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§3.4基本不等式第1课时



教师课时教案
备课人 课题
§3.4 基本不等式 ab ?

授课时间
a?b (第 1 课时) 2 a?b 掌握基本不等式 ab ? 2
理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号 知识目标 技能目标 情感态度价值观 “≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 学会推导并掌握基本不等式 引发学生学习和使用数学知识的兴趣, 发展创新精神, 培养 实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

课标要求 教 学 目 标 重点 难点

应用数形结合的思想理解不等式 基本不等式 ab ?

a?b 等号成立条件 2

问题与情境及教师活动
1.课题导入
基本不等式 ab ?

学生活动

a?b 的几何背景: 2

教 学 过 程 及 方 法

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去 象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一 些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课
1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个全等的 直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的 边长为 a 2 ? b2 。这样,4 个直角三角形的面积的和是 2ab,正 方形的面积为 a ? b 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的
2 2

面积,我们就得到了一个不等式: a ? b ? 2ab 。 当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为
2 2

一个点,这时有 a ? b ? 2ab 。 2 . 得 到 结 论 :
2 2













a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号)
2 2

1

教师课时教案
问题与情境及教师活动
3.思考证明:你能给出它的证明吗?

学生活动

a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 当 a ? b时,(a ? b)2 ? 0,当a ? b时,(a ? b)2 ? 0, 所以, (a ? b) 2 ? 0 ,即 (a 2 ? b 2 ) ? 2ab. a?b 4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ? 2 特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a ? b ? 2 ab , a?b (a>0,b>0) 通常我们把上式写作: ab ? 2 a?b 2)从不等式的性质推导基本不等式 ab ? 2
证明:因为

教 用分析法证明:
要证

学 过 程 及 方 法

只要证 a+b ? 要证(2) ,只要证 a+b-

a?b ? ab 2

(1)

?0
2

(2) (3)

要证(3) ,只要证( ) (4) 显然, (4)是成立的。当且仅当 a=b 时, (4)中的等号成立。

3)理解基本不等式 ab ?

a?b 的几何意义 2

探究:课本第 110 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点, AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、 BD 。 你 能 利 用 这 个 图 形 得 出 基 本 不 等 式

ab ?

a?b 的几何解释吗? 2
2

易证 R t △ A C D ∽ R t △ D C B ,那么 C D = C

A·CB
即CD= ab . 这个圆的半径为

a?b a?b ? ab ,其 ,显然,它大于或等于 CD,即 2 2 a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

中当且仅当点 C 与圆心重合,即 a=b 时,等号成立. 因此:基本不等式 ab ?

2

教师课时教案
问题与情境及教师活动
评述:1.如果把

学生活动

a?b 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 2 a?b 为 a、b 的算术平均数,称 ab 为 a、 2

a、b 的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于
它们的等比中项. 2.在数学中,我们称 们的几何平均数. 例 1 已知 x、y 都是正数,求证:

b 的几何平均数.本节定理还可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它

教 [补充例题] 学 过 程 及 方 法
(1)

y x ? ≥2; x y
2 2 3 3 3 3

(2)(x+y) (x +y ) (x +y )≥8x y . 分析:在运用定理:

a?b ? ab 时,注意条件 a、b 均为正数, 2


结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形. 解:∵x,y 都是正数 >0,y >0 (1)
3

y x 2 2 3 > 0, > 0,x >0,y >0,x x y

x y x y x y ? ?2 ? =2 即 ? ≥2. y x y x y x

(2)x + y ≥ 2

xy > 0

x2 + y 2 ≥ 2

x2 y2 > 0

3 3 x3+y3≥2 x y >0

∴(x+y) (x +y ) (x +y )≥2 xy ·2

2

2

3

3

x 2 y 2 ·2 x 3 y 3 =8

x3y3
即(x+y) (x +y ) (x +y )≥8x y .
2 2 3 3 3 3

4.课时小结

教 学 小 结 课 后 反 思
3



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