9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省襄阳市枣阳高中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科)



湖北省襄阳市枣阳高中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文 科)
一、选择题(本大题共 10 题,每题 5 分,共计 50 分) 1.如图,已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A

为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 的离心率为( )

>=3

,则双曲线 C

A.

B.

C.

D.

2.已知条件 p:x ﹣4≤0,条件 q: A. 充分不必要条件 C. 充要条件 3.曲线 y=x 在点 M( A. 30°
2

2

≥0,则¬p 是 q 的(



B. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件 )的切线的倾斜角的大小是( ) D. 90°

B. 45°

C. 60°

4.有如下四个结论: ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②过平面 α 的一条斜线有一个平面与平面 α 垂直; ③“x>0”是“x>1”的必要条件; 2 2 ④命题“?x∈R,x ﹣x+1>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x+1≤0”. 其中正确结论的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 5.如果命题“¬(p∧q)”是真命题,则( A. 命题 p、q 均为假命题 )

D. 1

B. 命题 p、q 均为真命题 C. 命题 p、q 中至少有一个是真命题 D. 命题 p、q 中至多有一个是真命题 6.若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [﹣ ,+∞) B. (﹣∞,﹣ ] C. [ ,+∞)
2



D. (﹣∞, ]

7. 已知 p: x≥k, q: A. [2,+∞)

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是 ( B. (2,+∞) C. [1,+∞) )



D.(﹣∞, ﹣1)

8.命题“所有能被 5 整除的数都是偶数”否定形式是( A. 所有不能被 5 整除的数都是偶数 B. 所有能被 5 整除的数都不是偶数 C. 存在一个不能被 5 整除的数都是偶数 D. 存在一个能被 5 整除的数不是偶数

9.以椭圆

+

=1 的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为(



A.



=1

B.



=1

C.

﹣y =1

2

D.

﹣y =1

2

10.如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C, 其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )

2

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 5 题,每题 5 分,共计 25 分) 2 11.“p:x∈{x|x ﹣x﹣2≥0}”,“q:x∈{x|x<a}”,若¬p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值 范围是 .

12.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px(p>0)的焦点的距离

2

为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距 为 . 13.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是 27π,且用料最省,则圆柱的底面半径 为 .
2

14.过抛物线 y =4x 焦点的直线 l 的倾斜角为 点,那么△AOB 的面积为 .

,且 l 与抛物线相交于 A、B 两点,O 为原

15.椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆上存在点 P 使线段 PF1

与以椭圆短轴为直径的圆相切,切点恰为线段 PF1 的中点,则该椭圆的离心率 为 .

三、解答题(75 分) 16.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e.直线 l:y=ex+a

与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 =λ
2



(Ⅰ)证明:λ=1﹣e ; (Ⅱ)确定 λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形.

17.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆的焦点,点 A(0,﹣2) ,

直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 A 的直线与 C 相交于 P、Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

18.已知 F1,F2 分别为椭圆的上、下焦点,F1 是抛物线 C1:x =4y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= (1)求椭圆 C1 的方程; 2 2 (2)与圆 x +(y+1) =1 相切的直线 l:y=k(x+t) ,kt≠0 交椭圆 C1 于 A,B,若椭圆 C1 上一点 P 满足 + =λ ,求实数 λ 的取值范围.

2

19.已知椭圆 C1:

+x =1(a>1)与抛物线 C

2

:x =4y 有相同焦点 F1.

2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A,设平 行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B,C 两点,当△OBC 面积最大时,求直线 l 的方程.

20.已知 F1、F2 分别是椭圆

+

=1 的左、右焦点,曲线 C 是坐标原点为顶点,以 F2 为

焦点的抛物线,过点 F1 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴上方两个不同点 P、Q,点 P 关于 x 轴的对 称点为 M,设 =

(Ⅰ)若 λ∈[2,4],求直线 L 的斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)求证:直线 MQ 过定点. 21.已知函数 f(x)= +ax,x>1.

(Ⅰ)若 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=2,求函数 f(x)的极小值; (Ⅲ)若存在实数 a 使 f(x)在区间( 求 n 的最小值. ) (n∈N ,且 n>1)上有两个不同的极值点,
*

湖北省襄阳市枣阳高中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 题,每题 5 分,共计 50 分) 1.如图,已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点为 A,O 为坐标原点,以 A

为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、Q,若∠PAQ=60°且 的离心率为( )

=3

,则双曲线 C

A.

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:确定△QAP 为等边三角形,设 AQ=2R,则 OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理, 即可得出结论. 解答: 解:因为∠PAQ=60°且 所以△QAP 为等边三角形, 设 AQ=2R,则 OP=R, 渐近线方程为 y= x,A(a,0) ,取 PQ 的中点 M,则 AM= =3 ,

由勾股定理可得(2R) ﹣R =( 所以(ab) =3R (a +b )① 在△OQA 中,
2 2 2 2

2

2

),

2

= ,所以 7R =a ②

2

2

①②结合 c =a +b ,可得

2

2

2

=



故选:B. 点评:本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档 题. 2.已知条件 p:x ﹣4≤0,条件 q: A. 充分不必要条件 C. 充要条件
2

≥0,则¬p 是 q 的(



B. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出满足条件¬p 的 x 的范围, 和满足条件 q 的 x 的范围, 判断两个范围的包含关系, 进而可用集合法判断出¬p 与 q 的充要关系. 2 解答: 解:∵条件 p:x ﹣4≤0, 2 ∴条件¬p:x ﹣4>0,即 x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ; ∵条件 q: ≥0,即 x∈(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) ;

且(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)?(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞) ; 故¬p 是 q 的充分不必要条件, 故选:A 点评:判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充 分条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤判断命题 p 与 命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关 系.
2

3.曲线 y=x 在点 M( A. 30°

)的切线的倾斜角的大小是( B. 45° C. 60°

) D. 90°

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的倾斜角. 专题:计算题. 分析:欲判别切线的倾斜角的大小, 只须求出其斜率的值即可, 故先利用导数求出在 x= 处 的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:y'=2x ∴当 x= 时,y'=1,得切线的斜率为 1,所以 k= ; ∴1=tanα, 0 ∴α=45 , 故选 B.

点评:本小题主要考查直线的斜率、 导数的几何意义、 利用导数研究曲线上某点切线方程等 基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 4.有如下四个结论: ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②过平面 α 的一条斜线有一个平面与平面 α 垂直; ③“x>0”是“x>1”的必要条件; ④命题“?x∈R,x ﹣x+1>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x+1≤0”. 其中正确结论的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2
2 2

D. 1

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: 利用两个平面内的两条直线的位置关系可判断①; 利用面面垂直的判定定理可判断②; 利用充分条件与必要条件的概念可判断③; 利用全称命题与特称命题的关系可判断④. 解答: 解:①分别在两个平面内的两条直线可能平行,也可能相交、异面,故①错误; ②过平面 α 外斜线上一点 P 作 PO⊥α,则斜线与 PO 确定的平面 β⊥α,故过平面 α 的一条 斜线有一个平面与平面 α 垂直,正确; ③“x>0”不能?“x>1”,充分性不成立,反之“x>1”?是“x>0”,即必要性成立,故③正确; 2 2 ④命题“?x∈R,x ﹣x+1>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x+1≤0”,故④错误; 综上所述,其中正确结论的个数为 2 个. 故选:C. 点评:本题考查命题的真假判断与应用, 着重考查充分条件与必要条件的概念、 全称命题与 特称命题的关系及空间直线与平面的位置关系,属于中档题. 5.如果命题“¬(p∧q)”是真命题,则( A. 命题 p、q 均为假命题 B. 命题 p、q 均为真命题 C. 命题 p、q 中至少有一个是真命题 D. 命题 p、q 中至多有一个是真命题 )

考点:复合命题的真假. 专题:计算题. 分析:可知 p∧q 是假命题,由复合命题的真假可知:命题 p,q 中至少有一个是假命题,进 而可得答案. 解答: 解:由题意可知:“¬(p∧q)”是真命题, ∴p∧q 是假命题, 由复合命题的真假可知:命题 p,q 中至少有一个是假命题, 即命题 p,q 中至多有一个是真命题, 故选 D 点评:本题考查复合命题的真假,属基础题.

6.若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. [﹣ ,+∞) B. (﹣∞,﹣ ] C. [ ,+∞)

2



D. (﹣∞, ]

考点:函数单调性的性质. 专题:计算题. 分析:由已知中函数的解析式,结合二次函数的图象和性质,可以判断出函数 y=x +(2a﹣ 1)x+1 图象的形状,分析区间端点与函数图象对称轴的关键,即可得到答案. 解答: 解:∵函数 y=x +(2a﹣1)x+1 的图象是方向朝上,以直线 x= 抛物线 又∵函数在区间(﹣∞,2]上是减函数, 故 2≤ 解得 a≤﹣ 故选 B. 点评:本题考查的知识点是函数单调性的性质, 其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答 本题的关键.
2 2

为对称轴的

7. 已知 p: x≥k, q: A. [2,+∞)

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是 ( B. (2,+∞) C. [1,+∞)



D.(﹣∞, ﹣1)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出不等式 q 的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:∵ ∴ ﹣1= <1, <0,即(x﹣2) (x+1)>0,

∴x>2 或 x<﹣1, ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴k>2, 故选:B. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式之间的关系是解决本题的关 键,比较基础. 8.命题“所有能被 5 整除的数都是偶数”否定形式是( A. 所有不能被 5 整除的数都是偶数 B. 所有能被 5 整除的数都不是偶数 C. 存在一个不能被 5 整除的数都是偶数 D. 存在一个能被 5 整除的数不是偶数 )

考点:命题的否定;全称命题. 专题:阅读型. 分析:本题中所给的命题是一个全称命题, 书写其否定要注意它的格式的变化, 即量词的变 化,写出它的否定命题,再对比四个选项得出正确选项 解答: 解:∵全称命题“所有被 5 整除的整数都是偶数” ∴全称命题“所有被 5 整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个被 5 整除的整数不是偶数”, 对比四个选项知,D 选项是正确的 故选 D 点评:本题考查命题的否定, 解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写格式, 结论要 否定,还要把全称量词变为存在量词.

9.以椭圆

+

=1 的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为(



A.



=1

B.



=1

C.

﹣y =1

2

D.

﹣y =1

2

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:确定椭圆的焦点、 顶点坐标, 可得双曲线的顶点、 焦点坐标, 即可求出双曲线的方程. 解答: 解:椭 + =1 的焦点坐标为(± ,0) ,两个顶点为(±2,0) ,

∴双曲线的顶点为(± ∴双曲线的方程为 ﹣

,0) ,焦点坐标为(±2,0) , =1.

故选:A. 点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础. 10.如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C, 其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
2

A.

B.

C.

D.

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为 的关系进行求解即可.

解答: 解:如图所示,抛物线的准线 DE 的方程为 x=﹣1, 过 A,B 分别作 AE⊥DE 于 E,交 y 轴于 N,BD⊥DE 于 E,交 y 轴于 M, 由抛物线的定义知 BF=BD,AF=AE, 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1, |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1, 则 故选:A = = = ,

点评:本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键. 二、填空题(本大题共 5 题,每题 5 分,共计 25 分) 2 11.“p:x∈{x|x ﹣x﹣2≥0}”,“q:x∈{x|x<a}”,若¬p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值 范围是 a≥2 . 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出 p 的等价条件,利用充分不必要条件的定义建立,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解:由 x ﹣x﹣2≥0 得 x≥2 或 x≤﹣1,即 p:x≥2 或 x≤﹣1,¬p:﹣1<x<2. 若¬p 是 q 的充分不必要条件, 则{x|﹣1<x<2}?{x|x<a}, 即 a≥2, 故答案为:a≥2. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用, 考查学生的推理能力. 利用不等式的性质 是解决本题的关键.
2

12.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y =2px(p>0)的焦点的距离

2

为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,则双曲线的焦距 为 2 .

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由已知方程即可得出双曲线的左顶点、 一条渐近线方程与抛物线的焦点、 准线的方程, 再根据数量关系即可列出方程,解出即可. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左顶点(﹣a,0)与抛物线 y =2px(p
2

>0)的焦点 F

的距离为 4,∴



又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1) ,∴渐近线的方程应是 ,而抛物线的准线方程为 ,因此 , ,

联立得

,解得





=2



故双曲线的焦距为 . 故答案为 . 点评:熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键. 13. 做一个无盖的圆柱形水桶, 若要使体积是 27π, 且用料最省, 则圆柱的底面半径为 3 . 考点:函数最值的应用. 专题:应用题. 分析: 设圆柱的高为 h,半径为 r 则由圆柱的体积公式可得,πr h=27π,即 用料最省即求全面积的最小值,而 S 全面积=πr +2πrh=
2 2

,要使

=

(法一)令 S=f(r) ,结合导数可判断函数 f(r)的单调性,进而可求函数取得最小值时的 半径 (法二) :S 全面积=πr +2πrh= 时的 r 解答: 解:设圆柱的高为 h,半径为 r 2 则由圆柱的体积公式可得,πr h=27π
2

=

,利用基本不等式可求用料最小

S 全面积=πr +2πrh= (法一)令 S=f(r) , (r>0)

2

=

= 令 f′(r)≥0 可得 r≥3,令 f′(r)<0 可得 0<r<3 ∴f(r)在(0,3)单调递减,在[3,+∞)单调递增,则 f(r)在 r=3 时取得最小值 (法二) :S 全面积=πr +2πrh= = 当且仅当 即 r=3 时取等号
2

= =27π

当半径为 3 时,S 最小即用料最省 故答案为:3 点评:本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解, 解答应用试题的关键是要把 实际问题转化为数学问题,根据已学知识进行解决.
2

14.过抛物线 y =4x 焦点的直线 l 的倾斜角为 点,那么△AOB 的面积为 .

,且 l 与抛物线相交于 A、B 两点,O 为原

考点:抛物线的应用. 专题:计算题. 分析:S△AOB= ,其中 d 为 l 到 AB 的距离,或者把△AOB 分成△OFA 与 OFB,设

A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 S△AOB= OF|y1﹣y2|. 解答: 解:抛物线 y =4x 焦点 F(1,0) ,l 的方程为 y=tan 与抛物线方程 y =4x 联立消去 x 得 y ﹣ S△AOB=S△OFA+S△OFB= OF|y1﹣
2 2 2

(x﹣1) ,即 y= ﹣4=0,则

(x﹣1) ,

y﹣4=0,得 y ﹣

2

y2|= OF 故答案为: .

= ×1×

=



点评:本题三角形借助于抛物线这一特殊背景出现, 因此若考虑到抛物线的定义, 便会得出 如上的解答过程.当然用 S△AOB= ,其中 d 为 l 到 AB 的距离也完全可以.

15.椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆上存在点 P 使线段 PF1

与以椭圆短轴为直径的圆相切,切点恰为线段 PF1 的中点,则该椭圆的离心率为



考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:设线段 PF1 的中点为 M,另一个焦点 F2,利用 OM 是△F1PF2 的中位线,以及椭圆的 定义求出直角三角形 OMF1 的三边之长,使用勾股定理求离心率. 解答: 解:设线段 PF1 的中点为 M,另一个焦点 F2, 由题意知,OM=b,又 OM 是△F1PF2 的中位线, ∴OM= PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b, 又 MF1= PF1= (2a﹣2b)=a﹣b,又 OF1=c, 直角三角形 OMF1 中,由勾股定理得: (a﹣b) +b =c ,又 a ﹣b =c , 可得 2a=3b,故有 4a =9b =9(a ﹣c ) ,由此可求得离心率 e= = 故答案为: .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



点评:本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查直线和圆相切的条件,考查运算能力,属于 中档题. 三、解答题(75 分) 16.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e.直线 l:y=ex+a

与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 =λ
2



(Ⅰ)证明:λ=1﹣e ; (Ⅱ)确定 λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:证明题;综合题. 分析: (Ⅰ)因为 A、B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标 分别是(﹣ ,0) (0,a) .由题设知点 M 的坐标是(﹣c, =λ( ,a) .从而解得 λ=1﹣e . (Ⅱ)因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必有 |PF1|=c.由题设知当 λ= 时,△PF1F2 为等腰三角形.
2

) .由



得(﹣c+ ,



解答: 解: (Ⅰ)因为 A、B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐 标分别是(﹣ ,0) (0,a) .





.这里 c=



所以点 M 的坐标是(﹣c,

) .由



得(﹣c+ ,

)=λ( ,a) .



.解得 λ=1﹣e .

2

(Ⅱ)因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角, 要使△PF1F2 为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即 |PF1|=c. 设点 F1 到 l 的距离为 d, 由 |PF1|═d= = =c,


2

=e.
2

所以 e = ,于是 λ=1﹣e = . 即当 λ= 时,△PF1F2 为等腰三角形. 点评:本题考查直线和圆锥曲线的综合问题,解题时要认真审题,仔细求解,合理地运用公 式.

17.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆的焦点,点 A(0,﹣2) ,

直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 A 的直线与 C 相交于 P、Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的离心率以及直线的斜率,求出椭圆的几何量,然后求椭圆 C 的方 程; 2 (2)由设直线的斜率为 k,方程为 y=kx﹣2,联立直线与椭圆方程,通过△=16(4k ﹣3) >0,求出 k 的范围,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,利用韦达定理,求出|PQ|,坐标原点 O 到直线的距离,得到 S△OPQ 的表达式,利用换元法以及基本不等式,通过面积的最大值, 求出 k 的值,得到直线方程. 解答: 解: (1)设 F(c,0) ,由题意 kAF= ∴c= ∴b= ,又∵离心率 = ,∴a=2, ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,

=1,椭圆 C 的方程为

﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)由题意知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k,方程为 y=kx﹣2,
2 2

联立直线与椭圆方程:

,化简得: (1+4k )x ﹣16kx+12=0,

由△=16(4k ﹣3)>0,∴k > , 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 x1+x2= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ∴|PQ|= = , ,x1x2= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

2

2

坐标原点 O 到直线的距离为 d=



S△OPQ= ﹣(8 分)

?

?

=

, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

令 t=

(t>0) ,则 S△OPQ=

=



∵t+

,当且仅当 t= ,即 t=2 时等号成立, ,k = > ,
2

∴S△OPQ≤1,故当 t=2,即 ∴k=± 分) 此时直线的方程为:y=±

时, △OPQ 的面积最大, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (10

x﹣2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评:本题考查椭圆的方程的求法, 直线与椭圆的方程的综合应用, 考查分析问题解决问题 的能力. 18.已知 F1,F2 分别为椭圆的上、下焦点,F1 是抛物线 C1:x =4y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= (1)求椭圆 C1 的方程; 2 2 (2)与圆 x +(y+1) =1 相切的直线 l:y=k(x+t) ,kt≠0 交椭圆 C1 于 A,B,若椭圆 C1 上一点 P 满足 + =λ ,求实数 λ 的取值范围.
2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 利用抛物线的方程和定义即可求出点 M 的坐标, 再利用椭圆的定义即可求出; (2) 根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径, 可得 k= , 联立直线与椭圆方程,

结合椭圆上一点 P 满足

+



,可得到 λ 的表达式,进而求出实数 λ 的取值范围.
2 2

2

解答: 解: (Ⅰ)由题知 F1(0,1) ,所以 a ﹣b =1, 又由抛物线定义可知 MF1=yM+1= ,得 yM= ,

于是易知 M(﹣

, ) ,从而 MF1=
2

= ,

由椭圆定义知 2a=MF1+MF2=4,得 a=2,故 b =3, 从而椭圆的方程为 + =1;

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,P(x0,y0) ,则由

+



知,

x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,且

+
2

=1,①
2

又直线 l:y=k(x+t) ,kt≠0 与圆 x +(y+1) =1 相切,所以有

=1,

由 k≠0,可得 k=

(t≠±1,t≠0)②

又联立

消去 y 得(4+3k )x +6k tx+3k t ﹣12=0,

2

2

2

22

且△>0 恒成立,且 x1+x2=﹣

,x1x2=



所以 y1+y2=k(x1+x2)+2kt=

,所以得 P(



) ,

代入①式得
2

+

=1,所以 λ =

2



又将②式代入得,λ =

,t≠0,t≠±1,

易知(
2

)+

2

+1>1,且(

)+

2

+1≠3,

所以 λ ∈(0, )∪( ,4) , 所以 λ 的取值范围为{λ|﹣2<λ<2 且 λ≠0,且 λ≠± }.

点评:熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、 向量相等、 直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数 的关系是解题的关键.本题需要较强的计算能力,注意分类讨论的思想方法应用.

19.已知椭圆 C1:

+x =1(a>1)与抛物线 C

2

:x =4y 有相同焦点 F1.

2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 过椭圆 C1 的另一焦点 F2,且与抛物线 C2 相切于第一象限的点 A,设平 行 l1 的直线 l 交椭圆 C1 于 B,C 两点,当△OBC 面积最大时,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)求出抛物线的 F1(0,1) ,利用椭圆的离心率,求出 a、b 即可求解椭圆方 程. (Ⅱ)F2(0,﹣1) ,由已知可知直线 l1 的斜率必存在,联立方程组,利用相切求出 k,然 后利用直线的平行,设直线 l 的方程为 y=x+m 联立方程组,通过弦长公式点到直线的距离 求解三角形的面积,然后得到所求直线 l 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)∵抛物线 x =4y 的焦点为 F1(0,1) , 2 ∴c=1,又 b =1,∴ ∴椭圆方程为: +x =1. …(4 分)
2 2

(Ⅱ)F2(0,﹣1) ,由已知可知直线 l1 的斜率必存在,

设直线 l1:y=kx﹣1 由 消去 y 并化简得 x ﹣4kx+4=0
2

∵直线 l1 与抛物线 C2 相切于点 A. 2 ∴△=(﹣4k) ﹣4×4=0,得 k=±1.…(5 分) ∵切点 A 在第一象限. ∴k=1…(6 分) ∵l∥l1 ∴设直线 l 的方程为 y=x+m
2 2


2

,消去 y 整理得 3x +2mx+m ﹣2=0,…(7 分)
2

△=(2m) ﹣12(m ﹣2)>0, 解得 . , 设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,则

. … (8 分) 又直线 l 交 y 轴于 D(0,m) ∴ …(10 分)

=



,即

时, .…(12 分)

.…(11 分)

所以,所求直线 l 的方程为

点评: 本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质,考查直线与圆锥曲线的位置关系, 考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想.

20.已知 F1、F2 分别是椭圆

+

=1 的左、右焦点,曲线 C 是坐标原点为顶点,以 F2 为

焦点的抛物线,过点 F1 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴上方两个不同点 P、Q,点 P 关于 x 轴的对 称点为 M,设 =

(Ⅰ)若 λ∈[2,4],求直线 L 的斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)求证:直线 MQ 过定点. 考点:三点共线;圆锥曲线的综合. 专题:计算题. 分析: (I) 求出曲线 C 的方程, 把 PQ 的方程 x=my﹣1 (m>0) 代入曲线 C 的方程 化 简可得 y ﹣4my+4=0,利用根与系数的关系 及
2

=

,可得

=λ+ (II)根据 ﹣

+2=4m ,据 λ∈[2,4],求得直线 L 的斜率

2

的范围.

=0,可得 M、Q、F2 三点共线,故直线 MQ 过定点 F2 (1,0 ) .
2

解答: 解: (I)令 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,由题意,可设抛物线方程为 y =2px 2 由椭圆的方程可得 F1 (﹣1,0) ,F2 (1,0 )故 p=2,曲线 C 的方程为 y =4x, 2 由题意, 可设 PQ 的方程 x=my﹣1 (m>0) . 把 PQ 的方程代入曲线 C 的方程 化简可得 y ﹣4my+4=0, ∴y1+y2=4m,y1y2=4. 又 = ,∴x1+1=λ(x2+1) ,y1=λy2,



=λ+

+2=4m .λ∈[2,4],∴2+ ≤λ+ ].

2

≤4+ , ≤m ≤

2



∴ ≤ ≤

∴直线 L 的斜率 k 的取值范围为[ ,

(II)由于 P,M 关于 X 轴对称,故 M(x1,﹣y1) , ∵ ﹣ = + = =0,

∴M、Q、F2 三点共线,故直线 MQ 过定点 F2 (1,0 ) . 点评:本题考查椭圆、抛物线的标准方程、简单性质,三点共线的条件,根据题意,得到 2+ ≤λ+ ≤4+ ,是解题的关键.

21.已知函数 f(x)=

+ax,x>1.

(Ⅰ)若 f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=2,求函数 f(x)的极小值; (Ⅲ)若存在实数 a 使 f(x)在区间( 求 n 的最小值. 考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数的导数,利用 f′(x)≤0 在 x∈(1,+∞)上恒成立,得到 a 的表达 式,利用函数的最小值求出 a 的范围. (Ⅱ)通过 a=2,化简函数的解析式,求出函数的导数,利用导数的符号,判断函数的单调 性,求出极小值. (Ⅲ)判断 aln x+lnx﹣1=0 在
2

) (n∈N ,且 n>1)上有两个不同的极值点,

*

上有两个不等实根,法一:构造函数

,推出

,求出 n 的最小值.法二:利用

, 推出 a 的表达式, 列出

然后求解 n 的最小值.

解答: (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) ∴ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,由题意可得 f′(x)≤0 在 x∈(1,+∞)上恒成立;﹣﹣

﹣﹣(2 分) ∵x∈(1,+∞) ,∴lnx∈(0,+∞) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∴ ∴ 时函数 t= 的最小值为 ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)

(Ⅱ) 当 a=2 时, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 2 令 f′(x)=0 得 2ln x+lnx﹣1=0, 解得 分) 当 时,f′(x)<0,当 时,f′(x)>0 或 lnx=﹣1 (舍) , 即

﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (7

∴f(x)的极小值为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣(8 分) (Ⅲ)原题等价于 f′(x)=0 在 根; 由题意可知 ﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 即 aln x+lnx﹣1=0 在 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 法一:令 ,g(u)=au +u﹣1
2 2

,且 n>1)上有两个不等的实数

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

上有两个不等实根.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∵g(0)=﹣1<0,根据图象可知:

,整理得

﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) 即 ,解得 n>2,

∴n 的最小值为 3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 法二: 令 , ﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

由题意可知

解得

解得 n>2,∴n 的最小值为 3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 点评:本题考查函数的单调性以及函数的极值, 构造法的应用, 考查转化思想以及计算能力.



更多相关文章:
...学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(文科) Word...
2014-2015学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_...湖北省襄阳市枣阳高中20... 暂无评价 23页 5下载券 湖北省荆门市2014-2015...
湖北省枣阳市高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末...
湖北省枣阳市高级中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试文 科数学试题注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上...
2014-2015学年湖北省宜昌市高二(下)期末数学试卷(文科)
2014-2015学年湖北省宜昌市高二(下)期末数学试卷(文科)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年湖北省宜昌市高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题:...
...2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科)
枣阳七中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科)_高二数学_数学_高中教育_...湖北省襄阳市枣阳七中 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷 (理科)一、选择...
2014-2015学年湖北省荆州市高二(下)期末数学试卷(文科)
2014-2015学年湖北省荆州市高二(下)期末数学试卷(文科)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年湖北省荆州市高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题:...
...市枣阳七中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科...
湖北省襄阳市枣阳七中2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省襄阳市枣阳七中 2014-2015 学年高二(下)期末数学...
湖北省枣阳七中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(...
湖北省枣阳七中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试卷(Wor_数学_高中教育_教育专区。湖北省枣阳市第七中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试 文科数学...
湖北省枣阳市高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末...
湖北省枣阳市高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理_数学_高中教育_教育专区。湖北省枣阳市高级中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试理科 数学...
湖北省枣阳市高级中学2014-2015学年高二下学期期末考试...
湖北省枣阳市高级中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。湖北省枣阳市高级中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试理 科数学...
...2016学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(...
2015-2016学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省襄阳市高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题(...
更多相关标签:
湖北省襄阳市枣阳市    湖北省枣阳市    湖北省枣阳市吴店镇    湖北省枣阳市新市镇    湖北省枣阳市兴隆镇    湖北省枣阳市卫星地图    湖北省枣阳市邮编    湖北省枣阳市公安局    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图