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2010-2011高二级第二学期理科数学不等式专题试题(一)



2012-2013 年度高二级第二学期理科数学练习题
(不等式专题一)

本试题第一卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,第二卷为答题卡, 共 8 页。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1 1 ? 的解集是 ( ) x 2 A. (??, 2) B. (2, ??) C. (0, 2) x ?1 2.不等式 log 2 ≥1 的解集为 ( ) x
1. 不等式 A. ?? ?, ? 1? B. ?? 1, ? ? ? C. ?? 1, 0?

D. (??,0) ? (2, ??)

D. ?? ?, ? 1? ? ?0, ? ?? )

2 3. 已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 设 a = log3 2,b =ln2,c = 5 (A) a<b<c 5. 若
? 1 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ,则( ) (D) c<b<a

(B)b<c<a

(C) c<a<b

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式:① | a |?| b | ;② a ? b ? ab ; a b a2 b a ? 2a ? b 中,正确的不等式有( ③ ? ? 2 ;④ ) a b b
A.1 个 B.2 个 C.3 个
2

D.4 个

6.设集合 P={m|-1<m<0}, Q={m∈R|mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立},

则下列关系中成立的是( A. P Q B. Q 7.下列结论正确的是(
lg x

) P )

(C) P=Q

(D)P ∩Q= ?

A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2

B. 当x ? 0时, x ? 1 ? 2
x

1 1 C. 当x ? 2时, x ? 的最小值为 2 D.当 0 ? x ? 2时, x ? 无最大值 x x 2 5 x ? 4x ? 5 ) 8.已知 x ? 2 , 则f ( x) ? 2 x ? 4 有( 5 5 A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 D.最小值 1 4 4

?x ? 2 ? 0 ? 9.已知点 P( x, y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 所表示的区域上运动,则 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
z ? x ? y 的取值范围是( ) A.[-2,-1] B.[-2,1]

C.[-1,2]


D.[1,2]

10.已知 x ? y ? 0 ,下列各式正确的是(

x? y ? x ? xy ? y 2 x? y ? xy C. x ? y ? 2
A.

x? y ? y ? xy 2 x? y ? xy ? y D. x ? 2
B. x ?

11. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y). 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意 实数 x 成立,则( A. ? 1 ? a ? 1 ) B. 0 ? a ? 2 C. ?

1 3 ?a? 2 2

D. ?

3 1 ?a? 2 2

12.用数学归纳法证明

1 1 1 1 n ? ? ??? ? ( n ? N ? )时,从“ n = k 到 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) n ? 1


,等式左边需添加的项是( n = k ? 1”

A.

1 k (k ? 1)

B.

1 1 ? k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)

C.

1 (k ? 1)(k ? 2)

D.

1 k ( k ? 2)

二、填空题:本大题共 6 小题,小题 5 分,满分 30 分.

13.已知 x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____
14.若关于 x 的不等式 x ? 3 ? m x的解集为 x ? 1 ? x ? 3 ,则 m ?
2

?

?



15. 若x≥0,y≥0,且x+2y=1,则2x+3y2的最小值是___________ 16. 已知 f ? x ? ? ? 4a ? 3? x ? b ? 2a, x ??0,1? ,若 f ? x ? ? 2 恒成立,则

t ? a ? b 的最大值为



?1 x ? 1( x ? 0) ? ?2 17. 设函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? a ,则实数 a 的取值范围是_______ 1 ? ( x ? 0) ? ?x
2 18. 已知集合 A ? x | x ? a ≤ 1 , B ? x x ? 5 x ? 4 ≥ 0 .若 A

?

?

?

?

B ? ?,

则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 19.

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 设p:实数x满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? 2 . ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.
2 2

(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 x 的取值范围.

20. 是否存在常数 a, b, c(a, b, c ? R) ,使得等式

13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? an4 ? bn3 ? cn 2 对于一切正整数 n 都成立?

若存在,请证明你的结论。

21.(1) 证明: 若 a1 , a 2 是正实数,则有

2 a12 a2 ? ? a1 ? a2 ; a2 a1

(2) 请你把上述不等式推广到一般情形,并证明你的结论。

22.本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为 该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在 甲、 乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

23. (附加题)已知函数 f ( x ) 的导数 f ?( x ) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 ,常数 ? 为方程 f ( x) ? x 的

实数根. (1)若函数 f ( x) 的定义域为I,对任意 [a, b] ? I ,存在 x0 ?[a, b] ,使等式
f (b) ? f (a) = (b ? a) f ?( x0 ) 成立,求证:方程 f ( x) ? x 不存在异于 ? 的实数根;

(2)求证:当 x ? ? 时,总有 f ( x) ? x 成立; (3)对任意 x1 , x2 ,若满足 | x1 ? ? |? 1 , | x2 ? ? |? 1 ,求证: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 .

24 设 a ? 1 ,集合 A ? {x ? R x ? 0}, B ? {x ? R 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} ,
D? A B.

(1) 求集合 D (用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3(1 ? a) x2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

2012-2013 年度高二级第二学期理科数学练习题
(不等式专题一)

第 Ⅱ 卷
姓名: 班别: 成绩:


题号 答案 一 二 19 20


21


22 23 24 总分

一、选 择 题 答 题 卡
题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题: 13、 ; 14、 ;

15、



16、



17、



18、



三、解答题:共 5 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19、解:

20、解:

21、解:

22、解:

23、解: (附加题)

24、解: (附加题)





线

2012-2013 年度高二级第二学期理科数学练习题
(不等式专题一)参考答案
一、选择题: 1 2 题号 答案 D C 3 A 4 C 5 C 6 A 7 B 8 D 9 C 10 D 11 C 12 C

二、填空题: 1 13. ; 14. 2; 16 三、解答题:

15.

3 17 ; 16. ; 17. ?? ?,?1? ; 18. ?a | 2 ? a ? 3? 4 4

19.解: (1)由 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 . 由?
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 2 x ? 2 x ? 8 ? 0 ? ?

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真, 所以,实数 x 的取值范围是{x| 2 ? x ? 3 }. (2) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

? ? ?p ,

B,

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, 则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 20.解:分别用 n ? 1,2,3 代入等式,得到以下方程组:

? ?a ? ?1 ? a ? b ? c ? 1? a?b?c ? ? ? 3 ? 3 即 ? 9 ? 16a ? 8b ? 4c ,解得 ?b ? ? 1 ? 2 ? 16a ? 8b ? 4c ? ?13 ? 2 3 ? 33 ? 81a ? 27b ? 9c ?36 ? 81a ? 27b ? 9c ? ? ?c ? ? ?
3

1 4 1 2 1 4

所以,等式为 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ?
下面用数学归纳法证明.

1 4 1 3 1 2 1 2 n ? n ? n ? n (n ? 1) 2 .(n ? N ? ) 4 2 4 4
1 2 ? 1 ? (1 ? 1) 2 ? 1 ,? 左边=右边, 4
3 3 3 3

证明:(1)当 n=1 时,等式左边=1,等式右边= 故等式成立;

(2)假设当 n=k (k ? N ? ) 时,等式成立,即 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? 那么,当 n=k+1 时, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? (k ? 1) ?
3 3 3 3 3

1 2 k (k ? 1) 2 . 4

1 2 k (k ? 1) 2 ? (k ? 1) 3 4

?

1 1 (k ? 1) 2 (k 2 ? 4k ? 4) ? (k ? 1) 2 [( k ? 1) ? 1] 2 4 4

所以,当 n=k+1 时,等式也成立; 由(1) (2)可知该等式对于一切正整数 n 都成立。
2 a12 a2 21. 解:(1) 证明: ∵ a1 , a 2 是正数,∴ ? a 2 ? 2a1 , ? a1 ? 2a2 a2 a1

a12 a2 ? a2 ? 2 ? a1 ? 2a1 ? 2a2 a2 a1



2 a12 a2 ? ? a1 ? a2 a2 a1 2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an a 2 a3 an?1 a1

(2)若 a1 , a2 ,?, an 都是正数, 证明: ∵ a1 , a2 ,?, an 都是正数.

2 2 2 an an a12 a2 ?1 ∴ ? a 2 ? 2a1 , ? a1 ? 2a2 ,???, ? an ? 2an?1 , ? a1 ? 2a n a2 a1 an a1 2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an . a 2 a3 an?1 a1

22. 解: 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由

? x ? y ≤ 300, ? 题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

y
500 400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.

300 l 200 100 M

0

100

200 300

x

如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 , 即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

200) .? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元) ? 点 M 的坐标为 (100,
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收 益是 70 万元. 23.解: (1) (用反证法证) 设方程 f ( x) ? x 有异于 ? 的实根 ? ,即 f ( ? ) ? ? ,不妨设 ? ? ? ,则 ? ? ? ? f ( ? ) ? f (? ) , 在 ? 与 ? 之间必存在一点 c, ? ? c ? ? , 由题意可知,等式 ? ? ? ? f ( ? ) ? f (? ) ? ( ? ? ? ) f ?(c) 成立, 因为 ? ? ? ,所以必有 f ?(c) ? 1,但这与 0 ? f ?( x) ? 1 矛盾. 因此,如若 ? 也是方程 f ( x) ? x 的根,则必有 ? ? ? , 即方程 f ( x) ? x 不存在异于 ? 的实数根. (2)令 h( x) ? x ? f ( x) , 又

h?( x) ? 1 ? f ?( x) ? 0 ,? h( x) 为增函数.

h(? ) ? ? ? f (? ) ? 0,?当 x ? ? 时, h( x) ? 0 ,即 x ? f ( x). 0 ? f ?( x) ? 1,? f ( x) 为增函数,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ).

(3)不妨设 x1 ? x2 , 又

f ?( x) ? 1 ? 0,?函数 f ( x) ? x 为减函数.

即 f ( x1 ) ? x1 ? f ( x2 ) ? x2 ,?0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1. 即 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| x2 ? x1 | . | x2 ? x1 |?| x2 ? ? | ? | x1 ? ? |? 2 , ∴ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 . 24.解:(1)由方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 得判别式 ? ? 9(1 ? a) ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ?1)
2 2

因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 D ? A ? ? 0, ??? ; 3 1 当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) (1, ??) ; 3


当a ?

1 时, ? ? 0 ,设方程 2 x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 , 3

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , x2 ? , B ? {x | x ? x1或x ? x2 } 4 4 1 3 当 0 ? a ? 时, x1 ? x2 ? (1 ? a ) ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 3 2
则 x1 ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ) ( , ??) 4 4 当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0
此时, D ? ( x, x1 )

( x2 , ??) ? (0,

此时, D ? ( x2 , ??) ? (

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) . 4

1 ? ?(0, ??), 3 ? a ? 1 ? ? 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 1 ) ( , ??), 0 ? a ? 综上, D ? ?(0, 4 4 3 ? ? 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 , ??), a ? 0 ?( 4 ?
(2) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) , a ? 1 所以函数 f ( x ) 在区间 [a,1] 上为减函数,在区间 (??, a ] 和 [1, ??) 上为增函数

1 ? a ? 1 时,因为 D ? ? 0, ??? ,所以 f ( x) 在 D 内的极值点为 a,1 ; 3 1 1 当 a ? 时, D ? (0,1) (1, ??) ,所以 f ( x ) 在 D 内有极大值点 a ? ; 3 3
当 当0 ? a ? 由0 ? a ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 1 时, D ? (0, ) ( , ??) 3 4 4

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ?1) 1 ,很容易得到 a ? ?1? 3 4 4 (可以用作差法,也可以用分析法),所以 f ( x ) 在 D 内有极大值点 a ;
当 a ? 0 时, D ? (

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) , ??) 4 [来源:学*科*网 Z*X*X*K]

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) ? 1 ,此时 f ( x) 在,内 没有极值点. 4 1 1 综上,当 ? a ? 1 时,极值点为 a ,1 ;当 0 ? a ? 时,极值点为 a ;当 a ? 0 时,无极值点. 3 3
由 a ? 0 ,很容易得到



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