin
2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2

吗?

二倍角公式的变形 例1 试用cos ?表示 sin 解 ?是
?
2 的二倍角.
2

2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2
?
2

.

在公式 cos 2? ? 1 ? 2 sin ?中, 以?代替2? , 以 cos ? ? 1 ? 2 sin sin 2
2

代替? ,

?
2

?
2

?

1 ? cos ?       ① 2

在公式 cos 2? ? 2 cos ? ? 1中, 以?代替2? , 以
2

?

cos ? ? 2 cos
2

2

?
2

?1

2 可表示为 :

代替? ,

1 ? cos ? cos ?      ② 2 2

?

1 ? cos? sin ? ? 2 2 1 ? cos? cos ? ? 2 2 1 ? cos? t an ? ? 2 1 ? cos? 称为半角公式, 符号 由

?

?

1 ? cos ? ① 2 ? ?  得 tan 2 1 ? cos ? ②

?

?
2

所在象限决定.

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会 有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角 恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的 联系,这是三角式恒等变换的重要特点.

4 ? ? ? ? 例2 已知sin ? ? , 且 ? ? ? ?,试求 sin ,cos , tan 的值. 5 2 2 2 2

分析:先求 cos ?的值,再利用倍角公式的变形公式 求半角的三角函数值.

4 ? 解: sin ? ? , ? ? ? ? , 5 2 3 ? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? . 5 ?

?
4

?

?
2

?

?
2

.

? sin 2 sin

?
2 2
2

? ?

1 ? cos 2? 4 ? . 2 5 2 5 . 5

?

1 ? cos 2? 1 ? cos ? ? . 2 2 5 5 cos ? . 2 5 ? ? sin 2 ? tan ? ? 2. ? 2
cos 2

?

?

和角公式的变形
例3 求证: 1 (1) sin ? cos ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ; ? ? 2 ? ?? ? ?? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin cos . 2 2
这两个式子的左右两边结构形式上有什么不 同?

证明:(1) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?, sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .
将以上两式的左右两边分别相加,得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? =2sin ? cos ? .
1 即sin ? cos ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? . ? ? 2

(2)由(1)得:

sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ?


? ? ? ? ? ,? ? ? ? ?
2 2

那么 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ?

?, ? 把

的值代入上式中得
? ??
2 cos

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

.

思考 在例3证明过程中用到 了哪些数学思想方法?

例3证明中用到换元思想, ①式是积化和差的形式, ②式是和差化积的形式; 在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式.

三角变换,应注意三角函数种类和
式子结构特点的变化,分析透彻.找到 它们之间的联系,即学会“三看”—— 看角、看函数名称、看式子结构.

例4
证明 (1)

证明 :
(2) cos3 x ? 4 cos3 x ? 3 cos x

(1) sin3 x ? 3 sinx ? 4 sin3 x

左边 ? sin( 2 x ? x) ? sin 2 x cos x ? cos 2 x sin x ? 2 sinx cos2 x ? (1 ? 2 sin2 x) sinx ? 2 sinx(1 ? sin2 x) ? sinx ? 2 sin3 x ? 2 sinx ? 2 sin3 x ? sinx ? 2 sin3 x 3 ? 3 sinx ? 4 sin x ? 右边 ? sin3 x ? 3 sinx ? 4 sin3 x

例4

证明 :
(2) cos3 x ? 4 cos3 x ? 3 cos x

(1) sin3 x ? 3 sinx ? 4 sin3 x

( 2) 左边 ? cos(2 x ? x ) ? cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x ? (2 cos2 x ? 1) cos x ? 2 sinx cos x sinx

? 2 cos3 x ? cos x ? 2 cos x(1 ? cos2 x) ? 2 cos3 x ? cos x ? 2 cos x ? 2 cos3 x ? 4 cos3 x ? 3 cos x

1 ? sin 2? ? cos 2? ? tan? 例5 求证: 1 ? sin 2? ? cos 2? 2 1 ? 2 sin? cos? ? (1 ? 2 sin ? ) 证明:左边 ? 2 1 ? 2 sin? cos? ? (2 cos ? ? 1)
2 sin? (cos? ? sin? ) ? 2 cos? (cos? ? sin? )
? tan? ? 右边
sin? ? cos?

? 原式成立 .

1.下列各式恒成立的是( B ). ? 1 ? cos ? 1 ? cos 2? A.tan = B. ? cos 2 ? 2 sin ? 2 2 ? tan ? C. 2 ? 1 ? tan 2 2 tan

?

D.?

1 ? cos ? ? ? tan 1 ? cos ? 2

2.已知2sin ? ? 1 ? cos ? , 则 tan A.2 1 B. 2

?
2

等于( C ). D.不存在

? 解: 当1+ cos ? ? 0时, tan 不存在;
2 当1 ? cos ? ? 0时, tan

1 C. 或不存在 2
? ?
2 ? 2

?
2

?

sin cos

sin

? ?
2

? cos

? ?
2

?

2 ? sin ? ? 1 . ? ? 1 ? cos? 2 2 cos ? cos 2 2 2

2sin

?

? cos

?

cos ? cos 2 2

3.化简

1 ? cos 2 x . 1 x ? tan x 2 tan 2

2 cos 2 x 解:原式 ? 2 x 2 x cos ? sin 2 2 x x sin cos 2 2
2cos 2 x sin x 1 ? ? sin 2 x. 2cos x 2

【反馈检测】 1、已知 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( ,? ) , 2 1

?

则 cos ? ? __________ 2 , tan ? ? _____________ . 2、已知 cos ? ? ?
3 ,180? ? ? ? 270?, 求 sin 2? 、 cos 2? 、 tan 2? 的值. 3

?

? 3

3 tan ? ? tan 2? tan 2? ? , tan(? ? 2? ) ? ?1 4 1 ? tan ? tan 2?

1 1 3、已知 tan ? ? , tan ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值. 7 3

6 2 2 1 sin ? ? ? ,sin 2? ? ,cos 2? ? ? , tan 2? =-2 2 3 3 3

12 5 练 习 已知 : sin ? ? , cos ? ? ? , 则2?是 ( ) 13 13 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角 12 5 解 : ? sin ? ? , cos ? ? ? , 13 13 120 12 5 ? sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? ? ( ? ) ? ? ?0 169 13 13 5 2 12 2 2 2 cos2? ? cos ? ? sin ? ? ( ? ) ? ( ) 13 13 119 ?? ?0 169 ? 2?是第三象限角

练 习 1 ? sin10 ? ( ) A cos5 ? sin5 B cos5 ? sin5 D ? cos5 ? sin5 C 2 cos5

解:

1 ? sin10

? sin 5 ? cos 5 ? 2 sin5 cos5
2 2

? (sin 5 ? cos 5) ?| sin5 ? cos5 | ? ?(sin5 ? cos5)

2

3.若

x 1 ? 2 sin cos x 2 f ( x ) ? 2 tan x ? 2 ? ? 2 tan x ? 2 ? x x sin x 2 sin cos 2 2
2

x 2 sin ? 1 2 ,则 f ? x ? ? 2 tan x ? x x sin cos 2 2
2

?? ? 8 f ? ? ? _______ ? 12 ?

sin 2 x ? cos2 x 4 ? ? 2? sin 2 x sin x ? cos x

总结:注意“切割”化“弦”的思想

1.降幂公式;
2 1 ? cos 2? 2 cos ? ? . 2 2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应用;
3.三角变换要三看:看角、看函数名称、看式子结构. 4.换元思想.

sin 2

? 1 ? cos2?
2 =





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