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椭圆培优



高 2015 级圆锥曲线拔高卷 (文科数学)
一.选择题(共 6 小题) 1.一个圆的圆心在椭圆的右焦点 F2(c,0) ,且过椭圆中心 O(0,0) ,又与椭圆交于点 P,设 F1 是椭圆的左 焦点,直线 F1P 恰与圆切于 P 点,则椭圆的离心率等于( ) A. B. C. D.

2.过椭圆

=1(a>b>0)右焦点 F(

2,0)作倾斜角为 60°的直线,与椭圆交于 A、B 两点,若|BF|=2|AF|, ) B. C. D.

则椭圆的离心率为( A.

3.直线 等于( A. )

与椭圆

,a>b>0 的两个交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点,则椭圆的离心率 e

B.

C.

D.

4.若 AB 是过椭圆

中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM,BM 与坐标轴不平行, ) D.

kAM,kBM 分别表示直线 AM,BM 的斜率,则 kAM?kBM=( A. B. C.

5. 椭圆 mx +ny =1 与直线 y=﹣x+1 相交于 A、 B 两点, 过原点和线段 AB 中点的直线斜率为 A. B. C. D.

2

2

, 则 的值是 (



6.设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C: A .4 条 二.填空题(共 3 小题) B.5 条

+

=1 相交于不同的两点 A、B,则使|AB|为整数的直线 l 共有( C .6 条 D.7 条



7.以 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)为焦点且与直线 x﹣y+3=0 有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是 _________ . 8.椭圆 ,斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于点 M,N,点 A 是线段 MN 的中点,直线 OA(O 为坐标

原点)的斜率是 k′ ,那么 kk′ = _________ . 9.在直线和曲线上各任取一点,若把这两点间距离的最小值定义为直线与曲线间的距离,则直线 2x+4y+13=0 与椭 圆 间的距离为 _________ .

三.解答题(共 2 小题)

10.已知椭圆 C 与双曲线 x ﹣y =1 共焦点,且下顶点到直线 x+y﹣2=0 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程;

2

2



(2)若一直线 l2:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B(A、B 不是椭圆的顶点)两点,以 AB 为直径的圆过椭圆的上 顶点,求证:直线 l2 过定点,并求出该定点的坐标.

11.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点, ( I)求椭圆 C 的方程; ( I I)问是否存在直线 的方程;若不存在,说明理由. ,使直线 l 与椭圆 C 有公共点,且原点到直线 l 的距离为 4?若存在,求出 l

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2013 年 11 月 497565582 的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 6 小题) 1.一个圆的圆心在椭圆的右焦点 F2(c,0) ,且过椭圆中心 O(0,0) ,又与椭圆交于点 P,设 F1 是椭圆的左 焦点,直线 F1P 恰与圆切于 P 点,则椭圆的离心率等于( ) A. B. C. D.

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 综合题. 分析: 由题设知圆的半径为 c,由 PF1 与圆相切于点 P,知 PF1⊥ PF2,|PF1|= ,所以|PF1|+|PF2|=c+ 此能够求出离心率 e. 解答: 解:圆的圆心在椭圆的右焦点 F2 上,且过椭圆的中心 D(0,0) ,可见圆的半径为 c, 连接 PF2,则 PF2 为圆的半径, 即:|PF2|=c 而:|F1F2|=2c 由于 PF1 与圆相切于点 P,根据圆的性质,PF1⊥ PF2,所以,按勾股定理求得: |PF1|= , 由椭圆性质“椭圆上任一点到 2 焦点的距离之和=2a,而 P 在椭圆上,
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,由

∴ |PF1|+|PF2|=c+

,即离心率 e=



点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合应用,解题时要注意圆的性质和椭圆性质的灵活运用.

2.过椭圆

=1(a>b>0)右焦点 F(2,0)作倾斜角为 60°的直线,与椭圆交于 A、B 两点,若|BF|=2|AF|, ) B. C. D.

则椭圆的离心率为( A.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 2 由直线方程的点斜式, 可得直线 AB 的方程为 y= (x﹣2) , 与椭圆的方程消去 x, 得 (a + b ) y+
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b y+4b

2

2

﹣a b =0.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由根与系数的关系结合已知条件得 y1+y2=﹣

2 2

=﹣y1,

y1y2=

=﹣2y1 ,消去 y1 得关于 a、b 的方程,结合 a =b +4 联解,可得 a=3,从而得到该椭

2

2

2

圆的离心率. 解答: 解:∵ 直线 AB 经过 F(2,0)且倾斜角为 60°, ∴ AB 的斜率 k=tan60°= ,得直线 AB 方程为 y=

(x﹣2)

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将直线 AB 方程与椭圆

=1 联解,消去 x 得: (a + b )y +

2

2

2

b y+4b ﹣a b =0

2

2

2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,得 y1+y2=﹣ ∵ |BF|=2|AF|, ∴ y1+y2=﹣y1= ,y1y2=﹣2y1 =
2

,y1y2=

消去 y1,得﹣2(

)=

2

…(1)

又∵ 椭圆的焦点 F(2,0) 2 2 4 4 2 2 ∴ a =b +4,代入(1)式化简整理,得﹣96b =﹣3b (4b +12) ,解之得 b =5 由此可得 a =9,a=3,所以椭圆的离心率 e= 故选:B 点评: 本题给出椭圆经过右焦点倾角为 60 度的弦 AB 被焦点分成 1:2 的两部分,求椭圆的离心率,着重考查了 椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识点,属于基础题.
2

3.直线 等于( A. )

与椭圆

,a>b>0 的两个交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点,则椭圆的离心率 e

B.

C.

D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意及椭圆的对称性可设两个交点分别为 M
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.把 M 代入椭圆方程

得 解答:

,又 b =a ﹣c ,即可得到关于 a,c 的方程,再利用离心率 ,

2

2

2

即可得出. .

解:由题意及椭圆的对称性可设两个交点分别为 M

把 M 代入椭圆方程得 化为 2c ﹣5a c +2a =0, 4 2 ∴ 2e ﹣5e +2=0, 2 2 ∴ (2e ﹣1) (e ﹣2)=0, ∵ 0<e<1,∴ 2e ﹣1=0,解得
2 4 2 2 4

,又 b =a ﹣c ,

2

2

2



故选 B. 点评: 熟练掌握椭圆的对称性、直线与椭圆相交问题的转化、离心率计算公式是解题的关键.

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4.若 AB 是过椭圆

中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM,BM 与坐标轴不平行, ) D.

kAM,kBM 分别表示直线 AM,BM 的斜率,则 kAM?kBM=( A. B. C.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 假设点的坐标,将斜率用坐标表示,再将 A,M 的坐标代入椭圆方程可求 解答: 解:设 A(x1,y1) ,M(x0,y0) ,则 B(﹣x1,﹣y1) ,则 kAM?kBM=
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∵ A,M 在椭圆上, ∴ , ,两式相减,可得 KAM?KBM=﹣ ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.
2 2

5. 椭圆 mx +ny =1 与直线 y=﹣x+1 相交于 A、 B 两点, 过原点和线段 AB 中点的直线斜率为 A. B. C. D.

, 则 的值是 (



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)中点为 P(x0,y0) ,根据经过两点的斜率公式,算出
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由中点坐标公式和椭圆方程加以联解,可得 m(x1﹣x2)?2x0﹣n(y1﹣y2)?2y0=0,即可算出 的值. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)中点为 P(x0,y0) , ∴ ① ,kMN= ② ,

由 AB 的中点为 P 可得 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0 由 M,N 在椭圆上,可得 ,

两式相减可得 m(x1﹣x2) (x1+x2)+n(y1﹣y2) (y1+y2)=0③ , 把① 、② 代入③ ,可得 m(x1﹣x2)?2x0﹣n(y1﹣y2)?2y0=0③ , 整理可得 = 故选:A 点评: 本题给出椭圆的弦中点所在直线的方程, 求 的值. 主要考查了直线与椭圆相交的位置关系, 属于中档题. 在 涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个:① 联立直线与椭圆,根据方程求解;② 利用“点差法”,
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请同学们在解题时加以注意.

6. (2009?西城区二模)设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C: l 共有( A .4 条 ) B.5 条

+

=1 相交于不同的两点 A、B,则使|AB|为整数的直线

C .6 条

D.7 条

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: 设直线 AB 的方程代入椭圆方程,根据判别式求得 b 的范围,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则可表示出|AB|, 根据|AB|为整数求得 b,进而求得答案. 解答:
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解:设直线 AB 的方程为 y=x+b,代入椭圆 C: 可得 3x +4bx+2b ﹣4=0, 2 2 2 由△ =16b ﹣12(2b ﹣4)>0,可得 b <6, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则|AB|= 分别取 b =
2 2 2

+

=1,

× , , 时,

=

×

=



可分别得|AB|=2,1,3, 此时对应的直线 l 有 6 条. 故选 C 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.解题的关键找到直线与|AB|的相关性,以此建立等式. 二.填空题(共 3 小题) 7.以 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)为焦点且与直线 x﹣y+3=0 有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是 + =1 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设出椭圆的方程为

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+

=1,求出离心率的平方,将直线方程代入椭圆方程得得到的关于 x 的一元二
2

次方程的判别式大于 0,求出 b 的最小值,此时的离心率最大,离心率最大的椭圆方程可得. 解答: 解:由题意知,c=1,a ﹣b =1,故可设椭圆的方程为 离心率的平方为
2 2 2 2 2

+

=1,

① ,∵ 直线 x﹣y+3=0 与椭圆有公共点,将直线方程代入椭圆方程得
2 4 4 2 2 2 4

(2b +1)x +6(b +1)x+8b +9﹣b =0,由△ =36(b +2b +1)﹣4(2b +1) ( 8b +9﹣b )≥0, 4 2 2 2 2 ∴ b ﹣3b ﹣4≥0,∴ b ≥4,或 b ≤﹣1 (舍去) ,∴ b 的最小值为 4, ∴ ① 的最大值为 ,此时,a =b +1=5,
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2 2

∴ 离心率最大的椭圆方程是

+

=1,

故答案为:

+

=1.

点评: 本题考查椭圆的标准方程和简单性质,利用直线和椭圆有交点可得判别式大于或等于 0.

8.椭圆

,斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于点 M,N,点 A 是线段 MN 的中点,直线 OA(O 为坐标 .

原点)的斜率是 k′ ,那么 kk′ =

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出直线 l 与椭圆的两个交点的坐标,把子线 l 的斜率和 OA 的斜率用两点的坐标来表示,把两点的坐标代 入椭圆方程,作差后整理即可得到答案. 解答: 解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,
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因为 M,N 在椭圆上,所以





① ﹣② 得,







即 故答案为

. .

点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,涉及弦中点问题,常用的办法是点差法.此题是中档题. 9. (2011?松江区二模)在直线和曲线上各任取一点,若把这两点间距离的最小值定义为直线与曲线间的距离,则 直线 2x+4y+13=0 与椭圆 间的距离为 .

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 理解新定义,用参数法求解.设椭圆上任意一点(3cosθ,2sinθ) ,利用点到直线的距离公式表示距离,再 求最小值即可.
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解答: 解:设椭圆上任意一点(3cosθ,2sinθ) ,则

=

∴ 直线 2x+4y+13=0 与椭圆 故答案为

间的距离为

点评: 本题以新定义为载体,考查直线与圆锥曲线的关系,考查直线与椭圆间的距离,关键是理解新定义,从而 用参数法求解. 三.解答题(共 2 小题) 10.已知椭圆 C 与双曲线 x ﹣y =1 共焦点,且下顶点到直线 x+y﹣2=0 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若一直线 l2:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B(A、B 不是椭圆的顶点)两点,以 AB 为直径的圆过椭圆的上 顶点,求证:直线 l2 过定点,并求出该定点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 2 2 分析: (1)因为椭圆 C 与双曲线 x ﹣y =1 共焦点,所以可根据双曲线的焦点坐标求出椭圆中的 c 值,再根据下
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2

2



顶点到直线 x+y﹣2=0 的距离为

,可求出 b 的值,利用 a,b,c 的关系式,就可得到 a 的值,这样椭圆

C 的方程可得. (2)把 y=kx+m 与(10 中求出的椭圆方程联立,求出 x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,再根据以 AB 为直径的 圆过椭圆的上顶点,所以 AQ⊥ BQ,求出 m 的值,就可判断出直线 l2 过定点,根据点斜式,求出该定点的 坐标. 解答: 解: (1)∵ ∴ 椭圆 C 的焦点为

设椭圆的方程为



由题意得 ∴ 椭圆的方程为 .

.∴



(2)椭圆的上顶点为 Q(0,1) ,

由方程组




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∵ 直线 l2:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点, ∴ 即 3k ﹣m +1>0. 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 则 ∴
2 2 2



, ,
2

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m = .

∵ 以 AB 为直径的圆过椭圆的上顶点 Q(0,1) , ∴ AQ⊥ BQ,∴ x1x2+(y1﹣1) (y2﹣1)=0, 即 x1x2+y1y2﹣(y1+y2)+1=0 ∴ 化简得 2m ﹣m﹣1=0, ∴ .
2



当 m=1 时,直线 l2:y=kx+1 过定点 Q(0,1) ,与已知矛盾; 当 此时直线 ∴ 直线 l2 过定点 时,满足 3k ﹣m +1>0, 过定点 . ,
2 2

点评: 本题考查了椭圆方程的求法,以及直线与椭圆位置关系的判断,做题时要认真分析. 11.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点, ( I)求椭圆 C 的方程; ( I I)问是否存在直线 的方程;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用题设条件,根据焦点和椭圆的定义求得 c 和 a,进而求得 b,由此能求出椭圆的方程. (2)先假设直线存在,设出直线方程与椭圆方程联立消去 y,再根据判别式大于 0 求得 t 的范围,再利用 直线 OA 与 l 的距离求得 t,最后验证 t 不符合题意,则结论可得. 解答: 解: (1)∵ 中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点, ∴ c=2,左焦点 F′ (﹣2,0) ,
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,使直线 l 与椭圆 C 有公共点,且原点到直线 l 的距离为 4?若存在,求出 l

∴ 2a=|AF|+|AF′ |= 解得 c=2,a=4,

=8,

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又 a =b +c ,所以 b =12,故椭圆 C 的方程为

2

2

2

2

=1.

(2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t,



,得 3x +3tx+t ﹣12=0,
2 2

2

2

∵ 直线 l 与椭圆有公共点,∴ △ =(3t) ﹣4×3(t ﹣12)≥0, 解得﹣4 ≤t≤4 , ∵ 直线 OA 与 l 的距离 4= ,从而 t=±2 ,

由于±2 ?[﹣4 ,4 ], 所以符合题意的直线 l 不存在. 点评: 本题考查椭圆方程的求法,判断满足条件的求线是否存在.具体涉及到直线、椭圆等基础知识,考查运算 求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.

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