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高三文科数学仿真模拟题



高三文科数学高考模拟试卷
10 月 9 日
一.选择题: 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 1 }, B ? {x | log2 x ? 0}, 则 A ? B ? ( )

A. {x | x ? ?1} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? 1} D. {x | x ? ?1或x ? 1} 2.如果复数

/>
2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于( ) 1 ? 2i 2 2 A. ? 6 B. C. ? D.2 3 3

3.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? a7 ,则 k ? ( ) A. 22 4..函数 y ? B. 23 C. 24 D. 25

x ln x 的图象大致是( ) x

5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 x 值是 ( A.3 C.6 B.4 D.8

).

6. 设 a ?

1 ? cos 50o 2 tan14o 1 3 , ,则有( ) c ? cos 2o ? sin 2o , b ? 2 1 ? tan 2 14o 2 2
B. a ? b ? c C. b ? c ? a D. c ? a ? b )

A. a ? c ? b 7. 已知正数 x,y 满足 ? A.1

?2 x ? y ? 0 1 y ?x ,则 z ? 4 ? ( ) 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
13 2 4
C.

B.

1 16

D.

1 32

? ?? ? ? 8. 将奇函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? x ? ? 的图象向左平移 个单位得到的 2 2? 6 ? 图象关于原点对称,则 ? 的值可以为( ) A.6 B.3 C.4 D.2
9.一个几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积是( )

2

2 2 正视图

2

侧视图 2

俯视图 A.1 B.2 C.3 D.4

, c ,若 sin A ? 10. 在锐角 △ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b

2 2 ,a?2, 3

S△ABC ? 2 ,则 b 的值为( )
A. 3 B.

3 2 2

C. 2 2

D. 2 3

11.已知点 A(0,2) ,抛物线 C1:y =ax(a>0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,若|FM|:|MN|=1: A. B. C.1 D.4 ,则 a 的值等于( )

2

12. 已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图 像如图所示.

x f(x) 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)的值域为[1,2];

-1 1

0 2

2 1.5

4 2

5 1

②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C.2 D.3

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13. 已知向量 a、b ,其中 a ?

2 , b ? 2 ,且 (a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是_______.

14. 已知三棱锥 P ? ABC 的所有棱长都等于 1,则三棱锥 P ? ABC 的内切球的表面 积 . x2 y2 ? ? 1 的中心任作一直线交椭圆于 P、Q 两点, F 是椭圆的一个焦点,则△ 15. 过椭圆 25 16

PQF 面积的最大值是

.

x ?1 ?ln x, ? 16. 已知函数 f ( x) ? ? 1 ( a 为常数,e 为自然对数的底数)的图象在点 ( x ? 2)( x ? a), x ? 1 ? ?e

A(e,1) 处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 , a2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 ?bn ?满足: 1 ?

b 2

b b2 ?? ? n ? an ? 1 (n ? N*) , 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 2 2 2n

18.(本小题满分 12 分) 某校有 150 名学生参加了中学生环保知识竞赛,为了解成绩情况,现从中随机抽取 50 名学生的成绩进行统计(所有学生成绩均不低于 60 分).请你根据尚未完成的频率分布表, 解答下列问题:

分组 第1组 第2组 第3组 第4组 合计 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

频数 M 15 20 N 50

频率 0.26 p 0.40 q 1
0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
0

频率 组距

60 70

80

90 100 分数

(Ⅰ)写出 M 、N 、p、q(直接写出结果即可) ,并作出频率分布直方图; (Ⅱ)若成绩在 90 分以上的学生获得一等奖,试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数; (Ⅲ)现从第(Ⅱ)问中所得到的一等奖学生中随机选择 2 名学生接受采访,已知一等奖获 得者中只有 2 名女生,求恰有 1 名女生接受采访的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形, 每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P 为侧 棱 SD 上的点.

S

P (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ) 若 SD⊥平面 PAC, 侧棱 SC 上是否存在 一点 E, 使得 BE∥平面 PAC.若存在, 求 SE: EC 的值; 若不存在,试说明理由. B A D

C

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

1 x2 y 2 e ? , ,其中 F 是椭圆的右焦点,焦距为 2,直线 l 与 ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 2 a 2 b2

椭圆 C 交于点 A、B,点 A,B 的中点横坐标为 (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)求实数 ? 的值.

??? ? ??? ? 1 ,且 AF ? ? FB (其中 ? ? 1 ). 4

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 2x ?1? x ? R ? .
x 2

(Ⅰ) 当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 求证:对任意的实数 a ? 0 ,不等式 f ( x) ? .

1 3 a ? 2 ? 0 恒成立。 3

请考生从第(23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则 按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 ?x ? t ? 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x ? ? y ? 3t 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2 ? sin? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、B 两点,求 | AB |

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

设不等式 ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 M , a, b ? M .
(Ⅰ证明: |

1 1 1 a ? b |? ; 3 6 4

(Ⅱ)比较 | 1 ? 4ab | 与 2 | a ? b | 的大小.

答案
1-5CCABD 13. 6-10DCADA 11-12DD 16. ? ?,?3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2,

? 4

14.

? 6

15.12

?

?

? ?

2? ? 3?

【17.解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题设 d ? 0 . 由 a2 ? a6 ? 14 ,可得 a4 ? 7 .由 a3a5 ? 45 ,得 (7 ? d )(7 ? d ) ? 45 ,可得 d ? 2 . 所以 a1 ? 7 ? 3d ? 1 .可得 an ? 2n ? 1 .……………………………6 分 (Ⅱ)设 cn ?

bn ,则 c1 ? c2 ? ? ? cn ? an ? 1 . 2n

即 c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n , 可得 c1 ? 2 ,且 c1 ? c2 ? ? ? cn ? cn?1 ? 2(n ? 1) . 所以 cn ?1 ? 2 ,可知 cn ? 2 (n ? N*) .所以 bn ? 2n?1 , 所以数列 ?bn ?是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以前 n 项和 Sn ?

4(1 ? 2n ) ? 2n ? 2 ? 4 . …………………………12 分 1? 2
频率 组距

【18 解析】(Ⅰ)M=13 ,N =2, p=0.30,=0.04 …………………2 分 (Ⅱ)获一等奖的概率为 0.04,获一等奖的人数 估计为 150 ? 0.04 ? 6 (人)……7 分 (Ⅲ)记获一等奖的 6 人为 A1 , A2 , B, C, D, E ,其中
A1 , A2

为获一等奖的女生,从所有一等奖的同学中随

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
0

机抽取 2 名同学共有 15 种情况如下:

60 70

80

90 100 分数

? A1 , A2 ? , ? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? , ? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? ,
?B, C ? , ?B, D? , ?B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?D, E ? ,
女生的人数恰好为 1 人共有 8 种情况如下: ………9 分

? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? , ? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? ,
所以恰有 1 名女生接受采访的概率 P ?

8 . 15

………12 分

【19 解析】 (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。在正方形 ABCD 中, AC ? BD , 所以 AC ? 平面 SBD 从而 AC ? SD ………5 分 (Ⅱ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 设正方形边长 a ,则 SD ?

2 a 由 SD⊥平面 PAC 可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一 4

点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 ? BDN 中知 BN // PO ,又由于 NE // PC ,

1 , 故 故 平 面 BEN // 平面PAC , 得 BE // 平面PAC , 由 于 SN:NP ? 2: SE:EC ? 2: 1 .………12 分

20.解: (I)由条件可知, c ? 1, a ? 2 ,故 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

x2 y 2 ? ?1. 椭圆的标准方程是 4 3
??? ? ??? ?

………4 分

(Ⅱ)由 AF ? ? FB ,可知 A,B,F 三点共线,设 点A( x1 , y1 ), 点B( x2 , y2 ) 若直线 AB ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 1 ,不合意题意. 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 ,消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
由①的判别式 ? ? 64k ? 4(4k ? 3)(4k ?12) ? 144(k ? 1) ? 0 .
4 2 2 2



? 8k 2 x ?x ? ? ? 1 2 4k 2 ? 3 因为 ? , 2 4 k ? 12 ?xx ? ? 1 2 4k 2 ? 3 ?

………6 分

所以 x1 ? x2 ? 将k ?
2

1 8k 2 1 ? ,所以 k 2 ? . 2 4 4k ? 3 2

………8 分

1 1? 3 5 代入方程①,得 4 x 2 ? 2 x ? 11 ? 0, 解得x ? . ………10 分 4 4

又因为 AF ? (1? x1, ? y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 ) , AF ? ? FB ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??

1 ? x1 3? 5 . , 所以? ? x2 ? 2 2

………12 分

【21 解析】 (Ⅰ) 当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 2 x ?1则 f ' ( x) ? e x ? 2 , f ' ( x) 的零点为

x ? ln 2 ;当 x ? ? ??,ln 2? 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? ? ln 2, ??? 时, f ' ( x) ? 0 ,
即 ? ??,ln 2? 是 f ( x ) 的单调递减区间; ? ln 2, ??? 是 f ( x ) 的单调递增区间。 (Ⅱ)由 f ( x) ? ex ? ax2 ? 2x ?1? x ? R ? 得 f ( x) ? e ? 2ax ? 2
' x

记 g ( x) ? e x ? 2ax ? 2 ,因为 a ? 0 ,所以 g ' ( x) ? e x ? 2a ? 0 ,即 f ' ( x) 在 R 上单调递增。 又 f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? e ? 2a ? 2 ? 0 , 故在 R 上存在唯一的 x0 ? ? 0,1? , 使得 f ( x) ? 0
' ' '

且当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, f ( x) ? 0
' '

即 f ( x ) 在 ? ??, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增 则 f ( x)min ? f ( x 0 ) ? e 0 ? ax02 ? 2x0 ?1 ,再由 f ' ( x0 ) ? 0 得 e 0 ? ax02 ? 2
x x

故 f ( x)min ? ?ax02 ? 2(a ?1) x0 ? 1

a ? 1 2 ? a ? 1? 令 ? ? x0 ? ? ?ax0 ? 2(a ? 1) x0 ? 1 ? ?a( x0 ? ) ? ?1 a a
2 2

a ?1 ? 1 ,而 x0 ? ? 0,1? ,所以 ? ? x0 ? ? ? ?1? ? a ?1 a 1 3 ' 2 令 F (a ) ? a ? a ? 1 ,则 F (a) ? 1 ? a 3
由于 ? a ? 0 , 当 a ? ?1 时, F (a) ? 0 ;当 ?1 ? a ? 0 时, F (a) ? 0
' '

所以 F (a ) min ? F ( ?1) ?

1 ?0 3 1 3 a ? 2 ? 0 恒成立。 3

故对任意的实数 a ? 0 ,不等式 f ( x) ?

【23 解析】 (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? ? 由? 代入得 ? sin? ? 3? cos ? ? ? ? ( ? ? R) . y ? ? sin ? 3 ?
( 也可以是: ? ?

4? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? 得 ? ? ? ? 3 ?

?

3

或? ?

? 2 ? 3? ? 3 ? 0 -----------------------------7 分 ? ? 设 A( ? 1 , ) , B( ? 2 , ) , 3 3
则 | AB |?| ?1 ? ? 2 |?

( ?1 ? ? 2 ) 2 ? 4 ?1 ? 2 ? 15 .---------10 分

(若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分)

x ? ?2 ? 3, ? 【24 解析】 (I)记 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?? 2 x ? 1,?2 ? x ? 1, ? ? 3, x ? 1 ?
1 1 1 1 ? x ? ,即 M ? (? , ) …………………3 分 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以, | a ? b |? | a | ? | b |? ? ? ? ? ; ……………………5 分 3 6 3 6 3 2 6 2 4 1 1 (II)由(I)得: a 2 ? , b 2 ? , 4 4

由 ? 2 ? ?2 x ? 1 ? 0 解得: ?

因为 | 1 ? 4ab |2 ?4 | a ? b |2 ? (1 ? 8ab ? 16a 2b2 ) ? 4(a 2 ? 2ab ? b2 )

? (4a 2 ?1)(4b2 ?1) ? 0
故 | 1 ? 4ab |2 ? 4 | a ? b |2 ,即 | 1 ? 4ab |? 2 | a ? b |

………………9 分 ……………………10 分



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