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四川绵阳南山中学2016届高三“绵阳三诊”热身考试数学(文)试题(含答案)



南山中学 2016 级绵阳三诊热身考试



学(文史类)
命题人:何先俊

本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题).第一部分 1 至 3 页,第二部分 4 至 6 页,共 6 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分 150 分.考试时间 120 分 钟.考试结束

后,只交回答题卡,试题卷学生自己保留.

第一部分(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2.本部分共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {0,1, 2} , B ? {m,3, 4} .若 A I B ? {2} ,则实数 m ? (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

2 2. 复平面内,复数 z ? i ? i ,则复数 z 对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3. 下列函数中,在定义域内是奇函数,且在区间(-1,1)内仅有一个零点的函数是 (A) y ? sin x
2 (C) y ? x ?

(B) y ? log 2 | x | (D) y ?

1 2

1 x

4. 为了得到 y ? sin 2x 的图象,只需将 y ? cos 2x 的图象沿 x 轴

? 个单位 4 ? (C)向左平移 个单位 2
(A)向左平移 (A)3 B)

? 个单位 4 ? (D)向右平移 个单位 2
(B)向右平移 (C)

5. 执行如图所示的程序框图,如果输入的 x ? t ? 3 ,则输出的 M 等于

11 3

19 6

(D)

37 6

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? , 则下列等式不正确的是 6. 若 f ( x) ? 2 2
(A) f (2 x) ? 2 g ( x) ? 1
2

(B) f ( x) ? g ( x) ? 1
2 2

(C) f ( x) ? g ( x) ? f (2 x)
2 2

(D) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y)
1

7. 已知点 A 为抛物线 C:x2=4y 上的动点(不含原点),过点 A 的切线交 x 轴于点 B,设抛物线 C 的焦点为 F,则∠ABF 一定是 (A)钝角 (B)锐角 (C)直角 (D)上述三种情况都可能 8. 已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,其俯视图如下所示: 1 则下列命题中正确的是 (A)四棱锥四个侧面中不存在两组侧面互相垂直 1 (B)四棱锥的四个侧面可能全是直角三角形

4 (C)若该四棱锥的左视图为直角三角形,则体积为 3
(D)若该四棱锥的正视图为正方形,则四棱锥的侧面积为 6 ? 2 2 ? 2 5 9. 已 知 0<a<b, 函 数

2 俯视图

f (x ? )

1 ? x

2 , 则 对 于 任 意 x1 , x2 ?[a, b] 且 x1 ? x2 , 使

f (b) ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f (a) 恒成立的函数 g(x)可以是 x1 ? x2
(B) g ( x) ? ln x ? 2x
x (D) g ( x) ? e ( ? 2)

1 ?1 x2 1 (C) g ( x ) ? ? ? 2 x
(A) g ( x) ? ?

1 x

10. 如图,曲线 Γ 在顶点为 O 的角 α 的内部,A、B 是曲线 Γ 上任意相异两点,且 α≥∠AOB,我们把满足条 件 的 最 小 角 叫 做 曲 线 Γ 相 对 于 点 O 的 “ 确 界 角 ”. 已 知 O 为 坐 标 原 点 , 曲 线 C 的 方 程 为

? x2 (x ? 0) ? 4? ,那么它相对于点 O 的“确界角”等于 y?? 3 ? 2 ?2 x ? 3 x ? 2(x ? 0) ? 2? (A) (B) 3 3 5? 7? (C) (D) 12 12

第二部分(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1. 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅 笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 2. 本部分共 11 小题,共 100 分. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. log3

3 ? log 4 2 ? . 3

12. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠ABC=

uu u r uuu r ? ,点 P 是线段 BD 上的一点,则 AP ? AC 等于 3

.

2

?x ? y ? 4 ? 13. 已知由不等式组 ? x ? y ? 0 所确定的平面区域为 ? ,则能够覆盖区域 ?x ? 1 ?
. 14. 如图,无人机在离地面高 200m 的 A 处,观测到山顶 M 处的仰角为 15° 、 山脚 C 处的俯角为 45° ,已知∠MCN=60° ,则山的高度 MN 为_________m. 15. 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 为两个不同的点,直线 l:ax+by+c=0, ? ?

A M A

D

? 的最小圆的方程为

N

C

B

ax1 ? by1 ? c .有下列命题: ax2 ? by2 ? c

①不论 ? 为何值,点 N 都不在直线 l 上; ②若直线 l 垂直平分线段 MN,则 ? =1; ③若 ? =-1,则直线 l 经过线段 MN 的中点; ④若 ? >1,则点 M、N 在直线 l 的同侧且 l 与线段 MN 的延长线相交. 其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号). 三、解答题:共 6 小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题共 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a3 ? a5 ? a4 ? 8 . (Ⅰ)求 S7 的值; (Ⅱ)若 a1 ? 2 且 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

3

17.(本小题共 12 分)设关于 x 的方程 x ? 4mx ? 4n ? 0 .
2

(Ⅰ)若 m∈{1,2,3},n∈{0,1,2},求方程有实根的概率; (Ⅱ)若 m、n∈{-2,-1,1,2},求当方程有实根时,两根异号的概率.

18. (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2 x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)设 f (

x0 ? ? ) ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin 2 ? ,求 sin 2 x0 的值. 2 6 6

4

ABC ,?BAC ? 90? ,AB ? AC ? 2 , 19. (本小题共 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,AA 1 ? 平面

AA1 ? 4 .
P 点,若 ?PBC 为等边三角形,求出点 P 的位置; (Ⅰ )过 BC 的截面交 A 1A 于
(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,求四棱锥 P ? BCC1B1 与三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的 体积比.

C1 A1 C B1

A

B

20.(本小题共 13 分)已知离心率为

x2 y 2 2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点(0,-1),且 F1、F2 分别是椭 a b 2

圆 C 的左、右焦点,不经过 F1 的斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如果直线 AF1、l、BF1 的斜率依次成等差数列,求 k 的取值范围,并证明 AB 的中垂线过定点.

5

21. (本小题共 14 分)函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? ?1 ,对任意的 a 有 f ( x) ? b ? 0( x ? (0,1]) 恒成立,求实数 b 的取值范围.

6

南山中学 2016 级绵阳三诊热身考试

一、选择题(50 分) CBABC DCCBD 二、填空题(25 分) 11.0 12.2 13. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

学(文史类)答案

14.

300

15.①③④

三、解答题(75 分) 16.(本题满分 12 分) (Ⅰ)因为在等差数列 {an } 中有 a3 ? a5 ? a4 ? a4 ,? a4 ? 8 .……………2 分 所以 S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7 ? 2a4 ? ? 7 a4 ? 56 . ……………4 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a4 ? 8 ,且 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n ,……………6 分 于是 S n ?

n(2 ? 2n) ? n 2 ? n ,……………8 分 2

所以 Sk ? k 2 ? k .又 a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) ,
2 2 2 由已知可得 ak ?1 ? a3 Sk ,即 (2k ? 2) ? 6(k ? k ) ,
2 * 整理得 k ? k ? 2 ? 0 , k ? N .……………10 分

解得 k ? ?1 (舍去)或 k ? 2 .故 k ? 2 .……………12 分 17. (本题满分 12 分) 解: 方程有实根?=16m ? 16n ? 0,即m ? n
2 2

(Ⅰ)m 与 n 的所有可能结果为 9 种. ……………………………………………2 分 为使 m ? n ,则当 m=3 时,n=0,1,2;
2

当 m=2 时,n=0,1,2; 当 m=1 时,n=0,1. 共有 8 种结果. ………………………………………………4 分

8 方程有实根的概率p = ?????6分 9
(Ⅱ)由条件知,在 m ? n 的条件下,求 n<0 的概率.
2

当 m=-2 时,n=-2,-1,1,2; 当 m=-1 时,n=-1,1; 当 m=1 时,n=-1,1; 当 m=2 时,n=-2,-1,1,2. 共有 12 种结果. ……9 分 其中使 n 为负数的,只的 6 种情况,故所求概率等于 p ? 18. (本题满分 12 分)
7

6 1 ? ……………12 分 12 2

解:(Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

2 sin(2 x ? ) ……………2 分 4 ? 3? ? ? ? 由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , 得 ? ? k? ? x ? ? k? 2 4 2 8 8 ? 3? x ? ( ? ? k? , ? k? ), k ? Z , f ( x)单増 ……………4 分 8 8 x ? 3 1 (Ⅱ) f ( 0 ) ? 2 sin( x0 ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? 2 4 4 4 3 3 ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? ……………7 分 4 4 3 ? sin x0 ? cos x0 ? ①……………10 分 4 7 2sin x0 cos x0 ? sin 2 x0 ? ……………12 分 16
19. (本题满分 12 分) (Ⅰ) PC ? PB ? BC ? 2 2,即P为A 的中点时 1

?

?PBC为等边三角形 ……………4 分
(Ⅱ) VP ? BCC1B 1 = ? 2 2 ? 2 ? 4= ……………7 分

1 3

8 3

1 VABC ? A1C1B 1 = ? 2 ? 2 ? 4=8 ……………10 分 2

C1 A1 P C B1

VP? BCC1B 1 : VABC ? A1C1B1 ? 1: 3 ……………12 分
20. (本题满分 13 分)

( ) ? 1? (Ⅰ)由条件知
2

c a

b2 1 ? ,且 b=1,解得 a2=2, ……………2 分 a2 2

A

B

x2 ? y 2 ? 1 .……………4 分 椭圆 C 的方程为 2
(Ⅱ)令直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? k ) ,

代入椭圆方程

x2 ? y 2 ? 1 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2(m2 ?1) ? 0 . 2

2 2 2 2 2 2 由 ? >0 得 16k m ? 8(1 ? 2k )(m ?1) ? 0 ,解之得 m ? 1 ? 2k .

令 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 ? x2 ? 由条件得 k AF ? kB ? 2k , 1 F
1

?4km .……………6 分 1 ? 2k 2



y1 y kx ? m kx2 ? m ? 2 ? 2k ? 1 ? ? 2k ? (m ? k )( x1 ? x2 ? 2) ? 0 . x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1
8

因为 m ? k , x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,即 将m ? k ?

?4km 1 .……………8 分 ? 2 ? 0,? m ? k ? 2 1 ? 2k 2k

1 代入 m2 ? 1 ? 2k 2 中,得 2k

(k ?

1 2 1 2 2 ) ? 1 ? 2k 2 ? k 2 ? , ? k ? (??, ? ) U( , ??) ..……………8 分 2k 2 2 2

x1 ? x2 ? ?1 ,于是得 AB 中点坐标为 ( ?1,m ? k ) , 2 1 中垂线方程为: y ? m ? k ? ? ( x ? 1) . .……………10 分 k 1 1 1 将m ? k ? 代入得: y ? (k ? ) ? k ? ? ( x ? 1) , 2k k 2k 1 1 整理得: y ? ? ( x ? ) . .…………12 分 k 2 1 故 AB 的中垂线过定点 ( ? ,0) ..……………13 分 2
由上知, 21.(Ⅰ) f ?( x) ? ?

3x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) , ..……………2 分 x

? 1? x ? ? 0, ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)单增。 ..……………4 分 ? 3? ?1 ? ..……………6 分 x ? ? ,? ? 时,f ?( x) ? 0, f ( x)单减。 ?3 ?
(Ⅱ)首先,对于任意 a ? ( ? 1,+?) , ln x ? 则 b ? (ln x ?

1 2 ax ? 2 x ? b 恒成立, 2

1 2 ax ? 2 x) max ...……………8 分 2 1 1 因为函数 h(a ) ? ln x ? ax 2 ? 2 x ? ? x 2 a ? 2 x ? ln x 在 ( ? 1,+?) 上是减函数, 2 2 1 2 1 所以 h(a )<h( ?1) ? x ? 2 x ? ln x, .? b ? x 2 ? 2 x ? ln x ..……………10 分 2 2 1 其次,对任意的 x ? (0,1] ,不等式 b ? x 2 ? 2 x ? ln x 恒成立, 2 1 2 于是 b ? ( x ? 2 x ? ln x) max ...……………12 分 2
令 g(x) ?

1 ( x ? 1)2 1 2 ? 0 ,所以函数 g (x) 在 (0,1] 上是增函数, x ? 2 x ? ln x ,则 g ?(x) ? x ? 2 ? ? 2 x x
3 3 3 ,故 b ? ? ,即 b 的取值范围是 [ ? , ??) ...……………14 分 2 2 2
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于是 g (x) max ? g (1) ? ?

9



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