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2《圆的一般式方程》课件.ppt



2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

[复习回顾]:
圆的标准方程的形式是怎样的?

2 2 2 ? ? ( x ? a) ( y ? b) r
其中圆心的坐标和半径各是什么?

?a, b ?

r

[想一想] :若把圆的标准方程

r />( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2

展开后,会得出怎样的形式?

2 2 2 2 2 ? ? 2 ax ? 2 by ? ? ? y x a b r ?0
令 ? 2a ? D,?2b ? E , a ? b ? r ? F得
2 2 2

2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

[讨论]:此方程是否表示圆呢?
2 2 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
证明:

由x

2

?

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x? ) ? ( y ? ) ? 4 2 2

于是, (1)当D ? E ? 4F ? 0时,
2 2

方程 x ?

2

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0表示圆心在
D 2 ? E 2 ? 4 F的圆

D E 1 (? ,? )半径为 2 2 2
2 2
2 2

(2)当D ? E ? 4F ? 0时,

方程x ? y
2

D E ? Dx ? Ey ? F ? 0表示点 (? ,? ) 2 2
2 2

(3)当D ? E ? 4F ? 0时,

方程x ? y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0不表示任何图形 .

[定义] : 圆的一般方程

x y
2

?

2

? Dx ? Ey ? F ? 0
2
2

( D ? E ? 4 F ? 0)
2

思 方程Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 考 什么时候可以表示圆? 2 2 A ? C ? 0, B ? 0, D ? E ? 4 AF ? 0.
2

[观察]:圆的标准方程与圆的一般 方程在形式上的异同点.
圆的标准方程

2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 2

圆的一般方程

x

2

?

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0)
[说明]:(1)圆的标准方程的优点在于它明确地

指出了圆心和半径 , (2)圆的一般方程突出了方程形式上的 特点.

[练习一]:下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) (1) x ? y ? 0 ________
2 2

(2)x ? y ? 2x ? 4y ? 6 ? 0____
2 2 2 2 2

(3)x ? y ? 2ax ? b ? 0________

答 (2)圆心为(1, ?2), 半径为 11 的圆 . 案 2 2 (3)圆心为(a,0),半径为 a ? b 的圆. 或点(0,0).

[练习二]:求下列各圆的半径和圆心坐标.

(1) x ? y ? 6 x ? 0, (2) x ? y ? 2by ? 0,
2 2 2 2

(3) x ? y ? 2ax ? 2 3ay ? 3a ? 0
2 2 2

解: (1)圆心为(3,0),半径为3
(2)圆心为(0,-b) ,半径为|b|

(3)圆心为 (a, 3a),半径为| a | .

[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
配方 ?? ??
?? ? ? 展开

标准方程

(2)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?

方法一:用配方法求解 方法二:用代入法求解:

[探究]:圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较

(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般 采用圆的标准方程较简单. 例1:求过点A(5,?1),圆心为(8,?3)的圆的方程 .
2 2 2 解:设圆的方程为 ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? r

把点(5,?1)代入方程, 得r ? 13,
2

故所求圆的方程为: ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 13
2 2

[探究]:圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较

(2).若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一 般方程用待定系数法求解 . . 例2:求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程

设圆的方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 解: 把点A,B,C的坐标代入得方程组:
2 2

故所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0

6 ? 6D ? F ? 0 2 8 ? 8E ? F ? 0
2

F ?0

? D ? ? 6, ? ? E ? ?8, ? F ? 0. ?

例2另解:图象法
y C (0,8)

D(3,4) r=5
o (A) B (6,0) x

如图所示,可知 过A,B,C三点的圆的 圆心即BC的中点,其 坐标为(3,4),半径为5 故所求圆的方程为:
2 2

( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25

[小结二]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目

条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系 数法求解. (特殊情况时,可借助图象求解更简单)

练 -6F ? ___ 4 -3 ( ? 2 , 3 ), 半径为 4 , 则 D ? ___ E ? ___ 习 三 2 2 (2)若x ? y ? 2ax ? y ? a ? 0表示圆 能

1 a? 则a的取值范围是 _____ 2

(1)已知圆x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0的圆心为
2 2

2 2 (3) 圆 x ? y ? 8 x ? 10 y ? F ? 0与x轴相 提

升 切, 则F ? ______, 16 这个圆截y轴所得的弦 长是 ___ 6

题意可知,圆的方程 解法1:
可化为:

解法2:图象法
y

( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25
2 2

A C (- 4,5)?
E B x

展开得

r=5

x ? y ? 8x ?10y ?16 ? 0
2

2

D(- 4,0) o



F =16

|BC| =5, |CE| =4

令x=0 , 可得 y=2 或 y=8 所以 |AB| =6

则 |BE| =3, |AB| =6

[课堂小结]:
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为

x

2

?

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0)

(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系 一般方程
配方 ?? ??
?? ? ? 展开

标准方程(求圆心,半径)

(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法或代入法) (4)要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式: ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系 数法求解.

[说明]:本节课用到的数学方法和数学思想:

①数学方法: (i)配方法 (求圆心和半径)

(ii)待定系数法 (求D,E,F)
②数学思想: (ⅰ) 分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (ⅲ)数形结合的思想.

[作业]: 课本P102 5、6、7

4、



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