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一道数列题评讲引发课堂论文


对一道数列题的评讲引发的课堂探讨 [摘要] 本文针对一条高三数学压轴题,利用情境思维的教学方 法给学生讲解,进而引导学生理解数列的概念,从而举一反三掌握 类似数列题型。 [关键词] 情境思维数列不等式 一、引言 设数列、满足,. 求证:数列是等差数列; 当,且时,求证:. (2007 苏北五市高三调研考试数学试题第 21 题) 这是一道压轴题,难度较大,得分率不高,特别是第(2)小问几 乎没人能完整给出解答。但在讲评过程中,部分同学的思维活跃, 解法多样,教师引导学生对这道题进行了深入的探讨。笔者对第二 问的讨论情况整理并呈现如下: 二、教学片断 师:不等式与数列的综合问题,既是教学的重点和难点,也是高 考的热点,近年来高考中经常出现不等式与数列的结合问题,在这 类问题的处理方法中,以放缩法较为常用,其放缩的目标一般是转 化为特殊的数列求和(或求积) 。下面先请同学说说解这道题的思 路,其他同学给予补充。 生 1:第二问要证,应先求出数列的通项,再考虑用放缩法来证, 由(1)及本题的条件可求出数列的通项,从而求出数列的通项, 然后再观察通项的特征,选择具体的解法。 由(1)可知数列为等差数列,设其公差为 d,则由已知 我就证到这里,得不出题中的结果。 师:这位同学已能证明左边小于 2,没能证明左边小于,问题必定 出在放缩量上,能够减小各项的放缩量吗?大家可以讨论。 经过讨论后,一位学生提出自已的观点。 生 2:刚才那位同学没能得到结果,说明放得太大,于是我想 ∴ 但仍不能得到结果。 师:这位同学的证明已经离结果很接近了,就差一步之遥了,那 说明他仍然放得过大,请同学们继续探究。 又过了一会儿,有同学终于成功证明。 生 3:记,当 n=1 时; 当 n≥2 时 ∵ ∴ ∴对一切都有 师评:解决复杂问题通常都不是一蹴而就的,要通过不断的探索, 从失败中吸取教训,找出正确的方法。放缩法是证明不等式的常用 方法,适当的放缩是解题的关键。刚才的解法是逐项适当调整放缩 度,终于获得成功。还有什么其它想法吗?能否通过固定部分项, 放缩另外的项来进行证明呢?请同学们继续思考。 经过进一步的讨论,有同学提出下面的解法。 生 4:我发现如果保留前面的两项不变,通过放缩后面的项也能得 出结果。 当 n=1 时, ;当 n=2 时, ; 当 n≥3 时利用可得 师:这位同学采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时, 不一定从第一项开始, 须根据具体题型分别对待, 即不能放的太宽, 也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。考虑一下,利用这种思路你 还有其它解法吗? 生 5:通过计算我发现,只要保留的项数足够多,利用 也可以得到结果,当 n≥6 时, 当 1≤n≤5 时易验证结论成立。 师评:非常好,放缩法可以对每一项进行适当放缩,也可以对部 分项进行适当放缩来达到目的。事实上生 1,生 2,生 3 是对每一 项的放缩进行探索调整得出恰当的方法,而生 4 和生 5 则是通过调 整适当的项数来放缩得出结果。两种方法互为补充,各有特点。还 有什么想法,大家可以进一步探究。 (启发学生让学生自已将结论 进行推广或引申) 生 6:老师,结合刚才几位同学的方法,我还得到了一个更强的结 论:对一切都有 当 n=1,2 时易验证不等式成立; 当 n≥3 时 ∵ ∴ 师: (惊喜,欣赏地)很有见地,生 6 肯动脑筋,得到了一个很好 的结果。事实上,生 5 已经得到了一个较强的结论:对一切都有, 用类似的方法,还可以得到比上面两个结论更强的结论,同学们不 妨一试。 师评:学习

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